数学解题思维策略62537.docx

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1、第一讲 数学解题思维策略高考数学代数推理题一、数学解解题的思思维过程程数学解题的的思维过过程是指指从理解解问题开开始，从从经过探探索思路路，转换换问题直直至解决决问题，进进行回顾顾的全过过程的思思维活动动在高考试卷卷中，有有一类问问题常以以高中代代数的主主体内容容函数数、方程程、不等等式、数数列及其其综合部部分为知知识背景景，并与与高等数数学知识识及思想想方法接接轨，这这就是代代数推理理题这这类问题题立意新新颖，抽抽象程度度高，是是数学问问题的典典型代表表具体体说来，其其思维过过程一般般分为三三步：首首先要领领会题意意（审题题）弄清题题目的条条件是什什么？结结论是什什么？如如果条件件和结论论是

2、用文文字表达达的，则则把它翻翻译成数数学语言言；其次次要明确确方向在审审题的基基础上，运运用所学学知识和和数学思思想方法法，明确确解题目目标与方方向；最最后要规规范表述述采用用适当的的步骤，合合乎逻辑辑地进行行推理和和运算，并并正确地地表述在这里，第第一步是是关键，这这就是我我们通常常说的审审题二、如何审审题？1、理清题题意审题，就是是明确题题目的已已知和未未知，是是解题的的第一步步，这一一步不要要怕慢从近年年高考命命题的特特点来看看，试卷卷容量有有减少的的趋向，目目的也就就是要突突出对考考生的能能力检查查，增加加思考量量，倡导导多给考考生一点点思考和和探索的的时间其实，题目目本身就就是“怎样

3、解解这道题题”的信息息源，所所以审题题一定要要逐字逐逐句看清清楚，可可以从语语法结构构、逻辑辑关系和和数学含含义三方方面来理理清题意意2、条件启启发解题题手段，结结论诱导导解题方方向解题实践表表明，条条件往往往预示可可知并启启发解题题手段，结结论则预预告需知知并诱导导解题方方向可以按按照条件件列出所所有的解解题手段段表解，根根据结论论写出可可能的解解题方向向，并寻寻找出它它们之间间的联系系，这样样做的另另一个好好处是，可可以将题题目进行行分解，避避免失分分3、挖掘隐隐蔽条件件对于条件，一一定要用用足用够够解题过过程中的的关键之之处，往往往是题题目未明明显写出出的，即即隐蔽给给予的一方面面，解题

4、题时如果果遇到“盲点”，可以以回过头头来分析析是否用用足用够够条件；另一方方面，也也只有细细致的审审题才能能从题目目本身获获得尽可可能多的的信息，这也说说明，审审题一定定不要怕怕慢例1（220055年成都都一诊222题）对对于函数数f(x)，若若存在，使使成立，则则称为函函数f(x)的不不动点已知若对，ff(x)恒有有两个相相异的不不动点，求求实数aa的取值值范围；在的条条件下，若若y=f(x)的图图像上AA、B两点的的横坐标标是函数数f(x)的不不动点，且且A、B两点关关于直线线对称，求求b的最小小值条件分析析条件件呈包含含关系，子子条件在在结论二二中列出出前提条件解题手手段：信信息迁移移（

5、数学学含义）三个“二次”结合（数形结合）；子条件解解题手段段：隐蔽条件；对称性性（数形形结合）垂直、中点（点差法）结论分析析两个个结论结论一解解题方向向：不等等关系；结论二解解题方向向：利用用单调性性求最值值练习：1、设，已已知时，f(x)的最小小值是求；求在的的条件下下，f(x)00的解集集A；设集合，且且，求实实数t的取值值范围答案：； ；2、定义在在R上的函函数f(x)满足：如果对对于任意意，都有有，则称称函数ff(x)是R上的凹凹函数已知知二次函函数求证：当当时，函函数f(x)是凹函函数；如果，试试求实数数a的取值值范围答案：略略；实数a的取值值范围为为三、若干具具体的解解题策略略为了

