拉普拉斯变换-拉普拉斯变换表.ppt

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1、20140107拉普拉斯变换拉普拉斯变换-拉普拉斯变换表拉普拉斯变换表拉普拉斯变换拉普拉斯变换 系系统统的的数数学学模模型型以以微微分分方方程程的的形形式式表表达达输输出出与与输输入入的的关关系。经典控制理论的系。经典控制理论的系统分析方法系统分析方法系统分析方法系统分析方法：时域法、频域法。：时域法、频域法。2.数学模型与传递函数时域分析法时域分析法时域分析法时域分析法求求求求解解解解数数数数学学学学模模模模型型型型微微微微分分分分方方方方程程程程，获获获获得得得得系系系系统统统统输出随时间变化的规律。输出随时间变化的规律。输出随时间变化的规律。输出随时间变化的规律。借借借借助助助助于于于于

2、系系系系统统统统频频频频率率率率特特特特性性性性分分分分析析析析系系系系统统统统的的的的性性性性能，拉普拉斯变换是其数学基础。能，拉普拉斯变换是其数学基础。能，拉普拉斯变换是其数学基础。能，拉普拉斯变换是其数学基础。频域分析法频域分析法频域分析法频域分析法 频域分析法是经典控制理论的核心，被广泛采用，该方法频域分析法是经典控制理论的核心，被广泛采用，该方法间接地运用系统的开环频率特性分析闭环响应。间接地运用系统的开环频率特性分析闭环响应。复数和复变函数复数和复变函数 复数的概念复数的概念复数的概念复数的概念 复数复数 s s=+j+j （有一个实部（有一个实部 和一个虚部和一个虚部，和和 均为

3、实数）均为实数）两个复数相等：当且仅当它们的实部和虚部分别相等。两个复数相等：当且仅当它们的实部和虚部分别相等。一个复数为零：当且仅当它的实部和虚部同时为零。一个复数为零：当且仅当它的实部和虚部同时为零。2.2 拉普拉普拉斯变换拉斯变换称为称为虚数单位虚数单位虚数单位虚数单位 复数的表示法复数的表示法复数的表示法复数的表示法 对于复数对于复数 s s=+j+j 复复复复平平平平面面面面：以以 为为横横坐坐标标(实实轴轴)、为为纵纵坐坐标标(虚虚轴轴)所所构构成成的的平平面面称称为为复复平平面面或或s s平平面面。复复数数 s s=+j+j 可可在在复复平平面面s s中中用点用点(,)表示：一个

4、复数对应于复平面上的一个点。表示：一个复数对应于复平面上的一个点。2.2.1 复数和复变函数复数和复变函数 o复平面复平面s s 1 2j 1 2s1=1+j 1s2=2+j 2 复数的向量表示法复数的向量表示法复数的向量表示法复数的向量表示法 复数复数 s s=+j+j 可以用从原点指向点可以用从原点指向点(,)的向量表示。的向量表示。向量的长度称为复数的模：向量的长度称为复数的模：2.2.1 复数和复变函数复数和复变函数 o 1 2j s1s2r1=|s1|r2=|s2|向向量量与与 轴轴的的夹夹角角 称称为复数为复数s s的复角：的复角：复数的复数的复数的复数的三角函数表示法三角函数表示

5、法三角函数表示法三角函数表示法与与与与指数表示法指数表示法指数表示法指数表示法 根据复平面的图示可得：根据复平面的图示可得：=r r coscos ，=r r sinsin 复数的复数的复数的复数的三角函数表示法三角函数表示法三角函数表示法三角函数表示法：s s=r r(cos(cos +j sin+j sin )2.2.1 复数和复变函数复数和复变函数 o 1 2j s1s2r1=|s1|r2=|s2|欧拉公式：欧拉公式：复数的复数的复数的复数的指数表示法指数表示法指数表示法指数表示法：复变函数、极点与零点的概念复变函数、极点与零点的概念复变函数、极点与零点的概念复变函数、极点与零点的概念

6、以复数以复数s s=+j+j 为自变量构成的函数为自变量构成的函数G G(s s)称为复变函数：称为复变函数：G G(s s)=u u+j+jv v式中式中式中式中：u u、v v 分别为复变函数的实部和虚部。分别为复变函数的实部和虚部。2.2.1 复数和复变函数复数和复变函数(a)当当s s=-z zi i时，时，G G(s s)=0=0，则，则s si i=-z zi i称为称为G G(s s)的的 零点零点零点零点 ；分子为零分子为零分子为零分子为零分母为零分母为零分母为零分母为零 通通常常，在在线线性性控控制制系系统统中中，复复变变函函数数G G(s s)是是复复数数s s的的单单值值

