2019版高中数学 第三章 3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义学案 新人教A版选修2-2.doc

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1、13 32.12.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义复数代数形式的加、减运算及其几何意义学习目标 1.熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则.2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题知识点一 复数代数形式的加减法思考 类比多项式的加减法运算，想一想复数如何进行加减法运算？答案 两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(abi)(cdi)(ac)(bd)i.梳理 (1)运算法则设z1abi，z2cdi 是任意两个复数，那么(abi)(cdi)(ac)(bd)i，(abi)(cdi)(ac)(bd)i.(2)加法运算律对任意z1，z2，z3C C，有

2、z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)知识点二 复数加减法的几何意义思考 1 复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？答案 如图，设，分别与复数abi，cdi 对应，OZ1OZ2则(a，b)，(c，d)，OZ1OZ2由平面向量的坐标运算，得(ac，bd)，OZ1OZ2所以与复数(ac)(bd)i 对应，复数的加法可以按照向量的加法来进行OZ1OZ2思考 2 怎样作出与复数z1z2对应的向量？答案 z1z2可以看作z1(z2)因为复数的加法可以按照向量的加法来进行所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与z1z2对应的向量(如图)图中对应

3、复数z1，OZ12对应复数z2，则对应复数z1z2.OZ2Z2Z1梳理复数加法的几何意义复数z1z2是以，为邻边的平行四边OZ1OZ2形的对角线所对应的复数OZ复数减法的几何意义复数z1z2是从向量的终点指向向量OZ2的终点的向量所对应OZ1Z2Z1- 的复数1两个虚数的和或差可能是实数( )2在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部( )3复数的减法不满足结合律，即(z1z2)z3z1(z2z3)可能不成立( )类型一 复数的加法、减法运算例 1 (1)若z12i，z23ai(aR R)，复数z1z2所对应的点在实轴上，则a_.(2)已知复数z满足|z|iz13i，则z

4、_.考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的综合应用答案 (1)1 (2)1 i4 3解析 (1)z1z2(2i)(3ai)5(a1)i，由题意得a10，则a1.(2)设zxyi(x，yR R)，则|z|，x2y2|z|izixyix(y)ix2y2x2y213i，Error!解得Error!3z1 i.4 3反思与感悟 (1)复数的加减运算就是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减(2)当一个等式中同时含有|z|与z时，一般用待定系数法，设zxyi(x，yR R)跟踪训练 1 (1)若复数z满足zi33i，则z_.(2)(abi)(2a3bi)3i_(a，bR R)(3)已知复数z满足|z|

5、z13i，则z_.考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的运算法则答案 (1)62i (2)a(4b3)i (3)43i解析 (1)zi33i，z62i.(2)(abi)(2a3bi)3i(a2a)(b3b3)ia(4b3)i.(3)设zxyi(x，yR R)，|z|，x2y2|z|z(x)yi13i，x2y2Error!解得Error!z43i.类型二 复数加、减法的几何意义例 2 (1)如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应的复数为0，32i，24i.求：表示的复数；AO表示的复数；CA表示的复数OB考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法与向量的对应解 A，C对应的复

6、数分别为 32i，24i，由复数的几何意义，知与表示的复数分别为 32i，24i.OAOC因为，所以表示的复数为32i.AOOAAO4因为，CAOAOC所以表示的复数为(32i)(24i)52i.CA，OBOAOC所以表示的复数为(32i)(24i)16i.OB(2)已知z1，z2C C，|z1|z2|1，|z1z2|，求|z1z2|.3考点 复数加减法的几何意义及应用题点 与加减法几何意义有关的模的问题解 根据复数加减法的几何意义，由|z1|z2|知，以，为邻边的平行四边形OACB是OAOB菱形如图，对应的复数为z1，对应的复数为z2，OAOB|，对应的复数为z1z2，|.OAOBOCOC3

