2019学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 阶段复习课学案 苏教版选修1-1.doc

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1、1第二课第二课 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程体系构建题型探究圆锥曲线的定义的应用圆锥曲线的定义在解题中有着重要作用，要注意灵活运用，可以优化解题过程，圆锥曲线的定义是相对应标准方程和几何性质的“源” ， “回归定义”是一种重要的解题策略运用定义解题主要体现在以下几个方面：(1)在求动点的轨迹方程时，如果动点所满足的几何条件符合某种圆锥曲线的定义，则可直接根据圆锥曲线的方程写出所求的动点的轨迹方程；2(2)涉及椭圆或双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题，常常运用圆锥曲线的定义并结合三角形中的正、余弦定理来解决；(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义，把抛物线上某一点到焦点的距离转化为到准

2、线的距离，并结合图形的几何意义去解决设F1，F2是椭圆1 的两个焦点，P是椭圆上的一点，x2 9y2 4若0，且PF1PF2，求的值. PF1PF2PF1 |PF2|【导学号：95902159】思路探究 0PF1PF2PF1F2是 直角三角形椭圆的定义求出PF1与PF2【规范解答】 由0，知PF1PF2，F1FPFPF，PF1PF22 22 12 2由椭圆方程1，知a29，b24，x2 9y2 4c，F1F22.因此PFPF20. 94552 12 2又由椭圆定义，得PF1PF26. 由题意知，PF1PF2，联立、得PF14，PF22.从而的值为 2.PF1 PF2跟踪训练1已知双曲线的两个焦

3、点F1(，0)，F2(，0)，P是双曲线上一点，且 55PF1PF20，PF1PF22，则双曲线的标准方程为_【解析】 由题意可设双曲线方程为1(a0，b0)由 0，得x2 a2y2 b2PF1PF2PF1PF2.根据勾股定理得PFPF(2c)2，即PFPF20.2 12 22 12 2根据双曲线定义有PF1PF22a.两边平方并代入PF1PF22 得：20224a2，解得a24，从而b2541，所以双曲线方程为y21.x2 4【答案】 y21x2 4圆锥曲线的方程与性质的应用1.本类问题主要有两种考查类型：(1)已知圆锥曲线的方程研究其几何性质，其中以求椭圆、双曲线的离心率为考查重点；3(2

4、)已知圆锥曲线的性质求其方程2对于求椭圆和双曲线的离心率，有两种方法：(1)代入法就是代入公式e 求离心率；c a(2)列方程法就是根据已知条件列出关于a，b，c的关系式，然后把这个关系式整体转化为关于e的方程，解方程即可求出e值3求曲线方程的基本方法是待定系数法，其步骤可以概括为“先定位、后定量 ”已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线与抛物线y22px(p0)的准线x2 a2y2 b2分别交于A，B两点，O为坐标原点若双曲线的离心率为 2，AOB的面积为，则3p_.思路探究 双曲线的 离心率为2建立a，b的 等量关系求出A，B 两点坐标SAOB 3求p【规范解答】 e2，b23a2，双曲线

5、的两条渐近线方程为yx，不妨设3A，B，则ABp，又三角形的高为 ，则S(p 2，3p2)(p 2，3p2)3p 2AOB p，即p24，又p0，p2.1 2p 233【答案】 2跟踪训练2已知椭圆C：1(ab0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，x2 a2y2 b2连接AF，BF.若|AB|10，|AF|6，cosABF ，则C的离心率e_. 4 5【导学号：95902160】【解析】 在ABF中，由余弦定理得，cosABF，BF216BF640，BF8，设右焦点为F1，因为直线过AB2BF2AF2 2ABBF原点，BF1AF6，2aBFBF114，a7，O为 RtABF斜边A

6、B的中点，OFAB5，c5，e .1 25 7【答案】 5 7直线与圆锥曲线的位置关系1.判断直线与二次曲线的位置关系，可把直线方程与二次方程联立，消元后的一元二次方程的判别式大于零，则直线与圆锥曲线有两个交点；等于零，则只有一个交点；小于4零，则没有交点2涉及直线与圆锥曲线的两个交点坐标问题时，一般不是求出这两个点的坐标，而是设出这两个点的坐标，根据直线方程和曲线方程联立消元后的方程根的情况，使用根与系数的关系进行整体代换，这种设而不求的思想是解析几何中处理直线和二次曲线相交问题的最基本的方法设椭圆1(ab0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的x2 a2y2 b233直线被椭圆截得

