现代数学的发展趋势41927163950.docx

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1、Evaluation Warning: The document was created with Spire.Doc for .NET.第四章 现代数学的发展趋势一、现现代数学的的发展趋势势内容概括括与古古典数学相相比，现代代数学的发发展从思想想方法的角角度看具有有一些新的的特征，本本章内容通通过数学的的统一性、数数学在自然然科学和社社会科学中中的广泛应应用、数学学机械化的的产生与发发展及其意意义、计算算机促进计计算数学的的发展、计计算机促进进数学中新新学科的发发展这些方方面来认识识和理解现现代数学的的发展趋势势。下下面从以下下几个方面面来分析： 数学的统统一性 数学学应用的广广泛性 计算算

2、机与数学学发展1数学学的统一性性所谓谓统一性，就就是部分与与部分、部部分与整体体之间的协协调一致。客客观世界具具有统一性性，数学作作为描述客客观世界的的语言必然然也具有统统一性。数学的的统一性是是客观世界界统一性的的反映，是是数学中各各个分支固固有的内在在联系的体体现。它表表现为数学学的各个分分支相互渗渗透和相互互结合的趋趋势。 数学学的统一性性发展的三三个阶段（1）数数学从经验验积累到严严格的演绎绎体系建立立，其特征征逐步明显显，在中世世纪时，从从研究对象象和方法来来看，初等等数学有了了一定的统统一性。特特别是177世纪解析析几何的诞诞生，使数数学中的代代数与几何何统一起来来，说明统统一性是

3、数数学的特征征。生了变变革，结果果是数学分分支愈来愈愈多，数学学表现的更更加多样化化。因此，需需要重新认认识数学的的统一性。为为此，数学学家们作了了很多努力力，到200世纪300年代，法法国的布尔尔巴基（BBourbbaki）学学派提出，利利用数学内内在联系和和公理化方方法从数学学各个分支支中提炼出出各种数学学结构。他他们认为数数学的发展展无非是各各种结构的的建立和发发展，“数数学好比一一座大城市市。城市中中心有些巨巨大的建筑筑物，就好好比是一个个个已经建建成的数学学理论体系系。城市的的郊区正在在不断地并并且多少有有点杂乱无无章地向外外伸展，他他们就好像像是一些尚尚未发育成成型的正在在成长着的

4、的数学新分分支。与此此同时，市市中心又在在时时重建建，每次都都是根据构构思更加清清晰的计划划和更加合合理的布局局，在拆毁毁掉旧的迷迷宫似的断断街小巷的的同时，将将修筑起新新的更直、更更宽、更加加方便的林林荫大道通通向四方，。”(2)布尔巴基基学派在集集合论的基基础上建立立了三个基基本结构（即即代数结构构、序结构构和拓扑结结构），然然后根据不不同的条件件，由这三三个基本结结构交叉产产生新的结结构，如分分析结构、布布尔代数结结构等等。他他们认为整整个数学或或大部分数数学都可以以按照结构构的不同而而加以分类类，用数学学结构能统统一整个数数学，各个个数学分支支只是数学学结构由简简单到复杂杂，由一般般向

5、特殊发发展的产物物。数学的的不同分支支是由这些些不同的结结构组成的的，而这些些结构之间间的错综复复杂的联系系又把所有有的分支连连成一个有有机整体。因因此可以说说，布尔巴巴基学派用用数学结构构显示了数数学的统一一性。（3）220世纪下下半叶，数数学已经发发展成一个个庞大的理理论体系，数数学分工愈愈来愈细，分分支愈来愈愈多，分支支之间的联联系愈来愈愈不明显，但但是，数学学学科的统统一化趋势势也在不断断加强，主主要体现在在数学的不不同分支领领域的数学学思想和数数学方法相相互融合，导导致了一系系列重大发发现以及数数学内部新新的综合交交叉学科的的不断兴起起：例如微微分拓扑学学的建立、发发展；整体体微分几

6、何何研究的突突破；代数数几何领域域的进展；多复变函函数理论以以及其他数数学分支的的突破和发发展都有密密切的联系系。 2数学应应用的广泛泛性随随着科学发发展，学科科之间的相相互渗透已已是一种普普遍现象，而而其中数学学的渗透又又特别明显显。这种渗渗透不能简简单地理解解为把数学学作为一种种科学研究究的工具和和技术，而而是新的研研究领域和和交叉学科科建立的动动力。数学学已成为其其他学科理理论的一个个重要组成成部分，这这是数学应应用日益广广泛的体现现。这种体体现具体讲讲就是数学学化。现代科学学发展的一一个显著特特点是，自自然科学、技技术科学以以及社会科科学都普遍遍地处于数数学化的过过程之中，它它们都在朝

