3.8定积分的应用.ppt

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1、我们知道：我们知道：ab xyo3.8 定积分的应用定积分的应用 其其面积为：面积为：ab xyo面面积积元元素素 以以a,ba,b为底的曲边梯形的面积为底的曲边梯形的面积A A就是以面积元素就是以面积元素f(x)dxf(x)dx为被积表为被积表达式达式,以以a,ba,b为积分区间的定积为积分区间的定积分分:元素法的一般步骤：元素法的一般步骤：这个方法通常叫做这个方法通常叫做元素法元素法曲边梯形的面积曲边梯形的面积3.8.2.1.平面图形的面积平面图形的面积3.8.2 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 1）求）求由由上下两条上下两条曲线曲线 y=f上上(x)与与 y=f下下(x)及左右

2、两条及左右两条直线直线 x=a、x=b所围成平所围成平面图形的面积面图形的面积A.取横坐标取横坐标x x为积分变量，在区间为积分变量，在区间a,ba,b上任取一上任取一子区间子区间 x,x+dxx,x+dx，在其上的小曲边梯形可近似在其上的小曲边梯形可近似看成看成高高为为y y，底为底为dxdx的小矩形，的小矩形，则面积元素为则面积元素为 曲边梯形的面积曲边梯形的面积取纵坐标取纵坐标y y为积分变量，在区间为积分变量，在区间c,dc,d上任取一上任取一子区间子区间 y,y+dyy,y+dy，在其上的小曲边梯形可近似在其上的小曲边梯形可近似看成看成宽宽为为x x，高为高为dydy的的小矩形，小矩

3、形，则面积元素为则面积元素为 2）求求由由左右左右两条两条曲线曲线 与与 及及上下上下两条直线两条直线 y=c、y=d所围成平面图形的所围成平面图形的面积面积A.解解 (1)画图取画图取x为积分变量为积分变量(3)求面积元素：求面积元素：例例3.67 计算曲线计算曲线 和直线和直线 x=1及及x轴所围轴所围成平面图形的面积成平面图形的面积A(2)确定积分区间确定积分区间:0,10,1(4)计算积分：计算积分：(4)求求面积元素：面积元素：得积分区间得积分区间解解方程组方程组解解 (1)画图取画图取x为积分变量为积分变量(2)确定积分区间确定积分区间:(3)确定上下曲线确定上下曲线:(5)计算积

4、分：计算积分：解解(1)画图，取画图，取y y为积分变量为积分变量.解方程组解方程组得积分区间得积分区间(2)确定积分区间确定积分区间:(3)确定左右曲线确定左右曲线:(4)求求面积元素：面积元素：(5)计算积分：计算积分：旋转体旋转体就是由一个平面图形饶这平面内就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台3.8.2.2 旋转体的体积旋转体的体积xyo旋转体的体积为旋转体的体积为 解解 (1)画图，确定积分区间画图，确定积分区间:例例3.70 计算由直线计算由直线 、直线、直线x=hx=h及及x x轴轴

5、围成的直角三角形绕围成的直角三角形绕x x轴旋转而成的圆锥体体积轴旋转而成的圆锥体体积(2)求体积元素：求体积元素：(3)计算积分：所求圆锥体的体积为计算积分：所求圆锥体的体积为 解解 这个旋转椭球体也可以看作这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆是由半个椭圆 及及x x轴围成的图形绕轴围成的图形绕x x轴旋转而成轴旋转而成的立体的立体.(1)画图，确定积分区间画图，确定积分区间:(2)求体积元素：求体积元素：(3)计算积分：所求椭球体的体积为计算积分：所求椭球体的体积为 特殊地，当特殊地，当 时，得球体的体积公式：时，得球体的体积公式：解解体积元素体积元素选选 y 为积分变量为积分变量两曲线的

6、交点两曲线的交点3.8.3.1 变力作功变力作功3.8.3 .3 定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用 例例3.733.73 已知弹簧每拉长已知弹簧每拉长0.02m要用要用9.8N的力，求把弹簧拉的力，求把弹簧拉长长0.1m m所作的功所作的功.解解 由胡克定律，在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧由胡克定律，在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力所需的力F F和弹簧的伸长量（或压缩量）成正比，即和弹簧的伸长量（或压缩量）成正比，即 其中其中k k为比例系数为比例系数 由题设由题设x=0.02mx=0.02m时，时，F=9.8NF=9.8N，所以所以k=490k=490，则，则F=490 x

7、F=490 x.(1)建立坐标系如图建立坐标系如图.取伸长量取伸长量x x为积分变量为积分变量 (2)确定积分区间确定积分区间:(3)(3)求功元素求功元素:(4)计算积分：计算积分：所求的功为所求的功为=2.45(J)点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停解解(1)建立坐标系如图建立坐标系如图 (2)确定积分区间确定积分区间:(3)求功元素：求功元素：这一薄层水的重力为这一薄层水的重力为功元素为功元素为(J)(4)计算积分：所求的功为计算积分：所求的功为 3.8.3.2 液体的压力解解 挡板的一个端面是圆，与水接触的是下半圆挡板的一个端面是圆，与水接触的是下半圆.(1)建立坐标系如图建

8、立坐标系如图(2)确定积分区间：确定积分区间：(3)求压力元素：求压力元素：(4)计算积分：计算积分：所求压力为所求压力为(N)例例3.76 一水库闸门呈倒置的等腰梯形垂直地位一水库闸门呈倒置的等腰梯形垂直地位于水中，两底的长度分别为于水中，两底的长度分别为4m和和6m，高为高为6m，当闸门上底正好位于水面时，求闸门一侧受当闸门上底正好位于水面时，求闸门一侧受到的水压力（水密度为到的水压力（水密度为10 3 kg/m 3）.yxoABxx+dx解解 (1)建立坐标系如图，建立坐标系如图，则直线则直线AB的方程为的方程为(3)(3)压力元素为压力元素为 dP=gx2ydx(2)确定积分区间：确定积分区间：x0，6(4)计算积分：计算积分：所求压力为所求压力为