高中数学新课程创新教学设计案例--三角形边和角关系的探索1536149378.docx

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1、43 三角形边和角关系的探索教材分析初中已研究究过解直角角三角形，这这节所研究究的正、余余弦定理是是解直角三三角形知识识的延伸与与推广，它它们都反映映了三角形形边、角之之间的等量量关系，并并且应用正正、余弦定定理和三角角形内角和和定理，可可以解斜三三角形正正弦定理的的推证运用用了从特殊殊到一般的的方法，把把直角三角角形中得到到的边角关关系式推广广到锐角三三角形，再再推广到钝钝角三角形形，进而得得出一般性性的结论余弦定理理的推证采采用向量的的数量积做做工具，将将向量的长长度与三角角形的边长长、向量的的夹角与三三角形的内内角联系起起来对于于正、余弦弦定理的推推论，除了了这节课的的证法之外外，还有其

2、其他的一些些推证方法法教材中中还要求，在在证明了正正、余弦定定理之后，让让学生尝试试用文字语语言叙述两两个定理，以以便理解其其实质当当然，就知知识而言，正正弦定理有有三个等式式，可视为为三个方程程；余弦定定理的三个个式子也可可看成三个个方程，每每个方程中中均有四个个量，知道道其中任意意三个量便便可求第四四个量这节课的重重点是正、余余弦定理的的证明，以以及用正、余余弦定理解解斜三角形形，难点是是发现定理理、推证定定理以及用用定理解决决实际问题题任务分析这节内容是是在初中对对三角形有有了初步认认识的基础础上，进一一步研究三三角形的边边、角之间间的等量关关系对正正弦定理的的推导，教教材中采用用了从特

3、殊殊到一般的的方法，逐逐层递进，学学生易于接接受，而余余弦定理的的证明采用用了向量的的方法应应用两个定定理解三角角形时，要要分清它们们的使用条条件将正正、余弦定定理结合起起来应用，经经常能很好好地解决三三角形中的的有关问题题教学目标1. 理解解正、余弦弦定理的推推证方法，并并掌握两个个定理2. 能运运用正、余余弦定理解解斜三角形形3. 理解解并初步运运用数学建建模的思想想，结合解解三角形的的知识，解解决生产、生生活中的简简单问题教学设计一、问题情情景1. A，BB两地相距距25588m，从AA，B两处处发出的两两束探照灯灯光照射在在上方一架架飞机的机机身上（如如图43-1），问问：飞机离离两探

4、照灯灯的距离分分别是多少少？2. 如图图43-22，自动卸卸货汽车的的车厢采用用液压机构构，设计时时应计算油油泵顶杆BBC的长度度已知车车厢的最大大仰角为660，油油泵顶点BB与车厢支支点A之间间的距离为为1.955m，ABB与水平的的夹角为6620，AC长长为1.440m，计计算BC的的长（精精确到0.01m）问题：（11）图中涉涉及怎样的的三角形？（2）在三三角形中已已知什么？求什么？二、建立模模型1. 教师师引导学生生分析讨论论在问题情景景（1）中中，已知在在ABC中，A72.3，B76.5，AAB25558m求AC，BBC的长组织学生讨讨论如何利利用已知条条件求出AAC，BCC的长度（

5、让学生生思考，允允许有不同同的解法）结论：如图图40-33，作ADDBC，垂足足为D由由三角函数数的定义，知知ADAACsiinC，AADABBsinnB由此可得AACsiinCAABsiinB又由A，B的度数可可求C的度数，代代入上式即即可求出AAC的长度度，同理可可求BC的的长度教师明晰：（1）当ABC为直直角三角形形时，由正正弦函数的的定义，得得（2）当ABC为锐锐角三角形形时，设AAB边上的的高为CDD，根据三三角函数的的定义，得得CDaasinBBbsiinA，所所以，同理理.（3）当ABC为钝钝角三角形形时，结论论是否仍然然成立？引引导学生自自己推出（详细给给出解答过过程）事实上，

6、当当A为钝角时时，由（22）易知.设BC边上上的高为CCD，则由由三角函数数的定义，得得CDassinBbsinn（1800A）根据诱导公公式，知ssin（1180A）ssinA，asinnBbssinA，即即.正弦定理在一个三三角形中，各各边和它所所对角的正正弦的比相相等，即.正弦定理指指出了任意意三角形中中三条边与与它对应角角的正弦之之间的一个个关系式，描描述了任意意三角形中中边、角之之间的一种种数量关系系思考：正弦弦定理可以以解决有关关三角形的的哪些问题题？2. 组织织学生讨论论问题情景景（2）这一实际问问题可化归归为：已知知ABC的边边AB11.95，AAC1.4，夹角角为6220，求

7、求BC的长长组织学生讨讨论：能用用什么方法法求出BCC？（学生生有可能有有多种不同同的解法）教师明晰：如果已知知三角形的的两边和夹夹角，这个个三角形为为确定的三三角形，那那么怎样去去计算它的的第三边呢呢？由于涉涉及边长及及夹角的问问题，故可可以考虑用用平面向量量的数量积积（也可可用两点间间的距离公公式）如图，设a，bb，c，则则cabc22ccc（ab）（aab）222abbcosCC，c22b22abbcosCC同理a2b2c22bcccosAA，b2c2a22acccosBB于是得到以以下定理：余弦定理三角形中中任何一边边的平方等等于其他两两边的平方方的和减去去这两边与与它们的夹夹角的余弦

