2019版高中数学 第一章1.4 生活中的优化问题举例学案 新人教A版选修2-2.doc

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1、11.41.4 生活中的优化问题举例生活中的优化问题举例学习目标 1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题知识点 生活中的优化问题(1)生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题(2)利用导数解决优化问题的实质是求函数最值(3)解决优化问题的基本思路：上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程1生活中常见到的收益最高，用料最省等问题就是数学中的最大、最小值问题( )2解决应用问题的关键是建立数学模型( )类型一 几何中的最值问题例 1 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为 60 cm 的正方形硬纸片，切去

2、阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒点E，F在边AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点设AEFBx(cm)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值2考点 利用导数求几何模型的最值问题题点 利用导数求几何体体积的最值问题解 V(x)(x)2(602x)222x2(602x)2x360x2(00；当 2010 时，WxR(x)(102.7x)982.7x.1 000 3x所以WError!(2)当 00，当x(9,10)时，W10 时，W98(

3、1 000 3x2.7x)98238，1 000 3x 2.7x当且仅当2.7 x，即x时，Wmax38，1 000 3x100 9综上可得，当x9 时，W取得最大值 38.6.故当年产量为 9 千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6 万元命题角度2 用料、费用最少问题例 3 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩经测算，一个桥墩的工程费用为 256 万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)x万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因x素，记余下工程的费用为y万元(1)试写出y关于x的

4、函数关系式；(2)当m640 米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？考点 利用导数求解生活中的最值问题题点 用料、费用最少问题解 (1)设需新建n个桥墩，则(n1)xm，即n 1.m x6所以yf(x)256n(n1)(2)xx256 (2)x(m x1)m xxm2m256.256m xx(2)由(1)知，f(x)m1 2x256m x21 2(3 2x512)m 2x2令f(x)0，得3 2x512，所以x64.当 00，f(x)在区间(64,640)上为增函数，所以f(x)在x64 处取得最小值此时n 119.m x640 64反思与感悟 (1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题

5、之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f(x)0 时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值跟踪训练 3 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)(0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元设f(x)为隔热层建造费k 3x

6、5用与 20 年的能源消耗费用之和(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值考点 利用导数求解生活中的最值问题题点 用料、费用最少问题解 (1)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)，k 3x5再由C(0)8，得k40，因此C(x)，40 3x57而建造费用为C1(x)6x.因此得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为f(x)20C(x)C1(x)206x40 3x56x(0x10)800 3x5(2)f(x)6.2 4003x52令f(x)0，即6，2 4003x52解得x5，x(舍去)25 3当 00，故当x5

7、时，f(x)取到最小值，对应的最小值为f(5)6570.800 155答 当隔热层修建 5 cm 厚时，总费用达到最小值为 70 万元.1炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：)为f(x)x3x28(0x5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是( )1 3A8 B.20 3C1 D8考点 利用导数求解生活中的最值问题题点 利用导数求解生活中的其他最值问题答案 C解析 原油温度的瞬时变化率为f(x)x22x(x1)21(0x5)，所以当x1 时，原油温度的瞬时变化率取得最小值1.2要做一个圆锥形漏斗，其母线长为 20 cm，要使其体积最大，则高应为(

8、 )A. cm B. cm10 3320 33C. cm D. cm16 3333考点 利用导数求几何模型的最值问题题点 利用导数求几何体体积的最值问题8答案 B解析 设圆锥的高为h cm,00，当h时，V0)，324 3xS(x34V)令S0，得x，可判断当x时，S取得最小值3x234V34V2如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为( )A.3 B.3(l 6)(l 3)C.3 D.3(l 4)1 4(l 4)考点 利用导数求几何模型的最值问题题点 利用导数求几何体体积的最值问题答案 A解析 设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则 4r2hl，h.l4r 2Vr2h r22r3，

9、l 2(0 0，l 611r 是其唯一的极值点l 6当r 时，V取得最大值，最大值为3.l 6(l 6)3某公司生产一种产品， 固定成本为 20 000 元，每生产一单位的产品，成本增加 100 元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)Error!则当总利润P(x)最大时，每年生产产品的单位数是( )A150 B200C250 D300考点 利用导数求解生活中的最值问题题点 利用导数求解最大利润问题答案 D解析 由题意得，总利润P(x)Error!当 0x390 时，令P(x)0，得x300，又当x390 时，P(x)70 090100x为减函数，所以当每年生产 300 单位的产品时，总利润最

10、大，故选 D.4若方底无盖水箱的容积为 256，则最省材料时，它的高为( )A4 B6C4.5 D8考点 利用导数求解生活中的最值问题题点 用料、费用最少问题答案 A解析 设底面边长为x，高为h，则V(x)x2h256，h.256 x2S(x)x24xhx24xx2，256 x24 256 xS(x)2x.4 256 x2令S(x)0，解得x8，当x8 时，S(x)取得最小值h4.256 825某超市中秋前 30 天，月饼销售总量f(t)与时间t(00)已知贷款的利率为 0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去设存款利率为x，x(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x的取值

11、为( )A0.016 2 B0.032 4C0.024 3 D0.048 6考点 利用导数求解生活中的最值问题题点 利用导数求解最大利润问题答案 B解析 依题意，得存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获得的贷款利息是 0.048 6kx2，其中x(0,0.048 6)所以银行的收益是y0.048 6kx2kx3(00；当 0.032 40，f(x)是单调递增的，(0，2 33)当x时，f(x)0，该函数递增，所以当x80 时，y取得最小值10某公司一年购买某种货物 400 吨，每次都购买x吨，运费为 4 万元/次，一年的总存储费为 4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x_吨考

12、点 利用导数求解生活中的最值问题题点 用料、费用最少问题答案 20解析 设该公司一年内总共购买n次货物，则n，400 x总运费与总存储费之和f(x)4n4x4x，1 600 x令f(x)40，1 600 x2解得x20，x20(舍去)，x20 是函数f(x)的最小值点，故当x20 时，f(x)最小11某厂生产某种产品x件的总成本为C(x)1 200x3(万元)，已知产品单价的平方与2 75产品件数x成反比，生产 100 件这样的产品单价为 50 万元，则产量定为_件时总利润最大考点 利用导数求解生活中的最值问题题点 利用导数求解最大利润问题答案 2515解析 由题意知 502，解得k25104

13、.k 100产品的单价P.25 104 x500x总利润L(x)x1 200x3500x2 755001 200x3，x2 75L(x)250x x2，1 22 25令L(x)0，得x25，当x25 时，总利润最大12.一个帐篷，它下部的形状是高为 1 m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为 3 m 的正六棱锥(如图所示)当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为_ m 时，帐篷的体积最大考点 利用导数求几何模型的最值问题题点 利用导数求几何体体积的最值问题答案 2解析 设OO1x，则 10，V(x)为增函数；当 20，即r0 得 20，得 520，即 0x0，f(x)是增函数；(0，5 9)当x时，f(x)0，f(x)是减函数(5 9，1)所以当x 时，f(x)取极大值，f 20 000.5 9(5 9)因为f(x)在(0,1)内只有一个极大值，所以它是最大值所以当 x 时，本年度的年利润最大，最大利润为 20 000 万元59