7、在AOC中，|1，|，OAACOC3AOC30.同理得BOC30，OAB为等边三角形，则|1，对应的复数为z1z2，|z1z2|1.BABA引申探究 若将本例(2)中的条件“|z1z2|”改为“|z1z2|1” ，求|z1z2|.3解 如例 2(2)图，向量表示的复数为z1z2，BA|1，则AOB为等边三角形，AOC30，BA则|，|，表示的复数为z1z2，OD32OC3OC|z1z2|.3反思与感悟 (1)常用技巧形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理；数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中(2)常见结论：在复平面内，z1，z2

8、对应的点分别为A，B，z1z2对应的点为C，O为坐标原点5四边形OACB为平行四边形；若|z1z2|z1z2|，则四边形OACB为矩形；若|z1|z2|，则四边形OACB为菱形；若|z1|z2|且|z1z2|z1z2|，则四边形OACB为正方形跟踪训练 2 (1)已知复平面内的平面向量，表示的复数分别是2i,32i，则OAAB|_.OB(2)若z12i，z23ai，复数z2z1所对应的点在第四象限上，则实数a的取值范围是_考点 复数的加减法运算法则题点 复数的加减法与向量的对应答案 (1) (2)(，1)10解析 (1)，OBOAAB表示的复数为(2i)(32i)13i，OB|.OB12321

9、0(2)z2z11(a1)i，由题意知a10，即a1.1设z134i，z223i，则z1z2在复平面内对应的点位于( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法与点的对应答案 D解析 z1z257i，z1z2在复平面内对应的点位于第四象限2已知复数z1(a22)3ai，z2a(a22)i，若z1z2是纯虚数，那么实数a的值为( )A1 B2C2 D2 或 1考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的运算法则6答案 C解析 由z1z2a22a(a23a2)i 是纯虚数，得Error!得a2.3在复平面内，O是原点， ， ，表示的复数分别为2i，32

10、i,15i，则表示的OAOCABBC复数为( )A28i B44iC66i D42i考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法与向量的对应答案 B解析 ()44i.BCOCOBOCABOA4设f(z)|z|，z134i，z22i，则f(z1z2)等于( )A. B5105C. D522考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的综合应用答案 D解析 因为z1z255i，所以f(z1z2)f(55i)|55i|5.25设平行四边形ABCD在复平面内，A为原点，B，D两点对应的复数分别是 32i 和24i，则点C对应的复数是_考点 复数加减法的几何意义及应用题点 与加减法几何意义有关的综合应用答案

11、 52i解析 设AC与BD的交点为E，则E点坐标为，设点C坐标为(x，y)，则(5 2，1)x5，y2，故点C对应的复数为 52i.1复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算2复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则.7一、选择题1若复数z满足z(34i)1，则z的虚部是( )A2 B4C3 D4考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的运算法则答案 B解析 z(34i)1，z24i，故z的虚部是 4.2实数x，y满足z1yxi，z2yix，且z1z22，则xy的值是( )A1 B2C2 D1考点 复数的加减法运算法则

12、题点 复数加减法的综合应用答案 A解析 z1z2(yx)(xy)i2，即Error! xy1，则xy1.3若z12i，z23ai(aR R)，且z1z2所对应的点在实轴上，则a的值为( )A3 B2C1 D1考点 复数加减法运算法则题点 复数加减法与点的对应答案 D解析 z1z22i3ai(23)(1a)i5(1a)i.z1z2所对应的点在实轴上，1a0，a1.4设复数z满足关系式z|z|2i，那么z等于( )A i B. i3 43 4C i D. i3 43 4考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的运算法则答案 D8解析 设zabi(a，bR R)，则z|z|(a)bi2i，a2b2

13、则Error! 解得Error!z i.3 45已知复数z对应的向量如图所示，则复数z1 所对应的向量正确的是( )考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法与向量的对应答案 A解析 由图知z2i，则z11i，由复数的几何意义可知，A 是正确的6复数z1a4i，z23bi，若它们的和z1z2为实数，差z1z2为纯虚数，则a，b的值为( )Aa3，b4 Ba3，b4Ca3，b4 Da3，b4考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的综合应用答案 A解析 因为z1z2(a3)(4b)i 为实数，所以 4b0，b4.因为z1z2(a4i)(3bi)(a3)(4b)i 为纯虚数，所以a3 且b4.故

