数学上《圆周角》课件.ppt

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1、n探索圆周角和圆心角的关系探索圆周角和圆心角的关系n理解圆周角和圆心角的概念及性质理解圆周角和圆心角的概念及性质n体会分类归纳等数学方法体会分类归纳等数学方法一、旧知回放一、旧知回放:.OBC答：答：相等相等.2.圆心角的度数和它所对的弧的圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系度数的关系?B3、(05年茂名年茂名)下列命题是真命题下列命题是真命题的是的是()1)垂直弦的直径平分这条弦垂直弦的直径平分这条弦2)相等的圆心角所对的弧相等相等的圆心角所对的弧相等3)圆既是轴对称图形圆既是轴对称图形,还是中心对还是中心对称图形称图形A 1)2)B 1)3)C 2)3)D 1)2)3)课前热身课前热身AO

2、Bn1 判断题：判断题：(1)相等的圆心角所对的弧相等相等的圆心角所对的弧相等 。(2)等弦对等弧等弦对等弧。(3)等弧对等弦等弧对等弦。(4)长度相等的两条弧是等弧长度相等的两条弧是等弧。(5)平分弦的直径垂直于弦平分弦的直径垂直于弦。圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系在同圆或等圆中，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等的圆心角所对的弧相等相等，所对的弦所对的弦相等相等 所对的弦的弦心距相等所对的弦的弦心距相等所对的弦的弦心距相等所对的弦的弦心距相等圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系在同圆或等圆中，在同圆或等圆中，如果两个如果两个圆心角圆心角、两条两条弧弧、两

3、条两条弦弦中有中有一组量一组量相等，相等，中有中有一组量一组量相等，那么它们所对应的相等，那么它们所对应的其余各组量其余各组量都分别都分别相等相等1.圆心角的定义圆心角的定义?.OBC答答:顶点在圆心的角叫圆心角顶点在圆心的角叫圆心角.OBCA特征：特征：角的顶点在圆上角的顶点在圆上.角的两边都与圆相交角的两边都与圆相交.圆周角定义圆周角定义:顶点在圆上顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角并且两边都和圆相交的角叫叫圆周角圆周角.辩一辩辩一辩图中的图中的CDE是圆周角吗是圆周角吗?CDECDECDECDE圆周角：圆周角：圆周角：圆周角：_，并且的角，并且的角，并且的角，并且的角_。圆心角圆心角圆心

4、角圆心角:_ _ _ _ 的角的角的角的角.顶点在圆上顶点在圆上顶点在圆上顶点在圆上两边都和圆相交两边都和圆相交两边都和圆相交两边都和圆相交顶点在圆心顶点在圆心顶点在圆心顶点在圆心辨别是非如图所示的角，哪些是圆周角如图所示的角，哪些是圆周角练习：练习：1、判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。不是不是不是不是是是不是不是不是不是图图图图图图图图图图2、指出图、指出图中的圆周中的圆周角。角。AOBCACO ACB BCO OAB BAC OAC ABO CBO ABC有没有圆周角？有没有圆周角？有没有圆心角？有没有圆心角？它们有什么共同的特点

5、？它们有什么共同的特点？它们都对着它们都对着同一条弧同一条弧 下列图形中，哪些图形中的圆心角下列图形中，哪些图形中的圆心角BOCBOC和和圆周角圆周角A A是同对一条弧。是同对一条弧。问题：圆周角的度数与相应的圆心角度数有问题：圆周角的度数与相应的圆心角度数有什么关系？什么关系？(1)当圆心在圆周角的一边上时当圆心在圆周角的一边上时,探探究究一：一：证明证明:(圆心在圆周角上圆心在圆周角上)结论：一条弧所对的圆周角等于它所对结论：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半圆心角的一半.COBA2.当圆心在圆周角外部时当圆心在圆周角外部时结结论论:一一条条弧弧所所对对的的圆圆周周角角等等于于它它所

