4.1定积分的概念.ppt

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1、杭州技师学院高等数学（上）第一节第一节第一节第一节 定积分的概念定积分的概念定积分的概念定积分的概念第四章第四章 函数的积分函数的积分第一节 定积分的概念和性质 在我国古代南北朝（公元 429 500 年）时，南朝的科学家祖冲之运用逐渐增加圆内多边形的边数，算出正多边形的面积，逼近相应的圆的面积，得到了 近似值.在初等几何中，计算任意多边形面积时，常采用如下方法：首先将任意多边形划分为若干个小三角形，分别计算各个三角形的面积，然后求和，得到任意多边形的面积。阿基米德运用这种方法，求得抛物线 与 x 轴及直线 x=1 所围成的平面图形面积的近似值.就是说，在计算复杂图形的面积时，可以先将它划分为

2、若干个容易算得面积的小块，并分别求出各小块图形的面积，然后求和，即得到原图形的面积的近似值（边界线为直线时，可得精确值）.如果在上述方法中引入极限过程,会产生什么效果?曲边梯形：三边为直线，其中有两边相互平行且与第三边垂直（底边），第四边是一条曲线，它与垂直于底边的直线至多有一个交点（这里不排除某线短缩成一点）.1.曲边梯形一.曲边梯形的面积2.求曲边梯形的面积 首先，我们重复阿基米德的做法：分割分割代替代替求和求和得到曲边梯形的近似值，然后，引入极限过程，求出曲边梯形的精确值.第一步：分割第一步：分割任意引入分点称为区间的一个分法 T第二步：代替第二步：代替对每个小曲边梯形均作上述的代替对每

3、个小曲边梯形均作上述的代替第三步：求和第三步：求和第四步：取极限第四步：取极限任意引入分点二.定积分的定义被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和定积分符号：不定积分与定积分是两个不同的概念.关于定积分定义的几点说明例：求（利用定义）解：因为，所以存在将n等分，由于定积分是一种和式的极限,所以极限的某些性质在定积分中将有所反映.在以下的叙述中,假设所出现的函数均可积,所出现的定积分均存在.三.定积分的性质证证证证证证证证由定积分定义及极限运算性质：可以推广可以推广至有限个至有限个可积函数可积函数的情形的情形.证证证证证证(小于零的情形类似.)由极限的保号性立即可知.代数和代数和证证证证所以例4证证证证定积分的几何意义由极限保号性：由极限保号性：面积：面积：定积分的几何意义