7、的线段长为.4 33(1)求椭圆的方程；(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点，若8，求k的值ACDBADCB思路探究 (1)利用过点F且与x轴垂直的直线方程，根据线段的长度求出交点的坐标并代入椭圆方程求出a和b，可得椭圆方程；(2)设出直线方程，和椭圆方程联立得到二次方程，利用韦达定理把向量式用点的坐标表示得到关于k的方程，解方程可得k的值【规范解答】 (1)设F(c,0)，由 ，知ac.过点F且与x轴垂直的直线为c a333xc，代入椭圆方程有1，解得y，于是，解得b.c2 a2y2 b26b32 6b34 332又a2c2b2，从而a，c1，所以

8、椭圆的方程为1.3x2 3y2 2(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(1,0)得直线CD的方程为yk(x1)，由方程组Error!消去y，整理得(23k2)x26k2x3k260.由根与系数的关系可得x1x2，x1x2.因为A(，0)，B(，0)，6k2 23k23k26 23k233所以(x1，y1)(x2，y2)(x2，y2)(x1，y1)ACDBADCB333362x1x22y1y262x1x22k2(x11)(x21)6(22k2)x1x22k2(x1x2)2k26.由已知得 68，解得k.2k212 23k22k212 23k22跟踪训练3已知抛物线C：y24x，F是

9、抛物线C的焦点，过点F的直线l与C相交于A，B两5点，O为坐标原点(1)如果l的斜率为 1，求以AB为直径的圆的方程；(2)设FA2BF，求直线l的方程. 【导学号：95902161】【解】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)y24x，F(1,0)，又直线l的斜率为 1，直线l的方程为yx1，代入y24x，得x26x10，由根与系数的关系得Error!，易得AB的中点，即圆心的坐标为(3,2)，又ABx1x2p8，圆的半径r4，所求的圆的方程为(x3)2(y2)216.(2)FA2BF，2，而(x11，y1)，(1x2，y2)，Error!FABFFABF易知直线l的斜率存在，设直线l

10、的斜率为k，则直线l的方程为yk(x1)，代入y24x，得k2x2(2k24)xk20，由根与系数的关系得Error!x112(1x2)，Error!或Error!，k2，直线l的方程为y2(x1).22函数与方程思想圆锥曲线中的许多问题，若能运用函数与方程的思想去分析，则往往能较快地找到解题的突破口用函数思想求解圆锥曲线中的有关定值、最值问题，最值问题可以说是高中数学中永恒的话题，在圆锥曲线问题中也不例外，而函数思想是解决最值问题最有利的武器我们通常可用建立目标函数的方法解有关圆锥曲线的最值问题方程思想是从分析问题的数量关系入手，通过联想与类比，将问题中的条件转化为方程或方程组，然后通过解方

11、程或方程组使问题获解方程思想是高中数学中的最基本、最重要的思想方法之一，在高考中占有非常重要的地位在求圆锥曲线方程、直线与圆锥曲线的位置关系的问题中经常利用方程或方程组来解决点A、B分别是椭圆1 长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点x2 36y2 20P在椭圆上，且位于x轴上方，PAPF.(1)求点P的坐标；(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于MB，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值. 【导学号：95902162】思路探究 由PAPF得 P点的轨迹方程与椭圆方程联立， 求P点的坐标6由M到直线AP 的距离等于MB 求出M点坐标将距离d表示成关于 椭圆上点的横坐标的函数，

12、 转化为函数最值.【规范解答】 (1)由已知可得点A(6,0)，F(4,0)设点P(x，y)，则kAPkPF1.由已知可得Error!则 2x29x180.解得x ，或x6(舍去)3 2所以x ，由于y0，故y.所以点P的坐标是.3 25 32(3 2，5 32)(2)易知直线AP的方程是xy60.设点M(m,0)，则M到直线AP的距离是.3|m6| 2于是|m6|.又6m6，解得m2.椭圆上的点(x，y)到点M的距离的平|m6| 2方为：d2(x2)2y2x24x420x215.5 94 9(x9 2)2由于6x6，所以当x 时，d取得最小值.9 215跟踪训练4.如图 21，椭圆1 的左焦