7、朝着愈来愈愈精确的方方向发展。电电子计算机机的发展和和应用，为为各门科学学的数学化化提供了可可能性，因因而加速了了各门科学学数学化的的趋势。我们可可以分成几几个方面来来分析： 自自然科学的的数学化数学是是研究现实实世界的空空间形式和和数量关系系的科学。它它的理论深深刻地反映映和刻画了了现实世界界的空间形形式和数量量关系。随随着社会进进一步的发发展，愈来来愈需要对对自然现象象和客观物物质作定量量研究。“数数”与“形形”在现实实世界中无无处不在，客客观世界的的任何一种种物质的几几何形态都都具有空间间形式，其其运动的路路线是曲线线，而曲线线是由一些些数量的某某种关系来来刻画。这这就决定了了数学及其其

8、方法可以以运用于任任何一门自自然科学，数数学是自然然科学的基基础。（1）以以物理学为为例：物理学应应用数学的的历史较长长，18世世纪是数学学与经典力力学相结合合的黄金时时期。19世纪纪数学应用用的重点转转移到电学学与电磁学学，并且由由于剑桥学学派的努力力而形成了了数学物理理分支。20世世纪以后，随随着物理科科学的发展展，数学相相继在应用用于相对论论、量子力力学以及基基本粒子等等方面取得得了一个又又一个的突突破，极大大地丰富了了数学物理理的内容，同同时，也反反过来刺激激了数学自自身的进步步。例例1 在220世纪初初，狭义相相对论和广广义相对论论的创立过过程中，数数学都起到到了作用。1907年，德

9、国数学家闵可夫斯基（H. Minkowski，1864-1909）提出了”闵可夫斯基空间”（三维空间+时间的四维时空），闵可夫斯基几何为爱因斯坦的狭义相对论提供了合适的数学模型。有了闵可夫斯基时空模型后，爱因斯坦又进一步研究引力场理论以建立广义相对论。1912年夏，他已经概括出新的引力理论的基本物理原理，但为了实现广义相对论的目标，还必须有理论的数学结构，爱因斯坦为此花费了三年时间，最后在数学家格罗斯曼（M.Grossmann）帮助下掌握了发展相对论引力学说所必须的数学工具-以黎曼几何为基础的绝对微分学，即爱因斯坦后来所称的张量分析。在1915年11月25日发表的一篇论文中，爱因斯坦导出了广义

10、协变的引力场方程：就是黎曼度规张量。爱因斯坦指出：“由于这组方程，广义相对论作为一种逻辑结构终于大功告成！”根据爱因斯坦的理论，时空整体是不均匀的，只是在微小的区域内可以近似地看作均匀。在数学上，广义相对论的时空可以解释为一种黎曼空间，非均匀时空连续区域可借助于现成的黎曼度量： 来描述。这样，广义相对论的数学表述第一次揭示了非欧几何的现实意义，成为历史上数学应用最伟大的例子之一。自然科学研研究存在着着两种方式式：定性研研究和定量量研究。定定性研究揭揭示研究对对象是否具具有某种特特征，定量量研究揭示示研究对象象具有某种种特征的数数量状态。精精确的定量量研究使人人们能够对对客观事物物的认识从从现象

11、上升升到本质，从从而可能有有精确的科科学预见功功能。数学学是实现定定量研究的的必要条件件。所以，一一门科学只只有当它与与数学充分分地融合，才才可能精确确地揭示客客观事物的的状态和变变化规律，才才会显示其其真正的价价值。因此，自自然科学研研究必然要要经过定量量研究过程程，所以科科学研究的的一般过程程是从定性性研究出发发，然后再再研究其量量的规律性性，进行定定量研究，并并进一步把把定性研究究和定量研研究相结合合。科科学的数学学化是有一一个发展过过程，它是是从低级运运动形态发发展到高级级运动形态态，以简单单运动形态态到复杂运运动形态。与与此相应的的，是从物物理学、力力学、天文文学开始，发发展到化学学