6、使解题题的目标标和方向向更明确确，思路路更加活活泼，进进一步提提高探索索的成效效，我们们必须掌掌握一些些具体的的解题策策略一一切解题题的策略略的基本本出发点点在于变变换，即即把面临临的问题题转化为为一道或或几道易易于解答答的新题题，以通通过对新新题的考考察，发发现原题题的解题题思路，最最终达到到解决原原题的目目的基基于这样样的认识识，常用用的解题题策略有有熟悉化化、简单单化、直直观化、特特殊化、一一般化和和间接化化等策略略1、熟悉化化策略熟悉化策略略，就是是将陌生生的题目目变为曾曾经解过过的比较较熟悉的的题目，进进而利用用已有的的知识、经经验或解解题模式式，顺利利地解出出原题可以在在分清题题目

7、条件件和结论论的基础础上，通通过变换换题目的的条件、结结论及其其联系上上下功夫夫联想回忆忆基本知知识和题题型通过联想回回忆，找找出现有有问题和和熟悉问问题之间间的相似似之处和和相同的的知识点点，充分分利用相相似问题题中的方方式、方方法和结结论，从从而解决决现有问问题全方位、多多角度分分析题意意全方位分析析题意，即即把题目目的所有有条件都都要分析析透，并并找到各各条件间间以及条条件和结结论间的的联系，从从中找出出熟悉的的解题手手段；多多角度分分析题意意，就是是要善于于从不同同的侧面面、不同同的角度度去认识识，根据据自己的的知识和和经验，适适时调整整分析问问题的视视角，找找到自己己熟悉的的解题方方

8、向恰当构造造辅助元元素通过构造辅辅助元素素，如构构造数列列、构造造图形或或几何量量、构造造等价性性命题等等，改变变题目的的形式，变变陌生题题为熟悉悉题例2（220033年成都都一诊220题）已已知数列列an的前n项和为为Sn，p为非零零常数，满满足条件件：a1=11；Sn=4an+Sn 1 pan 1()；求证：数数列an是等比比数列；求数列an的通项项公式；若bn=nan，求数数列bn的前n项和条件分析析条件件呈包含含关系，子子条件分分项列出出子条件、联想回回忆：aan=Sn Sn 1()；子条件联想回回忆：等等比数列列前n项和的的极限值值存在，则则公比qq的绝对对值小于于1结论分析析三个个

9、结论结论一根根据定义义证明；结论二求求出公比比；结论三联联想回忆忆：数列列bn的通项项是等差差、等比比数列的的通项积积，可用用错位相相减法求求前n项和解题评析析证明： Sn=4an+Sn 1 pan 1()， ann=Sn Sn 1=4an paan 1，（点评：应应用an=Sn Sn 1()） 33an=pan 1 且aa1=1， ， ，故故数列an是首项项a1=1，公公比的等等比数列列（点评：应应说明）解： ， ，（点评：应应用无穷穷递缩等等比数列列前n项和的的极限） p=1， 数列列an的通项项为解：， ，得 （点评：使使用错位位相减法法求数列列前n项和） 练习：1、数列an的前n项和记

10、记作为SSn，已知知写出aan的通项项公式，并并证明；对于给出出的正整整数k，当nk时，且且，求k值答案：；k=2, 3, 42、一计算算装置有有一数据据入口AA和一个个运算结结果的出出口B将自自然数列列中的各各数依次次输入AA口，从从B口得到到数列结果表表明：从A口输入入n=1时时，从BB口得到到；当时，从从A口输入入n，从B口得到到的结果果是将前前一结果果先乘以以自然数数列中的的第个奇奇数，再再除以自自然数列列中的第第n+1个个奇数从A口分分别输入入2和33时，从从B口分别别得到什什么数？猜测并证证明当入入口A输入自自然数列列时，从从B口得到到的数列列的通项项公式；为满足计计算需要要，工程

11、程师对装装置进行行了改造造，使BB口出来来的数据据依次进进入C口进行行调整，结结果为一一列数据据若，则则非零常常数p、q满足什什么关系系式，才才能使CC口所得得数列为为等差数数列？答案：和和；3、一个正正三棱锥锥，其侧侧棱长为为1，且且三条侧侧棱两两两垂直，求求该三棱棱锥的外外接球的的表面积积答案：2、简单化化策略简单化策略略，就是是当我们们面临的的是一道道结构复复杂、难难以入手手的题目目时，要要设法将将其转化化为一道道或几道道比较简简单、易易于解答答的新题题，以便便通过对对新题的的考察，启启迪解题题思路，以以简驭繁繁，解出出原题简单化是熟熟悉化的的补充和和发挥一般说说来，我我们对于于简单问问