6、所对对圆圆心角的一半心角的一半.提示提示:能否转化为能否转化为1的情况的情况?n过点过点B B作直径作直径BD.BD.由由1 1可得可得:ABC=AOC.ABC=AOC.nABD=AOD,CBD=ABD=AOD,CBD=COD,COD,ODABC3.当圆心在圆周角内部时当圆心在圆周角内部时提示提示:能否转化为能否转化为1的情况的情况?n过点过点B作直径作直径BD.由由1可得可得:ABC=AOC.ABC=AOC.nABD=AOD,CBD=COD,ABD=AOD,CBD=COD,OABCD结结论论:一一条条弧弧所所对对的的圆圆周周角角等等于于它它所所对对圆心角的一半圆心角的一半.结论结论:圆周角的

7、定理：圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。所对的圆心角的一半。ABCO如图，已知在如图，已知在 O O 中，中，BOC=150BOC=150，求，求A A2 2、如图，、如图，A A是圆是圆O O的圆周角，的圆周角，A=40A=40，求，求OBCOBC的度数。的度数。练习：练习：2.如图，圆心角如图，圆心角AOB=100，则，则ACB=_。OABCBAO.70 x1.求圆中角求圆中角X的度数的度数130AO.X120CCDB3、如图，在直径为如图，在直径为AB的半圆中，的半圆中，O为为

8、圆心，圆心，C、D为半圆上的两点，为半圆上的两点，COD=500，则，则CAD=_25做做看，收获知多少？做做看，收获知多少？一、判断一、判断1 1、顶点在圆上的角叫圆周角。、顶点在圆上的角叫圆周角。2 2、圆周角的度数等于所对弧上的圆心角度数的一半。、圆周角的度数等于所对弧上的圆心角度数的一半。.O3636或或1441442 2、如图，已知圆心角如图，已知圆心角AOB=100AOB=100，求圆周角，求圆周角ACB=_ACB=_、ADB=_ADB=_。DAOCB1、半径为、半径为R R的圆中，有一弦分圆的圆中，有一弦分圆周成周成1 1：4 4两部分，则弦所对的圆两部分，则弦所对的圆周角的度数

9、是周角的度数是 。二、计算二、计算1301305050做一做，成功在向你招手做一做，成功在向你招手！OACB已知：已知：AOB=100，求，求ACB的度数的度数3.3.已知已知O中弦中弦AB的等于半径的等于半径,求弦求弦AB所对所对 的圆心角和圆周角的度数的圆心角和圆周角的度数.OAB圆心角为圆心角为60圆周角为圆周角为30或或150.1 1、已知、已知AOBAOB7575，求：求：ACB=ACB=。2 2、已知、已知AOBAOB120120，求：求：ACB=ACB=3 3、已知、已知ACDACD3030，求：求：AOB=AOB=4 4、已知、已知AOBAOB110110，求：求：ACB=AC

10、B=2.如图，圆心角如图，圆心角AOB=100，则，则ACB=_。OABC3、如图，、如图，AB是是 O的直径，的直径，AOD是圆心角，是圆心角，BCD是圆周角，是圆周角，若若BCD=25，则，则AOD=。130例例1.如图：如图：OA、OB、OC都是都是 O的半径的半径 AOB=2 BOC.求证：求证：ACB=2 BAC.AOB=2BOCAOBCACB=2BAC证明：证明：规律规律:解决圆周角和圆心角的计算和证明问题解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理然后再灵活运用圆周角定理分析分析:AB所对圆周角

11、是所对圆周角是ACB,圆心角是圆心角是AOB.则则ACB=AOB.BC所对圆周角是所对圆周角是BAC,圆心角是圆心角是BOC,则则BAC=BOCACB=AOBBAC=BOCn圆周角圆周角:ABC,ADC,AEC.n这三个角的大小有什这三个角的大小有什么关系么关系?.圆周角圆周角n当球员在当球员在B,D,EB,D,E处射门时处射门时,他所处的位置对球门他所处的位置对球门ACAC分别形成三个张角分别形成三个张角ABC,ADC,AEC.ABC,ADC,AEC.这这三个角的大小有什么关三个角的大小有什么关系系?.?.BACBACBACBACBACBACBACDEDOE如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面的