8、弦的积的两两倍即a2b22c22bcccosAA，b2c22a22acccosBB，c2a22b22abbcosCC思考：余弦弦定理可以以解决一些些怎样的解解三角形问问题？3. 进一一步的问题题勾股定理指指出了直角角三角形中中三边之间间的等量关关系，余弦弦定理则指指出了一般般三角形三三边之间的的等量关系系，那么这这两个定理理之间存在在怎样的关关系？如何何利用余弦弦定理来判判断三角形形是锐角三三角形还是是钝角三角角形？三、解释应应用例题1. （11）已知：在ABC中，AA32.0，BB81.8，42.9cm，解解三角形（2）已知知：在ABC中，20ccm，28cmm，A440，解解三角形（角精确

9、确到1，边边长精确到到1cm）分析：（11）本题为为给出三角角形的两角角和一边解解三角形问问题，可由由三角形内内角和定理理先求出第第三个角，再再两次利用用正弦定理理分别求出出另两边（2）本题题给出了三三角形的两两边及其中中一边的对对角，于是是可用正弦弦定理求出出b边的对对角B的正正弦，siinB00.89999，但00B，故角角有两个值值（如图443-8），从从而C角与与c边的取取值也有两两种可能学生在解解题时容易易丢掉一组组解，应引引导学生从从图形上寻寻找漏掉的的解2. （11）已知：在ABC中，已已知b660cm，cc34ccm，A41，解解三角形（角精确确到1，边边长精确到到1cm）（2

10、）已知知：在ABC中，1344.6cmm，877.8cmm，1661.7ccm，解三三角形（角角精确到11）分析：本例例中的（11）题，给给出了两边边及其夹角角，可先用用余弦定理理求出第三三边，求其其他两角时时既可用余余弦定理也也可用正弦弦定理（22）题给出出了三边长长，可先用用余弦定理理求出其中中一角，然然后同样既既可用正弦弦定理，也也可用余弦弦定理求出出其他两角角3. ABB是底部BB不可到达达的建筑物物，A为建建筑物的最最高点设设计一种测测量建筑物物高度ABB的方法分析：由于于建筑物的的底部B是是不可到达达的，所以以不能直接接测量出建建筑物的高高由解直直角三角形形的知识，只只要能知道道一

11、点C到到建筑物顶顶部A的距距离CA，并并能测出由由点C观察察A的仰角角，就可以以计算出建建筑物的高高为了求求出CA的的长，可选选择一条水水平基线HHG（如图图43-99），使HH，G，BB三点在同同一条直线线上在GG，H两点点用测角仪仪器测得AA的仰角分分别为，设CDD，测测角仪器的的高为，则则在ACD中，由由正弦定理理，得，ssin（），从从而可求得得ABAAEhACsiinhhh练习1. 在ABC中，已已知下列条条件，解三三角形（角角精确到11，边长长精确到11cm）（1）A45，CC30，110cm（2）A60，BB45，220cm（3）20cmm，111cm，BB30（4）54cmm，

12、399cm，11552. 在ABC中，已已知下列条条件，解三三角形（角角精确到00.1，边边长精确到到0.1ccm）（1）2.7ccm，3.6996cm，CC82.2（2）12.99cm，15.4cm，AA42.3（3）7cm，10ccm，6cm四、拓展延延伸1. 在ABC中，有有正弦定理理这涉及比值值的连等式式请探索索并研究是是一个什么么样的量，并并加以证明明2. 在ABC中，已已知三边的的长为，如如何判定ABC的形形状？3. 已知知：在ABC中，60，50，38，求B（精确到到1）分析：.0BB1800，B311或B149，但当B1149时时，ABB1877，这与与A，B为为三角形内内角矛

13、盾，故故B角只能能取31由此题与例例1中的（22）题的分分析可以发发现，在已已知三角形形两边及其其一边对角角解三角形形时，在某某些条件下下会出现一一解或两解解的情形，那那么会不会会出现无解解的情形呢呢？（1）当AA为钝角或或直角，必必须满足才有有解（无解），并并且由siinB计计算B时，只只能取锐角角，因此，只只有一解，如如图43-10（2）当AA为锐角时时，若或，则由ssinB计算B时时，只能取取锐角的值值，因此，只只有一解，如如图40-11若sinAA，则由ssinB，得siinB11，因此，无无解如图图43-112若bbsinAA，则由ssinB，得siinB11，即为为直角，故故只有一

14、解解，如图443-133若bsiinA，则则sinBB1，故故B可取一一个锐角和和一个钝角角的值，如如图43-14思考：若已已知三角形形的两角和和一边、三三边、两边边及其夹角角来解三角角形时，它它们的解会会是怎样的的？点评这篇案例设设计，思路路清晰，突突出现实首先通过过恰当的问问题情景阐阐述三角形形边角关系系产生的背背景，使学学生体会到到了数学在在解决实际际问题中的的作用然然后通过探探究、推导导活动，使使学生体会会到了数学学知识的发发现和发展展的历程例题与练练习的配备备由浅入深深，注重了了教学与自自然界的关关系拓展展延伸有深深度，为提提高学生的的思维能力力和创造力力提供了良良好平台总之，从现现实出发建建立正、余余弦定理的的模型，又又在现实应应用中升华华有关正、余余弦定理的的理解，是是这篇案例例的突出特特点