14、a3，b4.7在复平面内点A，B，C所对应的复数分别为 13i，i，2i，若，则点D表示ADBC的复数是( )A13i B3iC35i D53i考点 复数加减法的几何意义及应用题点 与加减法几何意义有关的综合应用答案 C解析 点A，B，C对应的复数分别为 13i，i,2i，9对应的复数为 22i.设D(x，y)，BC，(x1，y3)(2,2)，ADBCError! 解得Error!点D表示的复数为 35i.二、填空题8已知z1(3xy)(y4x)i(x，yR R)，z2(4y2x)(5x3y)i(x，yR R)设zz1z2，且z132i，则z1_，z2_.考点 复数的加减法运算法则题点 复数加

15、减法的综合应用答案 59i 87i解析 zz1z2(3xy4y2x)(y4x5x3y)i(5x3y)(x4y)i132i，Error!解得Error!z159i，z287i.9设z34i，则复数z|z|(1i)在复平面内的对应点在第_象限考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法与点的对应答案 三解析 因为z34i，所以|z|5，所以z|z|(1i)34i5(1i)15i.复数z15i 在复平面内的对应点Z(1，5)位于第三象限10已知|z|4，且z2i 是实数，则复数z_.考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的综合应用答案 22i3解析 因为z2i 是实数，可设za2i(aR R)，由

16、|z|4 得a2416，所以a212，所以a2，3所以z22i.311.如图所示，在复平面内的四个点O，A，B，C恰好构成平行四边形，其中O为原点，A，B，C所对应的复数分别是zA4ai，zB68i，zCabi(a，bR R)，则zAzC_.10考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法与向量的对应答案 24i解析 因为，OAOCOB所以 4ai(abi)68i.因为a，bR R，所以Error!所以Error!所以zA42i，zC26i，所以zAzC(42i)(26i)24i.三、解答题12设mR R，复数z1(m15)i，z22m(m3)i，若z1z2是虚数，求m的m2m m2取值范围考点

17、 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的运算法则解 因为z1(m15)i，m2m m2z22m(m3)i，所以z1z2(m15)m(m3)i(m2m m22)(m22m15)i.m2m4 m2因为z1z2是虚数，所以m22m150 且m2，所以m5 且m3 且m2，所以m的取值范围是(，3)(3，2)(2,5)(5，)13(1)若f(z)z1i，z134i，z22i，求f(z1z2)；(2)若z12cos i，z22isin (02)，且z1z2在复平面内对应的点2位于第二象限，求的取值范围考点 复数加减法的几何意义及应用题点 与加减法几何意义有关的综合应用解 (1)z1z2(34i)(2i)

18、53i，11f(z1z2)f(53i)(53i)1i62i.(2)z1z2(2cos )(2sin 1)i，2由题意得Error!即Error!又0,2，所以.( 4，56)四、探究与拓展14复数z11icos ，z2sin i，则|z1z2|的最大值为( )A32 B.122C32 D.122考点 复数加减法的几何意义及应用题点 与加减法几何意义有关的模的问题答案 D解析 |z1z2|(1sin )(cos 1)i|1sin 21cos 232cos sin .32 2cos(4)max1，|cos( 4)|z1z2|max1.32 2215已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为

19、2i，向量对应的复数为 12i，BA向量对应的复数为 3i，求：BC(1)点C，D对应的复数；(2)平行四边形ABCD的面积考点 复数加减法的几何意义及应用题点 与加减法几何意义有关的综合应用解 (1)因为向量对应的复数为 12i，向量对应的复数为 3i，BABC所以向量对应的复数为(3i)(12i)23i.AC又，OCOAAC所以点C对应的复数为(2i)(23i)42i. 因为，ADBC12所以向量对应的复数为 3i，AD即(3，1)AD设D(x，y)，则(x2，y1)(3，1)，AD所以Error!解得Error!所以点D对应的复数为 5.(2)因为|cos B，BABCBABC所以 cos B.BABC|BA|BC|325 10210所以 sin B.7 210所以S|sin B7，BABC5107 210所以平行四边形 ABCD 的面积为 7.