12、示意图如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面的示意图,人们可以通人们可以通过其中的圆弧形玻璃过其中的圆弧形玻璃AB AB 观看窗内的海洋动物观看窗内的海洋动物,同学甲站在同学甲站在圆心的圆心的O O 位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C C，他们的视角（他们的视角（AOB AOB 和和ACBACB）有什么关系？如果同学丙、）有什么关系？如果同学丙、丁分别站在他靠墙的位置丁分别站在他靠墙的位置D D和和E E，他们的视角（，他们的视角（ADB ADB 和和AEBAEB ）和同学乙的视角相同吗？）和同学乙的视角相同吗？探 究试找出下图中所有相等的圆周角。同弧

13、或等弧所对的圆周角相等；同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。FED思考：思考：1 1、“同圆或等圆同圆或等圆”的条件能否去掉？的条件能否去掉？2 2、判断正误：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、判断正误：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个圆周角中有一两条弧、两条弦、两条弦心距、两个圆周角中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等。组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等。推推 论论 14、如图，AB是O的直径 =，A=30，则BOD=。5、如图，OA、OB、OC都是O的半径，AOB=2B

14、OC，ACB与BAC的大小有什么关系？为什么？601.半圆或直径所对的圆周角等于多少度？半圆或直径所对的圆周角等于多少度？推论：推论：半圆或直径所对的圆周角都相等半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于都等于90(直角直角).反过来也是成立的反过来也是成立的,即即90的圆周角所对的弦是圆的直径的圆周角所对的弦是圆的直径探究二：OABC2.90的圆周角所对的弦是的圆周角所对的弦是否是直径？否是直径？画板3 推推 论论 2 半圆（或直径）所对的圆周角是半圆（或直径）所对的圆周角是9090；9090的圆周角所对的弦是直径。的圆周角所对的弦是直径。如果三角形一边上的中线等于这条边的如果三角形一边上的中线等

15、于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。一半，那么这个三角形是直角三角形。推推 论论 3什么时候圆周角是直角？反什么时候圆周角是直角？反过来呢？过来呢？直角三角形斜边中线有什么直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？性质？反过来呢？例题例题:如图，如图，AB为为 O的直径，的直径，A=70，求，求ABC的度数的度数。ABCO解：解：AB为为 O的直的直径径C=90，又，又A=70 B=20 AB是是 O的直径的直径,BCD=300,则则ABD=_ODCAB300例例如图，如图，O直径直径AB为为10cm，弦，弦AC为为6cm，ACB的平的平分线交分线交 O于于D，求，求BC、AD、BD的长

16、的长又在又在RtABD中，中，AD2+BD2=AB2，解：解：AB是直径，是直径，ACB=ADB=90在在RtABC中，中，CD平分平分ACB，AD=BD.例题例题练习练习1 1、在圆中，一条弧所对的圆心角和圆周角分、在圆中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为（别为（2x+1002x+100）和（和（5x305x30），求这条，求这条弧所对的圆心角和圆周角的度数。弧所对的圆心角和圆周角的度数。2 2、如图，、如图，A A是圆是圆O O的圆周角，的圆周角，A=40A=40，求求OBCOBC的度数。的度数。1.如图如图,内接于内接于O,BD是是O的直径的直径,BD交交AC于点于点E,连接连接DC,则

17、则 （）.A.B.C.D.5.如图如图AB是是 O的直径的直径,C,D是圆上的两点是圆上的两点,若若ABD=40,则则BCD=.ABOCD40提示提示:连接连接AD50 2.如图所示如图所示,O为为 的外接圆的外接圆,CE是是O的直径的直径,于于D,求证：求证：.4.如图如图,内接于内接于O,AB=AC,BD为为O的直径的直径,AD=6,则则BC=.练习：练习：2.如图，圆心角如图，圆心角AOB=100，则，则ACB=_。OABCBAO.70 x1.求圆中角求圆中角X的度数的度数AO.X120AO.X120CCDB3.半圆（或直径）所对的圆周角是半圆（或直径）所对的圆周角是_，90的圆周角的圆

18、周角所对的弦是所对的弦是_。3.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形（提示：作出以这条边为直径的圆三角形是直角三角形（提示：作出以这条边为直径的圆.）ABCO求证：求证：ABC为直角三角形为直角三角形.证明：证明：CO=AB,以以AB为直径作为直径作 O，AO=BO，AO=BO=CO.点点C在在 O上上.又又AB为直径为直径,ACB=180=90.已知：已知：ABC 中，中，CO为为AB边上的中线，边上的中线，且且CO=ABABC为直角三角形为直角三角形.课本练课本练习习3.半径为半径为1的圆中有一条弦的圆中