12、、生物学学和工程技技术科学。（2）以生物学为例与物理和天文等学科相比， 生物学中应用相当迟缓. 将数学方法引进生物学的研究大约始于20世纪初. 英国统计学家皮尔逊（K.Pearson， 1857-1936）首先将统计学应用于遗传学和进化论， 并于1902年创办了生物统计学（Biometrika）杂志， 统计方法在生物学中的应用变的日益广泛。意大利生物学家达松纳（DAncona）在研究地中海各种鱼群的变化及其彼此影响时，发现鲨鱼及其他凶猛大鱼的捕获量在全部渔获量中的比例成倍增长。他感到困惑的是作为鱼饵的小鱼也应该多起来，并且鲨鱼在鱼群中的总体比例应该不变的。什么原因使得鲨鱼的增长要比小鱼的增长更

13、快呢？达松纳尽一切生物学上的解释都无法解开这个谜，于是他请教意大利数学家伏尔泰拉（V. Volterra）。1926年， 伏尔泰拉提出著名的伏尔泰拉方程：方程中x表示食饵，即被食小鱼，y表示捕食者，即食肉大鱼（鲨鱼）。用微分方程知识解释道：当捕鱼量减小时，捕食者（鲨鱼）增加，被食者（被食小鱼）减少；当捕鱼量增加时，捕食者减少，被食者增加。这给生物学一个满意的答复。这一现象现在称为伏尔泰拉原理，已在许多生物学领域中应用。如使用农药杀虫剂，若把害虫及其天敌一起毒杀，则由于杀死害虫数量猛增，根据伏尔泰拉原理，却会使捕食害虫的天敌下降更快，引起不利后果。用微分方程建立生物模型在20世纪50年代曾获得轰

14、动性成果，这就是描述神经脉冲传导过程的霍奇金-哈斯利（Hodgkin-Huxley）方程（1952年）和描述视觉系统侧抑制作用的哈特莱因-拉特里夫（Hartline-Ratliff）方程（1958年），它们都是复杂的非线性方程组，引起了数学家和生物学家的浓厚兴趣。这两项工作分别获得1963年和1967年的诺贝尔医学生理学奖。（3）以医医学为例20世世纪60年年代，数学学方法在医医学诊断技技术中的应应用提供了了这方面的的又一重要要实例。就就是CT扫扫描仪的发发明。19963-11964年年间，美籍籍南非理论论物理学家家科马克（AA.M.CCormaack）发发表了计算算人体不同同组织对XX射线吸

15、收收量的数学学公式，解解决了计算算机断层扫扫描的理论论问题。科科马克的工工作促使英英国工程师师亨斯菲尔尔德（G.N.Hoounsffieldd）发明了了第一台计计算机X射射线断层扫扫描仪即CCT扫描仪仪。科马克克和亨斯菲菲尔德共同同荣获了11979年年诺贝尔医医学生理学学奖。数学家冯冯 诺诺依曼说过过：“在现现代实验科科学中，能能否接受数数学方法或或与数学相相近的物理理学方法，已已越来越成成为该科学学成功与否否的重要标标志”随着着电子计算算机的发展展和应用，人人们已经能能处理越来来越复杂的的现象，比比如，复杂杂程度远远远超过物理理现象、化化学现象、生生物现象。数数学已成为为自然科学学的强有力力

16、的工具。现现代科学技技术发展的的一个重要要趋势之一一，是各门门科学的数数学化。这这种数学化化已获得了了丰硕的成成果。 社社会科学的的数学化20世世纪数学发发展的另一一个特点就就是数学广广泛应用于于社会科学学之中，即即社会科学学数学化的的趋势增长长。所所谓社会科科学数学化化，就是指指数学向社社会科学的的渗透，也也就是运用用数学方法法来揭示社社会现象的的一般规律律。由由于社会现现象的随机机因素较多多，情况较较复杂，因因此在数学学化过程中中所需的变变量参数也也较多，因因此造成社社会科学数数学化的难难度比较大大，社会科科学数学化化的进程也也就较晚。但但是，随着着各门科学学和数学本本身的进步步，影响各各