7、函函数数。即即：对对应应于于s s的的一一个个给给定定值值，G G(s s)就就有有一一个个唯唯一一确确定定的的值与之相对应。值与之相对应。当复变函数表示成当复变函数表示成(b)当当s s=-p pj j时，时，G G(s s)，则，则s sj j=-p pj j称为称为G G(s s)的的 极点极点极点极点 。例：例：当当s s=+j+j 时，求复变函数时，求复变函数G G(s s)=s s2 2+1+1的实部的实部u u和虚部和虚部v v。2.2.1 复数和复变函数复数和复变函数复变函数的实部复变函数的实部复变函数的虚部复变函数的虚部解解：G G(s s)s s2 2+1+1(+j+j )

8、2 2+1+1 2 2+j(2+j(2 )-2 2+1+1 (2 2 -2 2+1)+j(2+1)+j(2 )拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义 拉拉氏氏变变换换是是控控制制工工程程中中的的一一个个基基本本数数学学方方法法，其其优优点点是是能能将将时时间间函函数数的的导导数数经经拉拉氏氏变变换换后后，变变成成复复变变量量s s的的乘乘积积，将将时时间表示的微分方程，变成以间表示的微分方程，变成以s s表示的代数方程。表示的代数方程。2.2 拉普拉普拉斯变换拉斯变换复变量复变量原函数原函数象函数象函数拉氏变换符号拉氏变换符号拉拉拉拉普普普普拉拉拉拉斯斯斯斯变变变变换换换换：在在一一定定条条件件

9、下下，把把实实数数域域中中的的实实变变函函数数 f(t)变变换到复数域内与之等价的复变函数换到复数域内与之等价的复变函数 F(t)。设设有有时时间间函函数数 f(t)，当当 t a的的所所有有复复数数s(Res表表示示s的的实实部部)都都使使积积分分式式绝绝对对收收敛敛，故故Res a是是拉拉普普拉拉斯斯变变换换的的定定义义域域，a称称为收敛坐标。为收敛坐标。式中式中式中式中：M、a为实常数。为实常数。典型时间函数的拉普拉斯变换典型时间函数的拉普拉斯变换 (1)单位阶跃函数单位阶跃函数单位阶跃函数单位阶跃函数 单位阶跃函数定义：单位阶跃函数定义：2.2 拉普拉普拉斯变换拉斯变换其拉普拉斯变换为

10、其拉普拉斯变换为其拉普拉斯变换为其拉普拉斯变换为：(2)(2)单位脉冲函数单位脉冲函数单位脉冲函数单位脉冲函数 单位脉冲函数定义：单位脉冲函数定义：2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换典型时间函数的拉普拉斯变换且：且：其拉普拉斯变换为其拉普拉斯变换为其拉普拉斯变换为其拉普拉斯变换为：(3)(3)单位速度函数（单位斜坡函数）单位速度函数（单位斜坡函数）单位速度函数（单位斜坡函数）单位速度函数（单位斜坡函数）单位速度函数定义：单位速度函数定义：2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换典型时间函数的拉普拉斯变换其拉普拉斯变换为其拉普拉斯变换为其拉普拉斯变换为其拉普拉斯变换为：(4)(4)指数函数指数

11、函数指数函数指数函数 指数函数表达式：指数函数表达式：2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换典型时间函数的拉普拉斯变换式中：式中：a是常数。是常数。其拉普拉斯变换为其拉普拉斯变换为其拉普拉斯变换为其拉普拉斯变换为：(5)(5)正弦信号函数正弦信号函数正弦信号函数正弦信号函数 正弦信号函数定义：正弦信号函数定义：2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换典型时间函数的拉普拉斯变换由欧拉公式，正弦函数表达为：由欧拉公式，正弦函数表达为：两两式式相相减减其拉普拉斯变换为其拉普拉斯变换为其拉普拉斯变换为其拉普拉斯变换为：(6)(6)余弦信号函数余弦信号函数余弦信号函数余弦信号函数 余弦信号函数定义：余弦信