19、有一条弦,如果它的如果它的长为长为 ,那么这条弦所对的圆周角那么这条弦所对的圆周角的度数等于的度数等于_.5.如图所示如图所示,是是O的内接三角形的内接三角形,点点C是优弧是优弧AB上的一点（点上的一点（点C不与不与A、B重合）重合）,设设猜想猜想 之间的关系之间的关系,并给予证明并给予证明.如图如图AB是是 O的直径的直径,C,D是圆上的两点是圆上的两点,若若ABD=40,则则BCD=.ABOCD40练习练习33 3、若圆的一条弦把圆分成度数的比为、若圆的一条弦把圆分成度数的比为1 1：3 3的的两条弧，则劣弧所对的圆周角等于多少度。两条弧，则劣弧所对的圆周角等于多少度。4 4、如图，、如图

20、，BCBC为圆为圆O O的直径，的直径，F F是半圆上异于是半圆上异于B B、C C的一点，的一点，A A是是BFBF的中点的中点ADBCADBC，垂足为，垂足为D D，BFBF交交ADAD于点于点E E。说明：说明：AE=BE AE=BE 6.如图所示如图所示,BC为为O的直径的直径,G是半是半圆上任意一点圆上任意一点,点点A为为 的中点的中点,求证：求证：BE=AE=EF.5.如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少种方法？与同学交流一下少种方法？与同学交流一下DABCOOO方法一方法一方法二方法二方法三方法三方法四方法四AB练练习习

21、2.如图所示如图所示,O为为 的外接圆的外接圆,CE是是O的直径的直径,于于D,求证：求证：.5、如图，在、如图，在 O中，中，BC=2DE，BOC=84，求，求A的度数的度数。4 4、ABAB、ACAC为为O O的两条弦，延长的两条弦，延长CACA到到D D，使，使AD=ABAD=AB，如果，如果ADB=35ADB=35，求，求BOCBOC的度数。的度数。解解AB=ACABD=ADB=35BAC=ABD+ADB=70BOC=2BAC=140解解:连接连接CDBOC=84BDC=BOC=42BOC=84BDC=BOC=42BC=2DEDEBC=2DEDE为为4242的弧的弧DCE=42 =21

22、DCE=42 =21A=BDC-DCE=42-21=21A=BDC-DCE=42-21=211、如图，如图，ABC叫叫 O的的_三角形三角形，O叫叫ABC的的 _ 圆圆.2、如图如图1，若弧，若弧BC的度数为的度数为1000，则则BOC=_，A=_ _.复习回顾复习回顾内接内接 外接外接 100 50 OOC CA AB BD D如图，四边形如图，四边形ABCDABCD为为圆内接四边形；圆内接四边形；OO为为四边形四边形ABCDABCD外接圆外接圆.问题问题16、如图，A、B、C、D是O上的四个点，且BCD=100，求BOD（所对的圆心角）和BAD的大小。如图如图,AB是直径是直径,则则ACB

23、=ABOC若一个多边形各顶点都在同一个圆上，那么，若一个多边形各顶点都在同一个圆上，那么，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆多边形的外接圆。OBCDEFAOACDEB问题问题2返回COODBA 如图：圆内接四边形ABCD中，A的度数等于弧BCD的一半，BCD的度数等于弧BAD的一半，又弧BCD+弧BAD 度数为360，AC180.同理BD180.圆内接四边形的对角互补。圆内接四边形的对角互补。问题问题3 如果延长如果延长BCBC到到E E，那么，那么DCEDCEBCD BCD 180.A ADCE.DCE.又又 A A BCDBC

24、D 180180，C COOD DB BA AE因为A是与DCE相邻的内角DCB的对角，我们把A叫做DCE的内对角。圆内接四边形的一个圆内接四边形的一个外角等于它的内对角。外角等于它的内对角。C COOD DB BA AEA ADCEDCE探索结论探索结论 先根据图形讨论，然后用语言归纳为先根据图形讨论，然后用语言归纳为:圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。都等于它的内对角。几何表达式：几何表达式：四边形四边形ABCD内接于内接于 O，A+C=180且且B=1.n性质定理：性质定理：1、如图，四边形ABCD为O的内接四边形，已知