17、种社会现现象的因素素将逐渐被被数学所阐阐明，因此此运用数学学的可能性性就愈来愈愈大。从整整个科学发发展趋势来来看，社会会科学的数数学化也是是必然的趋趋势，其主主要原因可可以归结为为有下面四四个方面：第一一，社会管管理需要精精确化的定定量依据，这这是促使社社会科学数数学化的最最根本的因因素。第二，社社会科学的的各分支逐逐步走向成成熟，社会会科学理论论体系的发发展也需要要精确化。第三，随着数学的进一步发展，它出现了一些适合研究社会历史现象的新的数学分支。如概率论、离散数学、模糊数学、数理逻辑、系统论、信息论、控制论、突变论等，都为社会科学数学化提供了有力的武器。这些新的数学分支使社会科学数学化成为

18、可能。第四，电子计算机的发展与应用，使非常复杂社会现象经过量化后可以进行数值处理。例1 社会科学的数学化，最早是经济学。在经济学中开始引用数学方法，如果从古尔诺（Cournot）在1883年发表财富理论的数学原理之研究一书算起，已有100多年的历史了。现代数学揭示了经济学中新的经济规律，促进了经济知识的完善化。例如，在经济学中应用运筹学中的博弈论、决策论、线性规划等数学方法，来研究消费理论、生产理论、投资理论、收入理论等。数学与经济学相结合产生了数学经济学。20世纪50年代以后，数学方法在西方经济学中占据了重要地位，以致大部分诺贝尔经济学奖都授予了与数理经济学有关的工作。前苏联数学家康托洛维奇

19、（.， 1912-1986）和美籍荷兰经济学家库普曼斯（T.C.Koopmans）同获1975年度诺贝尔经济学奖. 康托洛维奇和美国数学家丹齐格（G.B.Dantzig）各自独立创建的线性规划论，在20世纪50年代被库普曼斯应用于经济学而获得成功。20世纪50年代以来，数量经济学由于公理化方法的引入而取得了重大进展。1959年美籍法国数学家、经济学家德布洛（G.Debreu）发表了，对一般经济均衡理论给出了严格的公理化表述。从此，公里化方法成为现代经济学研究的基本方法。一般经济均衡价格的存在问题是经济界长期关注但悬而未决的问题。粗略地讲，这问题是问：是否存在一个价格体系，使得消费需求与生产供给

20、相等。这样的价格体系就叫均衡价格体系。早在1874年，法国经济学家（L.Walras）就已经将这个问题归结为由供给等于需求所决定的方程组的求解。这样导出的一般是一组复杂的非线性方程，虽经过许多数学家和经济学家的努力，问题始终没有解决。直到1954年，德布洛和美国经济学家阿罗（K.Arrow）第一次利用凸集理论，不动点定理等给出了一般经济均衡的严格表述和存在性证明。德布洛的又使这一理论体系公理化。阿罗和德布洛先后于1974年和1983年获得诺贝尔经济学奖。例2 数学学与语言相相互渗透，产产生了数理理语言学这这门新的交交叉学科。它它用数学方方法来研究究语言结构构和语法形形式属性。随随着现代科科学技

21、术的的发展和电电子计算机机的推广应应用，使人人脑与电脑脑通力协作作，使数学学与语言融融为一体，产产生计算机机语言。例3 数学向文文学研究领领域的渗透透，使人们们发现数学学与文学之之间存在联联系，像英英国数学家家西尔维斯斯特（Syylvesster）撰撰写的诗诗的格律一一文，就应应用了数学学方法对莎莎士比亚的的十四行行诗进行行了分析。11980年年，美藉华华人陈炳藻藻先生运用用了数学与与计算机相相结合的手手段发表了了从词汇汇上统计，论论红楼梦梦的作者者问题。还还有复旦大大学教授李李贤平先生生对此亦作作出了贡献献。例例4 数学学向社会学学领域的渗渗透，产生生了一门新新兴的定量量社会学，它它应用协同

22、同学的理论论和数学方方法研究社社会学问题题，使社会会学开始走走上定量化化的道路。20世纪60年代前苏联科学家用定量方法来研究历史问题，从而产生了计量历史学。运用计量方法可以把抽象的东西变得具体化，使微观和宏观研究更好地结合起来，使微观研究更好地成为宏观研究的基础。社会科学的数学化已为人们所广泛接受，社会科学的数学化是数学与社会科学相互作用、相互渗透的进程。一方面，它把数学运用于各门社会科学，从而极大地提高社会科学研究的质量和效率，使社会科学更加完善和更具有说服力。另一方面，它使社会科学与数学相结合产生新的交叉学科，从而进一步促进数学的发展。3计算机机与数学发发展电电子计算机机是20世世纪最伟大