13、点为F，上顶点为A，过点A作直线AF的垂线分别x2 4y2 3交椭圆，x轴于B，C两点图 21(1)若，求实数的值；ABBC(2)设点P为三角形ACF的外接圆上的任意一点，当三角形PAB的面积最大时，求点P的坐标. 【导学号：95902163】【解】 (1)由条件得F(1,0)，A(0，)，kAF.33ABAF，kAB，AB：yx.33333令y0，得x3，C(3,0)由Error!得 13x224x0，7解得x10(舍)，x2，24 13B.，(24 13，5 313)ABBC0，且 .|AB|BC|24 13324138 5(2)ACF是直角三角形，ACF的外接圆的圆心为D(1,0)，半径

14、为 2，圆D的方程为(x1)2y24.AB长为定值，当PAB的面积最大时，点P到直线AC的距离最大过D作AC的垂线m，则点P为直线m与圆D的交点直线m：y(x1)与(x1)2y24 联立Error!3解得x2(舍)或x0，点P的坐标为(0，)3链接高考1已知双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线方程为yx，且与椭圆x2 a2y2 b2521 有公共焦点，则C的方程为_x2 12y2 3【解析】 由双曲线C的一条渐近线方程为yx，可知 ， 52b a52又椭圆1 的焦点坐标为(3,0)和(3,0)，x2 12y2 3a2b29. 由联立可解得a24，b25，所以双曲线C的方程为1.x2 4y2

15、5【答案】 1x2 4y2 52已知椭圆1(ab0)的左焦点为F(c,0)，右顶点为A，点E的坐标为x2 a2y2 b28(0，c)，EFA的面积为，则椭圆的离心率为_. b2 2【导学号：95902164】【解析】 由已知可得 (ca)c，又由b2a2c2，可得 2e2e10，又因为1 2b2 20e1，解得e .1 2【答案】 1 23在平面直角坐标系xOy中，双曲线y21 的右准线与它的两条渐近线分别交于x2 3点P、Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是_【解析】 由双曲线的方程得，双曲线的右准线为x ，两条渐近线方程为3 2yx，右准线与两条渐近线的交点坐标为，不妨设F

16、1(2,0)，F2(2,0)，33(3 2， 32)P，Q(3 2，32)(3 2，32)则四边形F1PF2Q的面积为S四边形F1PF2Q |F1F2|PQ| 42.1 21 233【答案】 234若双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线被圆(x2)2y24 所截得的x2 a2y2 b2弦长为 2，则C的离心率为_. 【导学号：95902165】【解析】 圆(x2)2y24 的圆心为(2,0)，半径r2.不妨设双曲线C的一条渐近线为yx，即bxay0b a因为该渐近线被圆(x2)2y24 所截得的弦长为 2所以，两边平方得 3a2b2，即3|2b|b2a2413b2 a2从而e2.1b2a21

17、3【答案】 25.如图 22，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：1(ab0)的左、右焦点分别x2 a2y2 b2为F1，F2，离心率为 ，两准线之间的距离为 8，点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点1 2F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2.9图 22(1)求椭圆E的标准方程；(2)若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标【解】 (1)设椭圆的半焦距为c.因为椭圆E的离心率为 ，两准线之间的距离为 8，1 2所以 ，8，c a1 22a2 c解得a2，c1，于是b，a2c23因此椭圆E的标准方程是1.x2 4y2 3(2)由(1)知，F1(1,0)，F2(1,0)

18、设P(x0，y0)，因为P为第一象限内的点，故x00，y00.当x01 时，l2与l1相交于F1，与题设不符当x01 时，直线PF1的斜率为，直线PF2的斜率为.y0 x01y0 x01因为l1PF1，l2PF2，所以直线l1的斜率为，直线l2的斜率为，x01 y0x01 y0从而直线l1的方程为y(x1)， x01 y0直线l2的方程为y(x1) x01 y0由，解得xx0，y，所以Q.x2 01 y0(x0，x2 01 y0)因为点Q在椭圆E上，由对称性，得y0，x2 01 y0即xy1 或xy1.2 02 02 02 0又点P在椭圆E上，故1.x2 0 4y2 0 3由Error!解得Error!Error!无解10因此点 P 的坐标为.(4 77，3 77)