4.1 不定积分.ppt

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1、第四章第四章 不定积分不定积分 复习:求导公式 1.1.常数和基本初等函数的导数常数和基本初等函数的导数 一、原函数与不定积分的定义一、原函数与不定积分的定义定义：定义：例例定理定理1（原函数存在定理）：（原函数存在定理）：简言之：简言之：连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数.问题：问题：(1)原函数是否唯一？原函数是否唯一？例例（为任意常数）为任意常数）(2)若不唯一它们之间有什么联系？若不唯一它们之间有什么联系？I使使如果函数如果函数)(xf在区间在区间内连续，内连续，那么在区间那么在区间I内存在可导函数内存在可导函数)(xF，都有，都有)()(xfxF=.定理定理 2 如果函数如果函

2、数f(x)有原函数，那么它就有有原函数，那么它就有无穷多个原函数，并且任意两个原函无穷多个原函数，并且任意两个原函数之间仅差一个常数。数之间仅差一个常数。（1）若）若 ，则对于任意常数，则对于任意常数 ，（2）若）若 和和 都是都是 的原函数，的原函数，即：即：任任意意常常数数积积分分号号被被积积函函数数不定积分的定义：不定积分的定义：被被积积表表达达式式积积分分变变量量 函数函数f(x)的原函数图形称为的原函数图形称为f(x)的积分曲线的积分曲线,不定积分表示的不是一个不定积分表示的不是一个原函数原函数,而是无穷多个而是无穷多个(全部全部)原函数原函数,通通常说成一族函数常说成一族函数,反映

3、在几何上则是一反映在几何上则是一族曲线族曲线,这族曲线称为这族曲线称为f(x)的的积分曲线积分曲线族族.4.1.4.4.1.4.不定积分的几何意义不定积分的几何意义 在相同的横坐标处在相同的横坐标处,所有积分曲线的斜率均为所有积分曲线的斜率均为k,因此因此,在每一条积分曲线上在每一条积分曲线上,以以x为横坐标的点处的为横坐标的点处的切线彼此平行（如图）切线彼此平行（如图）.f(x)为积分曲线在为积分曲线在(x,f(x)处的切线斜率处的切线斜率.例例1 求求例例2 求求解解解解21d.1+xx例例3 求求解解 例例13 设曲线通过点设曲线通过点(2,3),(2,3),且其上任一点的切线且其上任一

4、点的切线斜率等斜率等于这点的横坐标，求此曲线方程于这点的横坐标，求此曲线方程.解解 设所求的曲线方程为设所求的曲线方程为 ,依题意依题意可知可知因此所求曲线的方程为因此所求曲线的方程为由不定积分的定义，可知由不定积分的定义，可知结论：结论：微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是互逆互逆互逆互逆的的.实例实例启示启示能否根据求导公式得出积分公式？能否根据求导公式得出积分公式？结论结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式此可以根据求导公式得出积分公式.二、二、基本积分表基本积分表基基本本积积分分表表是常数是常数);说明

5、：说明：简写为简写为例例4 4 求积分求积分解解根据积分公式（根据积分公式（2）练习：P81 1.(1)(2)(3)2.(1)(2)作业：P811.（4）2.（3）（4）4.定理定理3 若函数与在区间上都存在原函数，为若函数与在区间上都存在原函数，为两个任意常数，则在上也存在原函数，且两个任意常数，则在上也存在原函数，且（其中（其中k1,k2不全为零）不全为零）注：线性法则的一般形式：注：线性法则的一般形式：例例1 1 求求例例2 2 求求例例 求求基本积分表基本积分表(1)原函数的概念：原函数的概念：不定积分的概念：不定积分的概念：求微分与求积分的互逆关系求微分与求积分的互逆关系三、三、小结

6、小结思考题思考题符号函数符号函数在在 内是否存在原函数？为什么内是否存在原函数？为什么？思考题解答思考题解答不存在不存在.假设有原函数假设有原函数故假设错误故假设错误所以所以 在在 内不存在原函数内不存在原函数.结论结论每一个含有第一类间断点的函数都每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数没有原函数.第二节 换元积分法和分步积分法一、换元积分法二、分步积分法问题问题1解决方法解决方法利用复合函数，设置中间变量利用复合函数，设置中间变量.过程过程令令一、换元积分法在一般情况下：在一般情况下：设设则则如果如果（可微）可微）由此可得换元法定理由此可得换元法定理第一类换元公式（第一类换元公式（凑微分法

7、凑微分法）说明说明使用此公式的关键在于将使用此公式的关键在于将化为化为观察重点不同，所得结论不同观察重点不同，所得结论不同.定理定理8.48.4（1 1）问题问题2解决方法解决方法改变中间变量的设置方法改变中间变量的设置方法.过程过程令令（应用（应用“凑微分凑微分”即可求出结果）即可求出结果）则有换元公式则有换元公式定理定理8.4(28.4(2）第二类积分换元公式第二类积分换元公式例例1 1 求求解解一般地一般地例例2 2 求求解解例例3 3 求求解解例例4 4 求求解解例例5 5 求求解解例例6 6 求求解解例例7 7 求求解解说明说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇当被积函数是三角函数

8、相乘时，拆开奇次项去凑微分次项去凑微分.例例8 8 求求解解（一）（一）（使用了三角函数恒等变形）使用了三角函数恒等变形）解解（二）（二）类似地可推出类似地可推出例例9 9 求求解解 令令例例1010 求求解解 令令例例1111 求求解解 令令说明说明以上几例所使用的均为三角代换以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式三角代换的目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令可令可令可令与定理8.5 若可导,不定积分存在,则也存在,并有分部积分公式二、分部积分法例12 求解 令则由公式得:例13 求和解由此得到解此方程组,求得三、小结第一类

9、换元公式（第一类换元公式（凑微分法凑微分法）第二类积分换元公式第二类积分换元公式分部积分公式 第三节 有理函数和可化为 有理函数的不定积分一、有理函数的不定积分二、三角函数有理式的不定积分三、某些无理根式的不定积分一、有理函数的不定积分 有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数，其一般形式为：其中为非负整数，与都是常数，且，则称它为真分式；若若则称它为假分式。部分分式分解的步骤：第一步 对分母在实系数内作标准分解：其中均为自然数，而且第二步 根据分母的各个因式分别写出与之相应的部分分式：对于每个形如，的因式，它所对应的部分分式是对于每个形如对于每个形如 ，则分解后为，则分解后为的因式，其中第三步 确定待定系数真分式化为部分分式之和的真分式化为部分分式之和的待定系数法待定系数法例例1 1例例2 2 求积分求积分解解令令