23、大的技术成成就之一。这这个最初为为了代替人人类计算的的机器使得得人类面临临着一场新新的科学技技术革命。在在数学方面面，计算机机至少有三三种新的用用途，第一一，用来证证明一些数数学命题，而而通常证明明这类命题题，需要进进行异常巨巨大的计算算与演绎工工作。第二二，用来预预测某些数数学问题的的可能结果果。第三，用用来作为一一种验证某某些数学问问题结果的的正确性的的方法。计算机机的发展促促进了数学学的变革与与发展，而而数学的突突破提升了了计算机的的层次，有有人说“计计算机是数数学的创造造物，又是是数学的创创造者。”总总之，计算算机给数学学家们提供供了一种有有效的实验验工具。计计算机的发发展为数学学开辟

24、了一一个新的天天地，对于于数学的发发展具有决决定性的影影响。计算机与与数学的联联系可以从从以下几个个方面来理理解。 数学学机械化（1）数数学机械化化的产生与与发展数学的脑脑力劳动有有两种主要要形式：定定理证明和和数值计算算。人们一一直希望能能为脑力劳劳动找到一一种替代方方法，即脑脑力劳动怎怎么机械化化的问题。20世纪40年代，出现了计算机以后由此产生一门新的学门，叫做人工智能。人工智能考虑诸如，机器翻译，机器推理，机器下棋，机器看病等等，它的目的就是利用计算机来代替或减轻某种形式的脑力劳动。“不论是机器代替体力劳动，或是计算机代替某种脑力劳动，其所以成为可能，关键在于所需代替的劳动已经机械化，

25、也就是说已实现了刻板化或规格化。”数学问题的机械化就是要求在运算或证明过程中，每前进一步之后，都有确定的、必然选择的下一步，这样沿着一条有规律的、刻板的道路，一直达到结论。“贯穿在整个数学发展历史过程中有两个中心思想，一是公理化思想，另一是机械化思想。”因此脑力劳动机械化的尝试，可以追述到几千年以前。比如，中国的九章算术中就有了对开平方和开立方机械化过程的详细说明。但是从19世纪开始发生的一些事件对当代数学机械化的形成与发展具有决定性意义。1854年，英国数学家乔治布尔（George Boole）把逻辑简化成的一种代数，用一些符号把逻辑推理形式化，发表了逻辑的数学分析和思维规律的研究，从而创立

26、了布尔代数。这种代数把逻辑推理简化成极其容易操作，因而可以减轻脑力劳动。这可以看作数学机械化的起步。19世纪末，德国数学家希尔伯特创立并且发展数理逻辑以来，脑力劳动机械化的设想才有了明确的数学形式。众所周知，在初等几何中，不同的定理，常常需要用不同的方法来证明。因此用计算机来证明几何定理首先需要解决“一理一证”的问题。1950年，波兰数学家塔斯基（Tarski）证明了在初等几何和初等代数这一范围内的定理证明可以机械化，并且提出了一个算法。这在理论上非常成功，它把一类初等代数和初等几何的定理证明，完全交给机器去做，是真正意义上的脑力劳动机械化。但是这个算法非常繁琐，并且有许多定理的证明都不成功。

27、1959年，美籍华人王浩教授设计了一个机械化方法，只需9分钟计算时间，用计算机证明了两位英国数学哲学家罗素和怀特海（Alfred North Whitehead）于1913年出版的数学原理中的几百条定理。1976年，美国伊利诺斯（Illinois）大学的阿佩尔（K. Appel）和哈肯（W. Kaken）用计算机运行了1200小时证明了数学家们100多年来所没有解决的四色猜想任何一幅地图着色，只要四种颜色就可以使所有相邻地区的颜色不相同。要实现几何定理证明机械化的必然条件是有一种方法可以证明一类定理。从“一理一证”到“一类一证”，是数学的认识和实践的飞跃。1977年，数学家吴文俊在定理证明机械

