2.1.1椭圆及其标准方程.ppt

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1、 2.1.1 椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程思考三个问题思考三个问题1视笔尖为动点，两个图钉为定点，动点到两视笔尖为动点，两个图钉为定点，动点到两定点距离之和符合什么条件？其轨迹如何？定点距离之和符合什么条件？其轨迹如何？2改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？画出的图形还是椭圆吗？3绳长能小于两图钉之间的距离吗？绳长能小于两图钉之间的距离吗？结论结论：若常数若常数若常数若常数大于大于大于大于|F|F1 1F F2 2|,|,则点则点则点则点MM的轨迹是（的轨迹是（的轨迹是（的轨迹是（）若常数若常数若常数若常数等于等于等于等于|F|

2、F1 1F F2 2|，则点，则点，则点，则点MM的轨迹是（的轨迹是（的轨迹是（的轨迹是（）若常数若常数若常数若常数小于小于小于小于|F|F1 1F F2 2|，则点，则点，则点，则点MM的轨迹（的轨迹（的轨迹（的轨迹（）椭圆椭圆椭圆椭圆线段线段线段线段F F1 1F F2 2不存在不存在不存在不存在椭圆的定义椭圆的定义：平面内到平面内到两两个定点个定点F1、F2的距的距离之离之和和等于等于常数常数（大于（大于|F1F2|）的）的点的轨迹叫做点的轨迹叫做椭圆椭圆。这两个定点叫做椭圆的这两个定点叫做椭圆的焦点焦点 两焦点的距离叫做椭圆的两焦点的距离叫做椭圆的焦距焦距故椭圆的两焦点坐标分别为故椭圆

3、的两焦点坐标分别为故椭圆的两焦点坐标分别为故椭圆的两焦点坐标分别为 F F1 1(-c,0)(-c,0)和和和和 F F2 2(c,0)(c,0)化简，得化简，得化简，得化简，得以经过椭圆焦点以经过椭圆焦点以经过椭圆焦点以经过椭圆焦点 F F1 1，F F2 2 的直线为的直线为的直线为的直线为 x x 轴，线段轴，线段轴，线段轴，线段F F1 1F F2 2的中垂线为的中垂线为的中垂线为的中垂线为y y轴，建立直角坐标系轴，建立直角坐标系轴，建立直角坐标系轴，建立直角坐标系xoyxoy。设设设设 MM（x x，y y）是椭圆上的任一点，是椭圆上的任一点，是椭圆上的任一点，是椭圆上的任一点，设

4、椭圆的焦距为设椭圆的焦距为设椭圆的焦距为设椭圆的焦距为 2c2c，点，点，点，点MM与两焦与两焦与两焦与两焦点的距离之和为常数点的距离之和为常数点的距离之和为常数点的距离之和为常数 2a2a。椭圆的方程椭圆的方程移项，得移项，得移项，得移项，得故由椭圆的定义得故由椭圆的定义得故由椭圆的定义得故由椭圆的定义得（a a c c）2 2a a则方程可化为则方程可化为则方程可化为则方程可化为观察左图，观察左图，观察左图，观察左图，你能从中找出表示你能从中找出表示你能从中找出表示你能从中找出表示 c c、a a 的线段吗？的线段吗？的线段吗？的线段吗？即即即即a a2 2-c-c2 2 有什么几何意义？

5、有什么几何意义？有什么几何意义？有什么几何意义？只需将只需将 x，y 交换位置交换位置即得椭圆的标准方程：即得椭圆的标准方程：如果以椭圆的焦点所在直如果以椭圆的焦点所在直如果以椭圆的焦点所在直如果以椭圆的焦点所在直线为线为线为线为 y y 轴，且轴，且轴，且轴，且F F1 1、F F2 2的坐标分的坐标分的坐标分的坐标分别为（别为（别为（别为（0 0，-c-c）和（）和（）和（）和（0 0，c c），），），），a a 、b b 的含义都不变，那么椭圆的含义都不变，那么椭圆的含义都不变，那么椭圆的含义都不变，那么椭圆又有怎样的标准方程呢？又有怎样的标准方程呢？又有怎样的标准方程呢？又有怎样的标