12、号函数定义：2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换典型时间函数的拉普拉斯变换由欧拉公式，余弦函数表达为：由欧拉公式，余弦函数表达为：两两式式相相加加其拉普拉斯变换为其拉普拉斯变换为其拉普拉斯变换为其拉普拉斯变换为：拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质 (1)线性定理线性定理线性定理线性定理 若若 、是任意两个是任意两个复常数复常数复常数复常数，且：，且：2.2 拉普拉普拉斯变换拉斯变换证明证明证明证明：则：则：(2)(2)平移定理平移定理平移定理平移定理 若：若：2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质证明证明证明证明：则：则：(3)(3)微分定理微分定理微分定理微分定

13、理 若：若：2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质证明证明证明证明：则：则：f(0)是是 t=0 时的时的 f(t)值值同理，对于二阶导数的拉普拉斯变换：同理，对于二阶导数的拉普拉斯变换：(3)(3)微分定理微分定理微分定理微分定理 推广到推广到n阶导数的拉普拉斯变换：阶导数的拉普拉斯变换：2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质如果：函数如果：函数 f(t)及其各阶导数的初始值均为零，即及其各阶导数的初始值均为零，即则：则：(4)(4)积分定理积分定理积分定理积分定理 若：若：2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质则：则：证明证明证明证明：

14、函数函数 f(t)积分的初始值积分的初始值 (4)(4)积分定理积分定理积分定理积分定理 同理，对于同理，对于n重积分的拉普拉斯变换：重积分的拉普拉斯变换：2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质若若若若：函数：函数 f(t)各重积分的初始值均为零，则有各重积分的初始值均为零，则有 注注注注：利利用用积积分分定定理理，可可以以求求时时间间函函数数的的拉拉普普拉拉斯斯变变换换；利利用微分定理和积分定理，可将微分用微分定理和积分定理，可将微分-积分方程变为代数方程。积分方程变为代数方程。(5)(5)终值定理终值定理终值定理终值定理 若：若：2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯

15、变换的基本性质则：则：证明证明证明证明：根据拉普拉斯变换的微分定理，有：根据拉普拉斯变换的微分定理，有由于由于，上式可写成，上式可写成写出左式积分写出左式积分写出左式积分写出左式积分 (6)(6)初值定理初值定理初值定理初值定理 若：若：2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质则：则：证明证明证明证明：根据拉普拉斯变换的微分定理，有：根据拉普拉斯变换的微分定理，有由于由于，上式可写成，上式可写成或者或者或者或者拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换 (1)(1)拉普拉斯反变换的定义拉普拉斯反变换的定义拉普拉斯反变换的定义拉普拉斯反变换的定义 将将象象函函数数F(s)变变换换成成与与之之相

16、相对对应应的的原原函函数数f(t)的的过过程程，称称之之为拉普拉斯反变换。其公式：为拉普拉斯反变换。其公式：2.2 拉普拉普拉斯变换拉斯变换 拉拉氏氏反反变变换换的的求求算算有有多多种种方方法法，如如果果是是简简单单的的象象函函数数，可可直接查拉氏变换表；对于复杂的，可利用直接查拉氏变换表；对于复杂的，可利用部分分式展开法部分分式展开法部分分式展开法部分分式展开法。简写为：简写为：如果把如果把 f(t)的拉氏变换的拉氏变换 F(s)分成各个部分之和，即分成各个部分之和，即2.2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换 假假若若F1(s)、F2(s)，Fn(s)的的拉拉氏氏反反变变换换很很容容易易由由

17、拉拉氏氏变换表查得，那么变换表查得，那么 当当 F(s)不不能能很很简简单单地地分分解解成成各各个个部部分分之之和和时时，可可采采用用部部分分分分式式展展开开将将 F(s)分分解解成成各各个个部部分分之之和和，然然后后对对每每一一部部分分查查拉拉氏氏变变换换表表，得得到到其其对对应应的的拉拉氏氏反反变变换换函函数数，其其和和就就是是要要得得的的 F(s)的拉氏反变换的拉氏反变换 f(t)函数。函数。(2)(2)部分分式展开法部分分式展开法部分分式展开法部分分式展开法 在系统分析问题中，在系统分析问题中，F(s)常具有如下形式：常具有如下形式：2.2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换式中式中A(