28、化研究上取得初步成果。他独立证明了初等几何（泛指不具有微分运算的几何，如欧氏几何、非欧几何、仿射几何、投影几何、代数几何等等）主要一类定理的证明可以机械化，并且提出了切实可行的机械化方法，国际上称“吴方法”。吴先生提出的机械证明方法与塔斯基的工作互相交而不包含，效率高，可以在普通计算机上实现，现在已经证出欧几里得几何中已知的全部定理。同时“吴方法”还可用于几何定理的自动发现和未知关系的自动推导。吴文俊先生的开创性成果，打破了国际自动推理界在几何定理自动证明研究中长期徘徊不前的局面。吴先生还把他的方法拓展到微分情形，建立了微分几何定理机器证明和微分代数方程组求解的机械化理论和方法。（2）数学学机

29、械化的的意义（I）数数学机械化化与公理化化一样，对对于数学的的发展具有有巨大的现现实意义。数学机械化使得一些数学分支成为重要的研究方向，甚至成为数学的主流。这是因为，抽象的数学概念和结论，往往难于掌握和运用。当把抽象的概念变成具体可算的过程，将易于接受和适宜应用。运用机械化思想考察数学，将引导数学家重新认识数学对象，建立新的模式，从而发现新的结论。吴文俊先生强调：数学机械化方法的应用，是数学机械化研究的生命线。在他的指导和带动下，数学机械化方法已在一些交叉研究领域获得初步应用，如理论物理、计算机科学、信息科学、自动推理、工程几何、机械机构学等等。数学机械化研究不断开拓更多的应用方面。如今，计算

30、机科学被认为是算法的科学。以算法为核心的机械化思想，既传统又前瞻，数学机械化的思想随着计算机科学的进一步发展必然会渗透到数学的各个角落。（II）数学机械化对于数学发展历程的认识具有深渊的历史意义。吴文俊认为“公理化的思想导源于古希腊，机械化的思想则贯穿于整个中国古代数学。”他分析了中国传统数学的光辉成就在数学科学进步历程中的地位和作用，指出数学机械化思想是我国古代数学的精髓，它与源于古希腊的公理化思想，对于数学的发展都发挥了巨大作用。 计算数学的发展计算数学，也叫做数值计算方法或数值分析，是一门研究计算问题的解决方法和有关数学理论问题的学科，其主要研究有关的数学和逻辑问题怎样由计算机加以有效解

31、决，具体有代数方程、线性代数方程组、微分方程的数值解法，函数的数值逼近问题，矩阵特征值的求法，最优化计算问题，概率统计计算问题等等，还包括解的存在性、唯一性、收敛性和误差分析等理论问题。计算是与生活联系最直接、最密切的一环。在数学发展史中，计算占非常重要的地位，它是古代数学的最重要的组成部分。因此计算数学的历史至少可追述到我国魏晋时代的数学家刘徽的“割圆术”。随着15世纪欧洲资本主义工商业兴起，科学技术有了新发展。以解析几何与微积分为标志的近代数学发展，计算数学也有相应的发展。牛顿、瑞士数学家欧拉（Euler）等发展了一般插值方法与差分方法，德国数学家高斯和俄国数学家切比雪夫（Chebyshe

32、v）发展了最优逼近的方法与理论。在高次代数方程方面发展了牛顿迭代解法。在线性代数方面发展了高斯消元法以及各种迭代法。微积分发展的同时，也出现微分方程的离散化与数值解法。但是这些发展都受到具体计算速度的限制。随着科学技术发展，人们面临需要处理的数据量更大。计算机的出现为大规模的数据处理创造了条件，人们也开始真正认识到计算数学的重要性。集中而系统地研究适用于计算机的计算数学立刻变得非常迫切和必要。计算数学的方法正是在大量的数值计算实践和理论分析工作的基础上真正发展起来，它不仅仅是一些数值方法的简单积累，而且揭示包含在多种多样的数值方法之间的相同的结构和统一的原理。计算机和计计算数学的的发展是相相辅

33、相成、相相互制约和和相互促进进的。计算算数学的发发展启发了了新的计算算机体系结结构，而计计算机的更更新换代出出对计算数数学提出了了新的标准准和要求。自自计算机诞诞生以来经经典的计算算数学已经经历了一个个重新评价价、筛选、改改造和创新新的过程。与与此同时，涌涌现了许多多新概念、新新课题和许许多能够充充分发挥计计算机潜力力、有更大大解题能力力的新方法法。这就构构成了现代代意义下的的计算数学学。如如果没有计计算机的问问世，那么么今天也许许就不会有有作为数学学中独立分分支的计算算数学。因因此现代意意义下的计计算数学是是数学与计计算机应用用相结合产产生的交叉叉学科，其其基本目标标是为科学学与工程计计算提