6、准方程呢？焦点在焦点在x轴上的标准方程：轴上的标准方程：焦点在焦点在y轴上的标准方程：轴上的标准方程：如果已知椭圆的标准方程，如何确定焦点在哪条坐如果已知椭圆的标准方程，如何确定焦点在哪条坐如果已知椭圆的标准方程，如何确定焦点在哪条坐如果已知椭圆的标准方程，如何确定焦点在哪条坐标轴上？标轴上？标轴上？标轴上？判断椭圆的焦点在哪个轴上的准则：判断椭圆的焦点在哪个轴上的准则：哪个分母大哪个分母大,焦点就在哪条轴上焦点就在哪条轴上,大的分母就是大的分母就是a2.方方程程特特点点（2 2）在椭圆两种标准方程中，总有）在椭圆两种标准方程中，总有ab0ab0；（4 4）a a、b b、c c都有特定的意义

7、，都有特定的意义，a a椭圆上任意一点椭圆上任意一点P P到到F F1 1、F F2 2距离和的一半；距离和的一半；c c半焦距半焦距.有关系式有关系式 成立。成立。xOF1F2y椭圆的标准方程椭圆的标准方程OF1F2yx(3)(3)焦点在大分母变量所对应的那个轴上；焦点在大分母变量所对应的那个轴上；（1 1）方程的左边是两项方程的左边是两项平方和平方和的形式，等号的右边是的形式，等号的右边是1；例例1 1：求下列椭圆的焦点和焦距求下列椭圆的焦点和焦距。故故:所以椭圆的焦点为所以椭圆的焦点为:焦距为焦距为2.解：因为解：因为54，所以椭圆的焦，所以椭圆的焦点在点在x轴上，并且轴上，并且例例1

8、1：求下列椭圆的焦点和焦距求下列椭圆的焦点和焦距。因为因为:168,所以椭圆的焦点在所以椭圆的焦点在y轴上，并轴上，并且且所以椭圆的焦点为所以椭圆的焦点为:焦距为焦距为:.解：将方程化成标准方程为：解：将方程化成标准方程为：（2）练习：练习：判定下列椭圆的焦点在那条轴上判定下列椭圆的焦点在那条轴上?并指出焦点并指出焦点坐标。坐标。答：在答：在 X 轴。（轴。（-3，0）和（）和（3，0）答：在答：在 y 轴。（轴。（0，-5）和（）和（0，5）例例2:2:已知椭圆的焦点在已知椭圆的焦点在x轴上轴上,焦距为焦距为8,椭圆上的椭圆上的点到两个焦点的距离之和为点到两个焦点的距离之和为10,求求:该椭

9、圆的标准该椭圆的标准方程方程.解解:1.确定焦点在那条轴上。确定焦点在那条轴上。2.求出求出a,b的值。的值。求椭圆的标准方程的关键：求椭圆的标准方程的关键：因为椭圆的焦点在因为椭圆的焦点在x轴上轴上,所以它的标准方程为所以它的标准方程为:例例3:已知椭圆的两个焦点（已知椭圆的两个焦点（0，-4）（）（0，4）,并并且且椭圆椭圆经过点经过点 ,求求:该椭圆的标准方程该椭圆的标准方程.解：焦点在y轴上，可设标准方程：代入得解得：标准方程：2、已知椭圆的方程为：、已知椭圆的方程为：，请，请填空：填空：a=，b=，c=，焦点坐标为焦点坐标为 ，焦距等于，焦距等于 .1 1、a=a=5 5，c=c=4 4的椭圆标准方程是的椭圆标准方程是的椭圆标准方程是的椭圆标准方程是 。课堂练习课堂练习课堂练习课堂练习:10 6816(-8,0)、(8,0)4 4或或或或3、若、若M为椭圆为椭圆 上一点，上一点，F1、F2分别为椭圆的左、分别为椭圆的左、右焦点，并且右焦点，并且MF1=6,则则MF2=.MOxyF1 1F2 2MO标准方程中，分母哪个大，焦点就标准方程中，分母哪个大，焦点就在哪个轴上在哪个轴上标准方程标准方程相相 同同 点点焦点位置的焦点位置的判断判断不不 同同 点点图图 形形焦点坐标焦点坐标a、b、c 的关系的关系焦点在焦点在x轴上轴上焦点在焦点在y轴上轴上xyF1 1F2 2