18、s)和和B(s)是是s的多项式，的多项式，B(s)的阶次较的阶次较A(s)阶次要高。阶次要高。对对于于这这种种称称为为有有理理真真分分式式的的象象函函数数 F(s)，分分母母 B(s)应应首首先先进进行行因因子子分分解解，才才能能用用部部分分分分式式展展开开法法，得得到到 F(s)的的拉拉氏氏反反变变换函数。换函数。拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换由象函数求原函数的方法：由象函数求原函数的方法：(1)利用公式利用公式(2)对对F(S)进行部分分式展开进行部分分式展开象函数的一般形式：象函数的一般形式：利用部分分式利用部分分式F(S)分解为：分解为：例例13-6 解：令解：令D D(s)=0(s)=

19、0，则，则 s s1 1=0=0，s s2 2=2 2，s s3 3=5 5 K1、k2也是一对共轭复根也是一对共轭复根小结：小结：1.)n=m 时将时将F(S)化成真分式化成真分式1.由由F(S)求求f(t)的步骤的步骤2.)求真分式分母的根，确定分解单元求真分式分母的根，确定分解单元3.)求各部分分式的系数求各部分分式的系数4.)对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换。2.拉氏变换法分析电路拉氏变换法分析电路正变换正变换 反变换反变换相量形式相量形式KCL、KVL元件元件 复阻抗、复导纳复阻抗、复导纳相量形式相量形式电路模型电路模型运算电路运算电路类似

20、地类似地元件元件 运算阻抗、运算导纳运算阻抗、运算导纳运算形式运算形式KCL、KVL运算形式运算形式电路模型电路模型2.电路元件的运算形式电路元件的运算形式R：u=Ri1.运算形式的电路定律运算形式的电路定律+u -iR+U(S)-I(S)RL:SLSLi i(0(0-)/S)/S+U U(S S)-I I(S S)I I(S S)L Li i(0(0-)+U U(S)(S)-SLSLi i+u u -L+u -iC:I IC C(S)(S)1/SC1/SCu uc c(0(0-)/S/S+U UC C(S)-(S)-+U UC C(S)-(S)-CuCuc c(0(0-)1/SC1/SCI

21、IC C(S)(S)M ML L1 1L L2 21 12 2+u u1 1-+u u2 2-L L1 1i i1 1(0(0-）MiMi2 2(0(0-）MiMi1 1(0(0-）L L2 2i i2 2(0(0-）+U U2 2(S)(S)-+U U1 1(S(S)-I I1 1(S)(S)I I2 2(S)(S)SLSL1 1SLSL2 2+SM +(s)(s)U U+1 1(s)(s)-m m R RI(S)+U U2 2-U1(S)+u u1 1-+u u2 2-u u1 1R Ri运算阻抗运算阻抗运算形式运算形式欧姆定理欧姆定理+u u-i iR RL LC C+U U(S)(S)

22、-I(S)I(S)R RSLSL1/SC1/SC运算阻抗运算阻抗+u u-i iR RL LC C+U U(S)(S)-I(S)I(S)R RSLSL1/SC1/SC uc(0-)/s Li(0-)3.运算电路运算电路运算电路运算电路如如 L、C 有初值时，初值应考虑为附加电源有初值时，初值应考虑为附加电源R RR RL LL LC Ci1 1i2 2EeEe(t t)时域电路时域电路物理量用象函数表示物理量用象函数表示元件用运算形式表示元件用运算形式表示R RR RL LSLSL1/SC1/SCI1(S)E/SE/SI 2 2(S)S)例例551F1F2020101010100.5H0.5H

23、50V50V+-uc c+-iL时域电路时域电路t=0时打开开关时打开开关t0运算电路运算电路20200.5S0.5S-+-1/S25/S2.55IL(S)UC(S)拉普拉斯变换法分析电路拉普拉斯变换法分析电路步骤：步骤：1.由换路前电路计算由换路前电路计算uc(0-),iL(0-)2.画运算电路图画运算电路图3.应用电路分析方法求象函数应用电路分析方法求象函数4.反变换求原函数反变换求原函数例例1：200V200V30300.1H0.1H1010-u uc c+1000F1000FiL Lt=0时闭合时闭合k,求求iL，uL。V(2)画运算电路画运算电路200/S200/S3030 0.1s

24、0.1s0.50.510101000/S1000/S100/S100/SI IL L(S)(S)I I2 2(S)(S)例例1：200V200V30300.1H0.1H1010-u uc c+1000F1000FiL L200/S200/S3030 0.1s0.1s0.50.510101000/S1000/S100/S100/SI IL L(S)(S)I I2 2(S)(S)I1(S)I2(S)(4)反变换求原函数反变换求原函数求求UL(S)UL(S)200/S200/S3030 0.1s0.1s0.50.510101000/S1000/S100/S100/SI IL L(S)(S)I I2

