2019学年高中数学 学业分层测评12 圆、椭圆的参数方程的应用 苏教版选修4-4.doc

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1、1学业分层测评学业分层测评( (十二十二) ) 圆、椭圆的参数方程的应用圆、椭圆的参数方程的应用(建议用时：45 分钟)学业达标1当x2y24 时，求ux22xyy2的最值3【解】 设Error!(02)，于是ux22xyy234cos28cos sin 4sin234cos 24sin 238sin(2) 6所以，当，x，y1 时，或，x，y1 时，umax8； 637 63当，x1，y时，或，x1，2 335 3y时，umin8.32若x，y满足(x1)2(y2)24，求 2xy的最值【解】 令x12cos ，y22sin ，则有x2cos 1，y2sin 2，故 2xy4cos 22si

2、n 24cos 2sin 2sin()(tan 2)522xy2.55即 2xy的最大值为 2，最小值为2.553过点P(3,0)且倾斜角为 30的直线和曲线Error!(t为参数)相交于A、B两点求线段AB的长【导学号：98990037】【解】 直线的参数方程为Error!(s为参数)，曲线Error!(t为参数)可以化为x2y24.将直线的参数方程代入上式，得s26s100.3设A、B对应的参数分别为s1，s2，s1s26，s1s210.3AB|s1s2|2.s1s224s1s21724已知A是椭圆长轴的一个端点，O是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P，使OPA90，求椭圆离心率的取值范围【解

3、】 设椭圆的方程为1，A(a,0)，设P(acos ，bsin )是椭圆上一点，x2 a2y2 b2则(acos a，bsin )，(acos ，bsin )，由于OPA90，所以APOPAP0，即(acos a)acos b2sin20，OPa2(cos2cos )b2sin20，a2cos (cos 1)b2(1cos )(1cos )0.因为P与A不重合，所以 cos 10，则a2cos b2(1cos )，b2 a2cos 1cos 11.c2 a2b2 a2cos 1cos 1 1cos 因为(0，)( ，2)， 23 2所以( ，1)，e(，1)c2 a21 2225已知椭圆y21

4、 上任一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B1、B2的连线分别交x2 4x轴于P、Q两点，求证：OPOQ为定值【证明】 设M(2cos ，sin )，为参数，B1(0，1)，B2(0,1)则MB1的方程：y1x，sin 1 2cos 令y0，则x，2cos sin 1即OP|.2cos 1sin MB2的方程：y1x，sin 1 2cos 令y0，则x.2cos 1sin OQ|.2cos 1sin 3OPOQ|4.2cos 1sin 2cos 1sin 即OPOQ4 为定值6已知直线C1：Error!(t为参数)，圆C2：Error!(为参数)，(1)当时，求C1与C2的交点坐标； 3(2)过

5、坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点，当变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线【解】 (1)当时，C1的普通方程为y(x1)，C2的普通方程为x2y21. 33联立方程组Error!解得C1与C2的交点为(1,0)，( ，)1 232(2)C1的普通方程为xsin ycos sin 0.A点坐标为(sin2，cos sin )，故当变化时，P点轨迹的参数方程为Error!(为参数)，P点轨迹的普通方程为(x )2y2，1 41 16故P点的轨迹是圆心为( ，0)，半径为 的圆1 41 47求椭圆C：1 上的点P到直线l：3x4y180 的距离的最小值x2 16y2 9【解

6、】 设点P的坐标为(4cos ，3sin )，其中0,2)，则点P到直线l的距离d|12cos 12sin 18| 5|12 2sin418|5，12 2sin418512 2185当 sin()1 时，等号成立因为0,2)，所以. 45 4所以当时，d取得最小值.5 41812 25能力提升8在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为Error!，其中为参数以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 2cos()3.求 364椭圆C上的点到直线l距离的最大值和最小值【解】 直线l的普通方程为：xy30，设椭圆C上的点到直线l距离为d.36d| 3cos 3sin 3 6|26sin43 62当 sin()1 时，dmax2， 46当 sin( )1 时，dmin.46