2019版高中数学 第二章 推理与证明 2.3 数学归纳法学案 新人教A版选修2-2.doc

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1、12.32.3 数学归纳法数学归纳法学习目标 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题知识点 数学归纳法对于一个与正整数有关的等式n(n1)(n2)(n50)0.思考 1 验证当n1，n2，n50 时等式成立吗？答案 成立思考 2 能否通过以上等式归纳出当n51 时等式也成立？为什么？答案 不能，上面的等式只对n取 1 至 50 的正整数成立梳理 (1)数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N N*)时命题成立；(归纳递推)假设当nk(kn0，kN N*)时命题成立，证明当nk1 时命题也成立只

2、要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立这种证明方法叫做数学归纳法(2)数学归纳法的框图表示1与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法( )2数学归纳法的第一步n0的初始值一定为 1.( )3数学归纳法的两个步骤缺一不可( )类型一 用数学归纳法证明等式例 1 用数学归纳法证明：1427310n(3n1)n(n1)2，其中nN N*.考点 用数学归纳法证明等式2题点 利用数学归纳法证明等式证明 (1)当n1 时，左边144，右边1224，左边右边，等式成立(2)假设当nk(k1，kN N*)时等式成立，即 1427310k(3k1)k(k1)2，那么当nk1 时，

3、1427310k(3k1)(k1)3(k1)1k(k1)2(k1)3(k1)1(k1)(k24k4)(k1)(k1)12，即当nk1 时等式也成立根据(1)和(2)可知等式对任何nN N*都成立反思与感悟 用数学归纳法证明恒等式时，一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；二是弄清从nk到nk1 等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明nk1 时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝nk1 证明目标的表达式变形跟踪训练 1 求证：1 (nN N*)1 21 31 41 2n11 2n1 n11 n21 2n考点 用数学归纳法证明等式题点 利用数学归纳法证明等式证明 (1)当n

4、1 时，左边1 ，1 21 2右边 ，左边右边1 111 2(2)假设当nk(k1，kN N*)时等式成立，即 1 1 21 31 41 2k11 2k，1 k11 k21 2k则当nk1 时，(11 21 31 41 2k11 2k) (1 2k11 2k2)(1 k11 k21 2k) (1 2k11 2k2).1 k21 k31 2k112k1即当nk1 时，等式也成立综合(1)，(2)可知，对一切nN N*，等式成立3类型二 用数学归纳法证明不等式例 2 求证： (n2，nN N*)1 n11 n21 3n5 6考点 用数学归纳法证明不等式题点 利用数学归纳法证明不等式证明 (1)当n

5、2 时，左边 ，1 31 41 51 657 60故左边右边，不等式成立(2)假设当nk(k2，kN N*)时，命题成立，即 ，1 k11 k21 3k5 6则当nk1 时，1k111k121 3k1 3k11 3k213k11 k11 k21 3k(1 3k11 3k21 3k31 k1) .(*)5 6(1 3k11 3k21 3k31 k1)方法一 (分析法)下面证(*)式 ，5 6即0，1 3k11 3k21 3k31 k1只需证(3k2)(3k3)(3k1)(3k3)(3k1)(3k2)3(3k1)(3k2)0，只需证(9k215k6)(9k212k3)(9k29k2)(27k227

6、k6)0，只需证 9k50，显然成立所以当nk1 时，不等式也成立方法二 (放缩法)(*)式 ，(3 1 3k31 k1)5 65 6所以当nk1 时，不等式也成立由(1)(2)可知，原不等式对一切n2，nN N*均成立引申探究 把本例改为求证：(nN N*)1 n11 n21 n31 nn11 24证明 (1)当n1 时，左边 ，不等式成立1 211 244(2)假设当nk(k1，kN N*)时，不等式成立，即，1 k11 k21 k31 kk11 24则当nk1 时，1 k21 k31 2k1 2k11 2k21 k11 k21 k31 2k1 2k11 2k21 k1，11 241 2k

7、11 2k21 k10，1 2k11 2k21 k12k12k122k12k12k112k12k1，1 k11 k21 k31 2k1 2k11 2k21 k111 241 2k11 2k21 k111 24当nk1 时，不等式成立由(1)(2)知对于任意正整数n，不等式成立反思与感悟 用数学归纳法证明不等式的四个关键(1)验证第一个n的值时，要注意n0不一定为 1，若nk(k为正整数)，则n0k1.(2)证明不等式的第二步中，从nk到nk1 的推导过程中，一定要用到归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设(3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接

8、给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由nk时成立得nk1 时成立，主要方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等跟踪训练 2 在数列an中，已知a1a(a2)，an1(nN N*)，用数学归纳法证明：a2n2an1an2(nN N*)考点 用数学归纳法证明不等式题点 利用数学归纳法证明不等式证明 当n1 时，a1a2，命题成立；假设当nk(k1，kN N*)时，命题成立，即ak2，则当nk1 时，ak122