12、题往往往比较熟熟悉或容容易熟悉悉因此此，在实实际解题题时，这这两种策策略常常常是结合合在一起起进行的的，只是是着眼点点有所不不同而已已解题题中，实实施简单单化策略略的途径径是多方方面的，常常用的有有：寻求求中间环环节，分分类考察察讨论，简简化已知知条件，恰恰当分解解结论等等寻求中间间环节，挖挖掘隐含含条件就多数结构构复杂的的题目的的生成背背景而论论，大多多是由一一些简单单题目经经适当组组合并抽抽去中间间环节而而构成的的因此此，应尽尽可能从从题目的的因果关关系入手手，寻求求可能的的中间环环节和隐隐含条件件，把原原题分解解成一组组相互联联系的系系列题，以以实现复复杂问题题简单化化分类考察察讨论某些

13、题目，其其解题的的复杂性性在于它它的条件件、结论论（或问问题）包包含多种种不易识识别的可可能情形形对于于这类问问题，选选择恰当当的分类类标准，把把原题分分解成一一组并列列的简单单题，有有助于实实现复杂杂问题简简单化简化已知知条件，恰恰当分解解结论如果解题的的复杂性性来自于于条件或或结论的的抽象概概括，可可以考虑虑将条件件进行简简单化处处理，或或尝试把把结论分分解为几几个简单单的部分分，以便便各个击击破，解解出原题题例3已已知等比比数列的的各项为为不等于于1的正正数，数数列满足足，设，求数列的的前多少少项和最最大，最最大值为为多少？试判断是是否存在在自然数数M，使当当nM时，恒成成立？若若存在，

14、求求出相应应的M，若不不存在，请请说明理理由；令，试判判断数列列的增减减性条件分析析三个个条件第一个条件件解题手手段：等等比数列列；第二个条件件解题手手段：两两个数列列间的关关系等比数数列的对对数；第三个条件件解题手手段：第第二个数数列具体体化结论分析析三个个结论，皆皆属探索索性命题题结论一最最值探索索；结论二有有界性探探索；结论三单单调性探探索解题关键键数列列是定义义在正整整数集上上的函数数解题评析析（I）设等等比数列列的公比比为，则则 ， 数列列为等差差数列，设设公差为为d（点评：挖挖掘隐含含条件数列列为等差差数列） ， ， 设数列前kk项和最最大，则则， 前111项和和及前112项和和为

15、最大大，其和和为1332（II）若，即，当a1时时，n122，不等等式不成成立；当0a122，不等等式成立立（点评：分分类考察察讨论） 存在在，当nM时，恒成成立（III） ， n13时时，数列列为递减减数列练习：1、若函数数的最大大值为11，求aa的值答案：2、已知设P：函数数在R上单调调递减；Q：不等等式的解解集为RR如果果P和Q有且仅仅有一个个正确，试试求c的取值值范围答案：3、设函数数，对一一切，都都有，求求证：对对一切，都都有3、直观化化策略直观化策略略，就是是当我们们面临的的是一道道内容抽抽象、不不易捉摸摸的题目目时，要要设法把把它转化化为形象象鲜明、直直观具体体的问题题，以便便凭

16、借事事物的形形象把握握题中所所涉及的的各对象象之间的的联系，从从而找到到原题的的解题思思路图表直观观有些数学题题，内容容抽象，关关系复杂杂，给理理解题意意增添了了因难，常常常会由由于题目目的抽象象性和复复杂性，使使正常的的思维难难以进行行到底. 对于于这类题题目，借借助图表表直观，利利用示意意图或表表格分析析题意，将将有助于于抽象内内容形象象化，复复杂关系系条理化化，使思思维有相相对具体体的依托托，便于于深入思思考，发发现解题题线索图形直观观对某些涉及及数量关关系的题题目，用用代数方方法求解解，计算算量偏大大这时时，不妨妨借助图图形直观观，给题题中有关关数量以以恰当的的几何分分析，以以拓宽解解