34、供高高效的数值值方法及其其应用软件件，内容更更突出了数数学的计算算（即重点点研究适宜宜于在计算算机上运行行的求解各各种数学模模型的数值值方法及其其应用软件件）和计算算的数学（即即重点研究究分析舍入入误差影响响所必需的的数值分析析理论）。它它的内容从从数值代数数和数值逼逼近开始，逐逐步扩展为为包括最优优化计算、计计算概率统统计、计算算几何和数数学物理方方程数值解解法等内容容的学科，并并且将进一一步扩展。 新学科的发展数学的发展非常迅速，出现了许多新的学科。这里我们仅仅介绍非常具有代表性的学科分形几何。分形的思想最早出现在1875至1925年数学家的著作。分形是这样一种对象，将其细微部分放大后，其

35、结构与原先的一样。比如雪花曲线一条周长无限而面积有限的封闭曲线（图4-3-1），而圆周没有这种现象，它经过放大后便变得比较平直。分形是法国数学家曼德勃罗特（B.B. Mandelbrot）于1975年创造的，他在1975、1977和1982年先后出版了三本书，特别是分形形、机遇和维数以及自然界中的分形几何学，开创了分形几何学这一新的数学分支。其基本思想是：客观事物具有自相似的层次结构，局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似性，成为自相似性。例如，一块磁铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分割下去，每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场。这种自相似的层次结构，适当

36、的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。分形几何学的研究离不开电子计算机，电子计算机和电子计算机绘图能够产生分形，把它们显示出来，电子计算机的发展才使得人们有能力研究分形。分形几何学不仅描绘了大自然中诸如地震、树、海岸线等自然现象，而且在天文、气象和工业等方面也有广泛应用。二、学习重重点、难点点解析重点：科科学的数学学化、数学学机械化的的发展。难点：要理解计计算机为什什么会促进进数学中新新学科的发发展，关键键是要认识识现代计算算机所具有有的5个基基本特点，即即：11运算能能力计计算机内部部有个承担担运算的部部件，叫做做运算器，它它是由一些些数学逻辑辑电路构成成的。由于于电子速度度非常快，因因此计算

37、机机每秒钟能能进行几十十亿次乃至至数万亿次次加减运算算。22计算精精度数数字式电子子计算机用用离散的数数字信号形形式模拟自自然界的连连续物理量量，这无疑疑存在一个个精度问题题。现在一一般的计算算机都能达达到15位位有效数字字，通过一一定的手段段可以实现现任何精度度要求。3记记忆能力在计算算机中有一一个承担记记忆智能的的部件，称称为存储器器。计算机机存储器的的容量可以以做得很大大，能存储储大量数据据，除了能能记住能各各种数据信信息外，存存储器还能能记住加入入这些数据据的程序。4逻辑判断能力逻辑判断能力就是因果关系分析能力，分析命题是否成立以便作出相应对策。计算机的逻辑判断能力是通过程序实现的，可

38、以让它做各种复杂的推理。5自动执行程序的能力计算机是个自动化电子装置，在工作过程中不需人工干预，能自动执行存放在存储器中的程序。程序是人经过仔细规划事先安排好了的，一旦设计好并将程序输入计算机后，向计算机发出命令，随后，它便成为人的替身，不知疲倦地工作着。计算机的这些特点为数学的运用和发展开拓了新的场所。如分形几何、突变数学等现代数学分支的发展和应用均离不开计算机。三、学习方方法辅导和和习题解答答1什么是统统一性和数数学的统一一性？法国国的布尔巴巴基学派是是如何来实实现数学的的统一？提示：法国的布布尔巴基学学派利用数数学结构实实现了数学学的统一。2简单说明社会科学数学化的主要原因？提示：第一，社会管理需要精确化的定量依据；第二，社会科学理论体系的发展需要精确化；第三，出现了一些适合研究社会历史现象的新的数学分支；第四，电子计算机的发展与应用。3数学机械化的含义是什么？简单叙说数学机械化的意义。提示：数学机械化的意义在于：（1）对于数学的发展具有巨大现实意义；（2）对于数学发展历程的认识具有深远的历史意义。