9、0，a2k2ak1ak222ak1当nk1 时，命题也成立由得，对任意正整数n，都有an2.5类型三 归纳猜想证明例 3 已知数列an满足关系式a1a(a0)，an(n2，nN N*)，2an1 1an1(1)用a表示a2，a3，a4；(2)猜想an的表达式(用a和n表示)，并用数学归纳法证明考点 数学归纳法证明数列问题题点 利用数学归纳法证明数列通项问题解 (1)a2，2a 1aa3，2a2 1a22 2a 1a12a 1a4a 13aa4.2a3 1a32 4a 13a14a 13a8a 17a(2)因为a1a，20a1201aa2，21a1211a猜想an.2n1a12n11a下面用数学

10、归纳法证明当n1 时，因为a1a，20a1201a所以当n1 时猜想成立假设当nk(k1，kN N*)时猜想成立，即ak，2k1a12k11a所以当nk1 时，ak12ak 1ak2ka12k11a12k1a12k11a62ka12k11a2k1a2ka 12 2k1aa，2k11a12k111a所以当nk1 时猜想也成立根据与可知猜想对一切nN N*都成立反思与感悟 “归纳猜想证明”的一般步骤跟踪训练 3 考察下列各式2213441345681355678161357你能做出什么一般性的猜想？能证明你的猜想吗？考点 用数学归纳法证明等式题点 等式中的归纳，猜想、证明解 由题意得，221,34

11、413,4568135,5678161357，猜想：(n1)(n2)(n3)2n2n135(2n1)，下面利用数学归纳法进行证明(1)当n1 时，猜想显然成立；(2)假设当nk(k1，kN N*)时，猜想成立，即(k1)(k2)(k3)2k2k135(2k1)，那么当nk1 时，(k11)(k12)(k13)2(k1)(k1)(k2)2k(2k1)22k135(2k1)(2k1)22k1135(2k1)2k11352(k1)17所以当nk1 时猜想成立根据(1)(2)可知对任意正整数猜想均成立.1已知f(n)1 (nN N*)，计算得f(2) ，f(4)2，f(8) ，f(16)1 21 31

12、 n3 25 23，f(32) ，由此推算：当n2 时，有( )7 2Af(2n)(nN N*)2n1 2Bf(2n)(nN N*)2n112Cf(2n)(nN N*)2n1 2Df(2n)(nN N*)n2 2考点 利用数学归纳法证明不等式题点 不等式中的归纳、猜想、证明答案 D解析 f(4)2 改写成f(22)；f(8) 改写成f(23)；f(16)3 改写成f(24)22 25 232 2；f(32) 改写成f(25)，由此可归纳得出：当n2 时，f(2n)(nN N*)42 27 252 2n2 22用数学归纳法证明“1aa2a2n1(a1)” 在验证n1 时，左端计1a2n2 1a算

13、所得项为( )A1a B1aa2C1aa2a3 D1aa2a3a4考点 数学归纳法定义及原理题点 数学归纳法第一步：归纳奠基答案 C解析 将n1 代入a2n1得a3，故选 C.3若命题A(n)(nN N*)在nk(kN N*)时成立，则有nk1 时命题成立现知命题对nn0(n0N N*)时成立，则有( )A命题对所有正整数都成立8B命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立C命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立D以上说法都不正确考点 数学归纳法定义及原理题点 数学归纳法第二步：归纳递推答案 C解析 由已知，得nn0(n0N N*)时命题成立，

14、则nn01 时命题成立，在nn01 时命题成立的前提下，又可推得，n(n01)1 时命题也成立，依此类推，可知选 C.4用数学归纳法证明 12222n12n1(nN N*)的过程如下：(1)当n1 时，左边1，右边2111，等式成立(2)假设当nk(kN N*)时等式成立，即 12222k12k1，则当nk1 时，12222k12k2k11.所以当nk1 时，等式也成立由此可知12k1 12对于任何nN N*，等式都成立上述证明，错误是_考点 数学归纳法定义及原理题点 数学归纳法第二步：归纳递推答案 未用归纳假设解析 本题在由nk成立证明nk1 成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上归纳假

15、设，这与数学归纳法的要求不符5用数学归纳法证明：(nN N*)12 1 322 3 5n22n12n1nn122n1考点 用数学归纳法证明等式题点 利用数学归纳法证明等式证明 当n1 时，左边 ，12 1 31 3右边 ，1 112 2 111 3左边右边，等式成立假设当nk(k1，kN N*)时，等式成立即，12 1 322 3 5k22k12k1kk122k19当nk1 时，左边12 1 322 3 5k22k12k1k122k12k3kk122k1k122k12k3kk12k32k1222k12k3k12k25k222k12k3，k1k222k3右边，k1k1122k11k1k222k3

16、左边右边，等式成立即对所有nN N*，原式都成立在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是 1.(2)递推是关键：正确分析由nk到nk1 时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明.一、选择题1在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n3)条时，第一步应验证n等于( )1 2A1 B2C3 D4考点 数学归纳法定义及原理题点 数学归纳法第一步：归纳奠基答案 C解析 由凸多边形的性质，应先验证三角形，故选