17、题思路路，找到到简捷、合合理的解解题途径径图象直观观不少涉及数数量关系系的题目目，都与与函数的的图象密密切相关关如果果灵活运运用函数数图象的的直观性性，常常常可以以以简驭繁繁，获得得简便、巧巧妙的解解法例4某某摩托车车生产企企业，上上半年生生产摩托托车的投投入成本本1万元元/辆，出出厂价为为1.22万元/辆，年年销售量量为10000辆辆，本年年度为适适应市场场需求，计计划提高高产品档档次，适适度投入入成本，若若每辆车车投入成成本增加加的比例例为x(0x1)，则出出厂价相相应的提提高比例例为0.75xx，同时时预计年年销售量量增加的的比例为为0.66x，已知知年利润润写出本年年度预计计的年利利润

18、y与投入入成本增增加比例例x的关系系式；为使本年年度的年年利润比比上年有有所增加加，问投投入成本本增加的的比例xx应在什什么范围围内？试题分析析列表表如下：成本（万元元/辆）出厂价（万万元/辆辆）销售量（辆辆）去年11.21000今年1+x1.2(11+0.75xx)1000(1+00.6xx)解题评析析依题意意和上表表数据有有 ，整理得 （点评：布布列关系系式时，不不仅要紧紧扣题意意，还要要注意自自变量xx的取值值范围，特别是是应用题题的定义义域必须须同时满满足解析析式有意意义和实实际问题题有意义义，只有有准确写写出定义义域方可可避免解解答过程程的失误误或答案案的失误误）要保证本本年度的的利

19、润比比上年度度有所增增加，当当且仅当当 将y的关系系式代入入，解不不等式组组得答：为保证证本年度度的利润润比上年年度有所所增加，投投入成本本增加的的比例xx应满足足0x0)，且，求f(x)并证明a1答案：2、已知函函数定义义域为RR，对于于任意实实数都满满足，当当时，判断f(x)的奇奇偶性和和单调性性；当时，对对所有的的均成立立，求实实数m的的取值范范围答案：略略；3、在中，若若，则为直直角三角角形，且且C为直角角现在请你研研究：若若，则为何何种形状状的三角角形？答案：锐角角三角形形5、一般化化策略一般化策略略，就是是当我们们面临的的是一道道计算比比较复杂杂或内在联联系不甚甚明显的的特殊问问题

20、时，应应设法把把特殊问问题一般般化，从从而找出出一个能能够揭示示事物本本质属性性的一般般情形的的方法、技技巧或结结果，以以顺利解解出原题题例8（220022理）已已知函数数，那么么 _练习：1、已知函函数，且且构成一一个数列列，满足足求数列的的通项公公式，并并求之值值；证明答案：，；略2、已知椭椭圆和点点，若线线段ABB与椭圆圆没有公公共点，求求实数aa的取值值范围答案：6、简接化化策略间接化策略略，就是是当我们们面临的的是一道道从正面面入手复复杂繁难难，或在在特定场场合甚至至找不到到解题依依据的题题目时，就就需要改改变思维维视角，从从结论（或或问题）的的反面进进行思考考，以便便化难为为易解出

21、出原题. 所谓谓正难则则反，说说的也就就是这个个意思例9函函数的定定义域为为R，且求证：aa0，b0， （点评：分分类讨论论） ，即即b0，b0 ， a=1又， ，（点评：待待定系数数法） 当时，（点评：一一般化策策略） 练习：1、若二次次函数在在区间上上至少存存在一点点m，使，求求实数pp的取值值范围答案：2、某正态态总体的的概率密密度函数数是偶函函数，而而且该函函数的最最大值为为，求总总体落入入区间之之间的概概率（参参考数据据：，）答案：0.464423、盒子里里装有若若干个球球，每个个球都记记有从11开始的的一个号号码，设设号码为为n的球重重（克）假设盒盒子的容容量最多多可装335个球球