25、2(S)(S)?RC+uc is(t)例例13-10 求冲激响应求冲激响应R1/SC+Uc(S)IS1tuc(V)0tic例例13-11 图示电路已处于稳态，图示电路已处于稳态，t=0时将开关时将开关S闭合，已知闭合，已知us1=2e-2t V,us2=5V,R1=R2=5,L1=1H,求求t0时的时的uL(t).S R1 R2 iL +US1 L uL US2 R1 R2 +UL(s)sL Li(0-)+ML L1 1L L2 2R1R2 usSi1i2例例13-12 图示电路，已知图示电路，已知R1=R2=1，L1=L2=0.1H，M=0.5H，us=1V，试求：，试求：t=0时开关闭合后

26、的电流时开关闭合后的电流i1(t)和和i2(t)。sLsL1 1sLsL2 2R1R2sMt=0时打开开关时打开开关k,求电流求电流 i.例例.13-13 +-UskR1L1L2R2i1i20.3H0.1H10V223310/S10/S2 20.3S0.3S1.51.53 30.1S0.1SI I(S)(S)ti523.750UL1(S)10/S10/S2 20.3S0.3S1.51.53 30.1S0.1SI I(S)(S)uL1-6.56t-0.375(t)0.375(t)uL2t-2.19ti523.750小结：小结：运算法分析动态电路的步骤运算法分析动态电路的步骤1.由换路前电路计算由

27、换路前电路计算uc(0-),iL(0-)。2.画运算电路图画运算电路图3.应用电路分析方法求象函数。应用电路分析方法求象函数。4.反变换求原函数。反变换求原函数。磁链守恒：磁链守恒：拉普拉斯变换简表拉普拉斯变换简表序号序号原函数原函数 f(t)(t 0)象函数象函数 F(s)=Lf(t)11 (单位阶跃函数单位阶跃函数)1s2 (t)(单位脉冲函数单位脉冲函数)13K (常数常数)Ks4t (单位斜坡函数单位斜坡函数)1s2拉普拉斯变换简表拉普拉斯变换简表拉普拉斯变换简表拉普拉斯变换简表 (续续续续1)1)2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换典型时间函数的拉普拉斯变换序号序号原函数原函数 f

28、(t)(t 0)象函数象函数 F(s)=Lf(t)5t n (n=1,2,)n!s n+16e-at1s+a7tn e-at (n=1,2,)n!(s+a)n+18 1 T1Ts+1tTe拉普拉斯变换简表拉普拉斯变换简表拉普拉斯变换简表拉普拉斯变换简表 (续续续续2)2)2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换典型时间函数的拉普拉斯变换序号序号原函数原函数 f(t)(t 0)象函数象函数 F(s)=Lf(t)9sin t s2+210cos tss2+211e-at sin t(s+a)2+212e-at cos ts+a(s+a)2+2拉普拉斯变换简表拉普拉斯变换简表拉普拉斯变换简表拉普拉斯变

29、换简表 (续续续续3)3)2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换典型时间函数的拉普拉斯变换序号序号原函数原函数 f(t)(t 0)象函数象函数 F(s)=Lf(t)13 (1-e-at)1s(s+a)14 (e-at-e-bt)1(s+a)(s+b)15 (b be-bt-ae at)s(s+a)(s+b)16sin(t+)cos +s sin s2+21a1b-a1b-a拉普拉斯变换简表拉普拉斯变换简表拉普拉斯变换简表拉普拉斯变换简表 (续续续续4)4)2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换典型时间函数的拉普拉斯变换序号序号原函数原函数 f(t)(t 0)象函数象函数 F(s)=Lf(t)1

30、7 e-nt sin n 1-2 t n2s2+2ns+n218 e-nt sin n 1-2 t1s2+2ns+n219 e-nt sin(n 1-2 t-)ss2+2ns+n2 =arctan n1-21 n 1-211-21-2 拉普拉斯变换简表拉普拉斯变换简表拉普拉斯变换简表拉普拉斯变换简表 (续续续续5)5)2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换典型时间函数的拉普拉斯变换序号序号原函数原函数 f(t)(t 0)象函数象函数 F(s)=Lf(t)20 1-e-nt sin(n 1-2 t +)n2s(s2+2ns+n2)=arctan211-cos t 2s(s2+2)22 t-sin t 2s(s2+2)23 t sin t2 s(s2+2)211-21-2