17、C.2某个命题与正整数有关，如果当nk(kN N*)时，该命题成立，那么可推得当nk110时，该命题也成立现在已知当n5 时，该命题成立，那么可推导出( )A当n6 时命题不成立B当n6 时命题成立C当n4 时命题不成立D当n4 时命题成立考点 数学归纳法定义及原理题点 数学归纳第二步：归纳递推答案 B3设Sk，则Sk1为( )1 k11 k21 k31 2kASk BSk1 2k21 2k11 2k2CSk DSk1 2k11 2k21 2k21 2k1考点 数学归纳法定义及原理题点 数学归纳法第二步：归纳递推答案 C解析 因式子右边各分数的分母是连续正整数，则由Sk，1 k11 k21 2

18、k得Sk1.1 k21 k31 2k1 2k112k1由，得Sk1Sk1 2k112k11 k1.1 2k112k1故Sk1Sk.1 2k112k14一个与正整数n有关的命题中，当n2 时命题成立，且由nk时命题成立，可以推得nk2 时命题也成立，则( )A该命题对于n2 的自然数n都成立B该命题对于所有的正偶数都成立C该命题何时成立与k取值无关D以上答案都不对考点 数学归纳法定义及原理题点 数学归纳法第二步：归纳递推11答案 B解析 由nk时命题成立，可以推出nk2 时命题也成立，且使命题成立的第一个正偶数n02.故对所有的正偶数都成立5设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“

19、当f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立” ，那么，下列命题总成立的是( )A若f(3)9 成立，则当k1 时，均有f(k)k2成立B若f(5)25 成立，则当k5 时，均有f(k)k2成立C若f(7)n3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值n0最小应当是_考点 数学归纳法定义及原理题点 数学归纳法第一步：归纳奠基答案 109证明：假设当nk(kN N*)时等式成立，即 242kk2k，那么242k2(k1)k2k2(k1)(k1)2(k1)，即当nk1 时等式也成立因此对于任何nN N*等式都成立以上用数学归纳法证明“242nn2n(nN N*)”的过程中的错误为_考点 数

20、学归纳法定义及原理题点 数学归纳法第二步：归纳递推答案 缺少步骤归纳奠基10已知f(n)1 ，nN N*，用数学归纳法证明f(2n) 时，f(2n1)f(2n)1 21 31 nn 2_.考点 数学归纳法定义及原理题点 数学归纳法第二步：归纳递推答案 1 2n11 2n21 2n1三、解答题11用数学归纳法证明(n2，nN N*)(11 4)(11 9)(11 16)(11 n2)n1 2n考点 用数学归纳法证明等式题点 利用数学归纳法证明等式证明 (1)当n2 时，左边1 ，1 43 4右边 ，21 2 23 4所以左边右边，所以当n2 时等式成立(2)假设当nk(k2，kN N*)时等式成

21、立，即，(11 4)(11 9)(11 16)(11 k2)k1 2k那么当nk1 时，(11 4)(11 9)(11 16)(11 k2)11k12k1 2k11k1213k1 2kkk2k12，k22k1k112k1即当nk1 时，等式成立综合(1)(2)知，对任意n2，nN N*，等式恒成立1412用数学归纳法证明：1 (n2，nN N*)1 221 321 421 n21 n考点 用数学归纳法证明不等式题点 利用数学归纳法证明不等式证明 (1)当n2 时，左式 ，1 221 4右式1 .1 21 2因为 ，所以不等式成立1 41 2(2)假设当nk(k2，kN N*)时，不等式成立，即

22、1 ，1 221 321 421 k21 k则当nk1 时，1 1 221 321 421 k21k121 k1k12111k12kkk12k2k1kk12kk1kk121，1 k1所以当nk1 时，不等式也成立综上所述，对任意n2 的正整数，不等式都成立四、探究与拓展13用数学归纳法证明“34n152n2(nN N*)能被 14 整除”时，当nk1 时，34(k1)152(k1)2应变形为_考点 数学归纳法定义及原理题点 数学归纳法第二步：归纳递推答案 34(34k152k2)52k2144解析 34(k1)152(k1)23434k15252k23434k13452k25252k23452

23、k234(34k152k2)52k2(3452)34(34k152k2)52k2144.14已知数列an的前n项和Sn1nan(nN N*)(1)计算a1，a2，a3，a4；(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明你的结论考点 数学归纳法证明数列问题题点 利用数学归纳法证明数列通项问题15解 (1)计算得a1 ；a2 ；a3；a4.1 21 61 121 20(2)猜想：an.1nn1下面用数学归纳法证明当n1 时，猜想显然成立假设当nk(k1，kN N*)时，猜想成立，即ak，1kk1那么，当nk1 时，Sk11(k1)ak1，即Skak11(k1)ak1.又Sk1kak，k k1所以ak11(k1)ak1，k k1从而ak1，1k1k21k1k11即nk1 时，猜想也成立故由和可知猜想成立