2-1解析函数的概念.ppt

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1、第二章第二章 解析函数解析函数1CH1_1 解析函数的概念解析函数的概念 一一 复变函数的导数与微分复变函数的导数与微分 二二 解析函数的概念解析函数的概念 2CH1_1 1 导数的定义导数的定义定义定义即即则说函数则说函数在在处是处是可导可导的，的，个极限值为函数个极限值为函数在在的处的处导数导数，而称这而称这或或记作记作不出不出的范围，的范围，点点定义在区域定义在区域内，内，设函数设函数为为中的一点。中的一点。存在，存在，如果极限如果极限一一 复变函数的导数与微分复变函数的导数与微分3CH1_如果函数如果函数在区域在区域上每一点都是可导的，上每一点都是可导的，则称则称是是上的上的可导函数可

2、导函数。解解所以所以 因为因为例例1 1，求，求设设4CH1_例例2 2解解 由于由于因此函数因此函数不可导不可导的可导性。的可导性。研究函数研究函数5CH1_例例3 3解解所以所以由于由于在点在点处的可处的可导性。导性。研究函数研究函数6CH1_2 2 可导与连续的关系可导与连续的关系因此必有因此必有即即在在处可导，处可导，但是如果函数但是如果函数则则所以，所以，可导一定连续可导一定连续。由例由例2 2可知，可知，但在此点未必可导，但在此点未必可导，一个函数在复平面上某点处是连续的，一个函数在复平面上某点处是连续的，连续未必可导连续未必可导。即即7CH1_3 3 求导法则求导法则求导公式与法

3、则：求导公式与法则：(1)(1)其中其中为常数。为常数。(2)(2)其中其中为正整数。为正整数。(3)(3)(4)(4)(5)(5)8CH1_(6)(6)(7)(7)其中其中是两是两个互为反函数的单值函数，且个互为反函数的单值函数，且解解因此，当因此，当时，公式时，公式(2)(2)对对 是负整数也是成立的。是负整数也是成立的。例例1 1其中其中为正整数，为正整数，求求利用公式利用公式(2)(2)、(4)(4)9CH1_4 4 微分的概念微分的概念得得其中其中是函数是函数的改变量的改变量的线性部分。的线性部分。而而设函数设函数在在处可导，处可导，则由导数的定义则由导数的定义因此，因此，是是的高阶

4、的高阶无穷小量，无穷小量，10CH1_以表示成以表示成与与的高阶无穷小的高阶无穷小之和，之和，因此，一个函数因此，一个函数在在可导，则必在可导，则必在可微，且可微，且称函数称函数在在处是处是可微可微的，的，则则为函数为函数在在处的处的微分微分，而称而称记作记作如果函数如果函数在在处的改变量处的改变量可可定义定义，即，即。反之，设函数在反之，设函数在处可微，则处可微，则11CH1_综上所述：一个函数在一点可导和可微是等价的。综上所述：一个函数在一点可导和可微是等价的。如果记如果记，则，则因此，导数因此，导数为微分的商（为微分的商（微商微商）因此因此且且即即一个函数一个函数在在可微，则必在可微，则

5、必在处可导，处可导，12CH1_定义定义在在处及其处及其的某个邻域的某个邻域内可导，内可导，如果函数如果函数在在处处解析解析。则称函数则称函数数在一个区域数在一个区域上每一点处都是解析的，上每一点处都是解析的，如果一个函如果一个函上的上的解析函数解析函数。则称函数为则称函数为在在不解析，不解析，如果函数如果函数称称为函数为函数的的奇点奇点。则则注：注：函数在一点解析函数在一点解析,必在此点可导，必在此点可导，未必在此点解析。未必在此点解析。但在一点可导但在一点可导,而在一个区域上解析与可导是等价的。而在一个区域上解析与可导是等价的。二二 解析函数的概念解析函数的概念13CH1_例例4 4解解在

6、复平面上满足条在复平面上满足条件件的点是可导的，的点是可导的，由例由例3 3，函数，函数在复平面上的解析性。在复平面上的解析性。研究函数研究函数在复平面上每一点在复平面上每一点都是可导的，都是可导的，由例由例1 1，由于函数，由于函数因此是解析的。因此是解析的。事实上，事实上，时，时，当当但在其他点是不可导的，但在其他点是不可导的，14CH1_而而15CH1_从而在复平面上每一点都不解析。从而在复平面上每一点都不解析。由于由于而而因此因此在复平面每一点都不可导，从而不解析。在复平面每一点都不可导，从而不解析。由于由于，因此，因此在在处不可导，处不可导，16CH1_从而多项式函数在复平面上是解析的，从而多项式函数在复平面上是解析的，定理定理解析的两个函数解析的两个函数的的和、差、积与商（分母不为零）仍是解析函数。和、差、积与商（分母不为零）仍是解析函数。1 1）在区域）在区域函数函数在在平面的区域平面的区域内解析，内解析，2 2）设函数）设函数在在平面的区域平面的区域内解析，内解析，则函数则函数在区域在区域 内解析。内解析。时，时，且当且当函数在不含分母为零的区域内是解析的，函数在不含分母为零的区域内是解析的，有理分式有理分式的点为奇点。的点为奇点。使分母为零使分母为零17CH1_