25、BOD=100，则BAD=BCD=反馈练习：ABCDO2、圆内接四边形ABCD中,A:B:C=2:3:4,则A=B=C=D=501306090120903、如图，四边形ABCD内接于O，DCE=75，则BOD=150ABCDOE应用举例应用举例例例 如图如图OO1 1与与OO2 2都经过都经过A A、B B两点，经过点两点，经过点A A的直线的直线CDCD与与OO1 1 交于点交于点C C，与，与OO2 2 交于点交于点D D。经过点经过点B B的直线的直线EFEF与与OO1 1 交于点交于点E E，与，与OO2 2 交交于点于点F F。求证：求证：CEDFCEDF1 12 2OOFABECD

26、 CEDF EF180 E1180、1FABEC是O1的内接四边形ABFD是O2的内接四边形连结AB1 12 2OOFABECD1思路分析思路分析 证明：连结证明：连结AB例例1：如图如图4，O1和和 O2都经过都经过A、B两点，两点，经过点经过点A的直线的直线CD与与 O1相交于点相交于点C，与，与 O2相交于点相交于点D，经过点，经过点B的直线的直线EF与与 O1 相交于点相交于点E，与，与 O2相交于点相交于点F。求证：求证：CE DFABEC是是 O1的内接四边形的内接四边形1+E=1800又又ADFB是是 O2的内接四边形的内接四边形1=F.E+F=1800CEDF1反思与拓展反思与

27、拓展 证明两条直线平行的方法很多，但常用的还是通过证明同位角证明两条直线平行的方法很多，但常用的还是通过证明同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等方法。刚才我们通过同旁相等、内错角相等、同旁内角互补等方法。刚才我们通过同旁内角互补证明了内角互补证明了CE DF，想一想还能否通过同位角相等或者，想一想还能否通过同位角相等或者内错角相等证明结果？内错角相等证明结果？1）延长）延长EF,是否有是否有E=BAD 1？2)延长延长DF,能否证明能否证明E3？变式1：如图，O1和O2都经过A、B两点，过A点的直线CD与O1交于点C，与O2交于点D，过B点的直线EF与O1交于点E，与O2交于点F。EDCFA

28、B猜想：CEDF仍然成立吗？O1O2变式2:如图,O1和O2有两个公共点AB，过AB两点的直线分别交O1于C、E,交O2于D、F，且CDEF。CEABDFO1O2 求证：CE=DF思维拓展:1、圆内接平行四边形一定是 形。2、圆内接梯形一定是 形。3、圆内接菱形一定是 形。矩等腰梯正方弧、弦与弧、弦与圆心角圆心角的的关系定理：关系定理：1、在同圆或等圆中，在同圆或等圆中，相等的相等的圆心角圆心角所对的弧相等，所对所对的弧相等，所对的弦也相等的弦也相等2、在同圆或等圆中在同圆或等圆中，相等的，相等的弧所对的弧所对的圆心角圆心角相等，相等，所对所对的弦也相等。的弦也相等。3、在同圆或等圆中在同圆或等圆中，相等的，相等的弦所对的弦所对的圆心角圆心角相等，所对相等，所对的弧也相等的弧也相等弧、弦与弧、弦与圆周角圆周角的的关系定理：关系定理：1、在同圆或等圆中，在同圆或等圆中，相等的相等的圆周角圆周角所对的弧相等，所对所对的弧相等，所对的弦也相等的弦也相等2、在同圆或等圆中在同圆或等圆中，相等的，相等的弧所对的弧所对的圆周角圆周角相等，相等，所对所对的弦也相等。的弦也相等。3、在同圆或等圆中在同圆或等圆中，相等的，相等的弦所对的弦所对的圆周角圆周角相等相等或互补！或互补！圆圆周周角角定定理理：一一条条弧弧所所对对的的圆圆周周角角等等于于它它所所对对的的圆圆心心角角的的一一半半.