22、，而且且符合条条件的球球无一例例外的都都被装入入盒中，这这些球以以等可能能性（不不受重量量、号码码的影响响）从盒盒子里取取出如果任意意取出一一球，试试求其重重量大于于号码数数的概率率；如果同时时任意取取出2球球，试求求它们重重量相同同的概率率答案：；四、寻根查查祖，提提高数学学解题能能力可以通过以以下探索索途径来来提高解解题能力力：1、研究问问题的条条件时，在在需要与与可能的的情况下下，可画画出相应应图形或或思路图图帮助思思考因为这这意味着着你对题题的整个个情境有有了清晰晰的具体体的了解解2、清晰地地理解情情境中的的各个元元素；一一定要弄弄清楚其其中哪些些元素是是给定了了的，即即已知的的，哪些

23、些是所求求的，即即未知的的3、深入地地分析并并思考习习题叙述述中的每每一个符符号、术术语的含含义，从从中找出出习题的的重要元元素，要要在图中中标出（用用直观符符号）已已知元素素和未知知元素，并并试着改改变一下下题目中中（或图图中）各各元素的的位置，看看看能否否有重要要发现4、尽可能能从整体体上理解解题目的的条件，找找出它的的特点，联联想以前前是否遇遇到过类类似题目目5、仔细考考虑题意意是否有有其他不不同理解解题目的的条件有有无多余余的、互互相矛盾盾的内容容？是否否还缺少少条件？6、认真研研究题目目提出的的目标通过目目标找出出哪些定定理、法法则、公公式同题题目或其其他元素素有联系系7、如果在在解

24、题中中发现有有你熟悉悉的一般般数学方方法，就就尽可能能用这种种方法的的语言表表示题的的元素，以以利于解解题思路路的展开开以上途径特特别有利利于开始始解题者者能迅速速“登堂入入室”，找到到解题的的起步点点在制定定计划寻寻求解法法阶段，可可以利用用下面这这套探索索方法：1、设法将将题目与与你会解解的某一一类题联联系起来来或者尽尽可能找找出你熟熟悉的、最最符合已已知条件件的解题题方法2、记住：题的目目标是寻寻求解答答的主要要方向在仔细细分析目目标时即即可尝试试能否用用你熟悉悉的方法法去解题题3、解了几几步后可可将所得得的局部部结果与与问题的的条件、结结论作比比较用这种种办法检检查解题题途径是是否合理

25、理，以便便及时进进行修正正或调整整4、尝试能能否局部部地改变变题目，换换种方法法叙述条条件，故故意简化化题的条条件（也也就是编编拟条件件简化了了的同类类题）再再求其解解再试试试能否扩扩大题目目条件（编编一个更更一般的的题目），并并将与题题有关的的概念用用它的定定义加以以替代5、分解条条件，尽尽可能将将分成部部分重新新组合，扩扩大对条条件的理理解6、尝试将将题分解解成一串串辅助问问题，依依次解答答这些辅辅助问题题即可构构成所给给题目的的解7、研究题题的某些些部分的的极限情情况，考考察这样样会对基基本目标标产生什什么影响响8、改变题题的一部部分，看看对其他他部分有有何影响响；依据据上面的的“影响”

26、改变题题的某些些部分所所出现的的结果，尝尝试能否否对题的的目标作作出一个个“展望” 9、万一用用尽方法法还是解解不出来来，你就就从课本本中或参参考书中中找一个个同类题题，研究究分析其其现成答答案，从从中找出出解题的的有益启启示例1（220055年成都都一诊119题）已已知函数数f(x)的图图像与函函数的图图像关于于点对称称求f(xx)的解解析式；若，且在在上为增增函数，求求实数aa的取值值范围条件分析析条件件呈包含含关系，子子条件在在结论二二中列出出前提条件解题手手段：对对称性（数数形结合合）中点坐坐标；子条件解解题手段段：三次函函数；单调性性导数（二二次函数数）手段一一：分离离系数（大大于最大大的，小小于最小小的）；手段二二：三个个“二次”结合（数数形结合合）结论分析析两个个结论结论一解解题方向向：求轨轨迹方程程的一般般方法；结论二解解题方向向：不等等关系解题评析析设为图像上上任一点点，则点点P关于点点A的对称称点为，由由已知条条件知点点Q在h(x)的图图像上 ，即即 （点评：函函数与方方程的关关系） ， 在RR上为增增函数， 在RR上恒成成立只需恒成立立，即只只需即可可 a的的取值范范围是-24-