2.5等比数列前n项和.ppt

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1、回顾旧知回顾旧知1.1.等比数列等比数列anan的通项公式：的通项公式：注意：注意：当当q=1q=1时，等比数列时，等比数列anan为常数列为常数列.2.2.求等比数列通项公式的方法：观察归纳法、求等比数列通项公式的方法：观察归纳法、迭加和迭乘法、构造法、公式法迭加和迭乘法、构造法、公式法 .3.3.回想一下解回想一下解等比数列题的一些技巧与方法等比数列题的一些技巧与方法.国际象棋起源于古印度，关于国际象棋国际象棋起源于古印度，关于国际象棋还有一个传说。国王奖赏发明者，问他有什还有一个传说。国王奖赏发明者，问他有什么要求，他答道：么要求，他答道：“在棋盘第一个格放在棋盘第一个格放1 1颗麦颗麦

2、粒，在第二个格放粒，在第二个格放2 2颗麦粒，在第三个格放颗麦粒，在第三个格放4 4颗麦粒，在第四个格放颗麦粒，在第四个格放8 8颗麦粒。以此类推，颗麦粒。以此类推，每个格子放的麦粒数是前一个格子的每个格子放的麦粒数是前一个格子的2 2倍，直倍，直到到6464个格子。国王觉得这太容易了，就欣然个格子。国王觉得这太容易了，就欣然答应了他的要求，答应了他的要求，你认为国王能满足他的要你认为国王能满足他的要求吗？求吗？新课导入新课导入1+2+4+8+263=18446744073709551615（粒）（粒）已知麦子每千粒约为已知麦子每千粒约为40克，则折合约为克，则折合约为737869762948

3、382064克克7378.7亿吨亿吨.经过计算，我们得到麦粒总数是经过计算，我们得到麦粒总数是 那么这是怎么计算的呢？其实是一个比那么这是怎么计算的呢？其实是一个比较大小的问题，则实质上是较大小的问题，则实质上是求等比数列前求等比数列前n项和项和的问题的问题.2.52.5等比数列等比数列前前n n项和项和教学目标教学目标知识与能力知识与能力知识与能力知识与能力 （1 1）掌握等比数列前）掌握等比数列前n n项和公式项和公式.（2 2）掌握等比数列前）掌握等比数列前n n项和公式的推导过程项和公式的推导过程.（3 3）会简单运用等比数列的前）会简单运用等比数列的前n n项和公式项和公式.过程与方

4、法过程与方法过程与方法过程与方法 （1 1）通过对等比数列前）通过对等比数列前n n项和公式的推项和公式的推导过程导过程,渗透错位相减求和的数学方法渗透错位相减求和的数学方法.（2 2）通过公式的运用体会方程的思想）通过公式的运用体会方程的思想.（3 3）培养学生观察、比较、抽象、概培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力括等逻辑思维能力和逆向思维的能力.情感态度与价值观情感态度与价值观情感态度与价值观情感态度与价值观 （1 1）学习兴趣比较浓）学习兴趣比较浓,表现欲较强表现欲较强,但合作但合作交流的意识等方面尚有待加强交流的意识等方面尚有待加强.（2 2）培养学生勇于探索

5、、敢于创新的精神，）培养学生勇于探索、敢于创新的精神，磨练思维品质，从中获得成功的体验磨练思维品质，从中获得成功的体验.（3 3）感受思维的奇异美、结构的对称美、）感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美形式的简洁美.教学重难点教学重难点重点：重点：等比数列前等比数列前n n项和的公式，有关项和的公式，有关等比数列问题求解的基本方法等比数列问题求解的基本方法.难点：难点：获得递推公式的思路，等比数列获得递推公式的思路，等比数列前前n n项和公式的其他形式项和公式的其他形式.探讨问题探讨问题发明者要求的麦粒总数是：发明者要求的麦粒总数是：S64=1+2+22+23+263 上式有何特点？上式

6、有何特点？如果如果式两端同时乘以式两端同时乘以2 2得得:2S64=2+22+23+263+264 比较比较、两式，有什么关系呢？两式，有什么关系呢？S64=1+2+22+23+263 2S64=2+22+23+263+264 两式上下相对的项完全相同，把两式相减，两式上下相对的项完全相同，把两式相减，就可以消去相同的项，则就可以消去相同的项，则得：得：S64=264-1=18446744073709551615设问：设问：纵观全过程，纵观全过程，式两边为什么要乘以式两边为什么要乘以2 2呢？呢？等比数列前等比数列前n n项和公式及推导项和公式及推导在等比数列在等比数列anan中首先要考虑两种

7、情况：中首先要考虑两种情况：当当q1q1时，时，SnSn=a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+an-1n-1+a+an n=？当当q=1q=1时时 ，Sn=a1+a2+a3+an-1+an =a1+a1+a1+a1+a1 =na1共共n个个a1设设等比数列等比数列，首，首项为项为,公比公比为为 如何求前如何求前n n项项和和？S1=a1 S2=a1+a2=a1+a1q =a1(1+q)S3=a1+a2+a3=a1+a1q+a1q2 =a1(1+q+q2)S4=a1+a2+a3+a4=a1+a1q+a1q2+a1q3 =a1(1+q+q2+q3)分析：分析：Sn=a1+a1q+a1q2

8、+a1q3+a1qn-2+a1qn-1 qSn=a1q+a1q2+a1q3+a1qn-2+a1qn-1+a1qn -得：得：Sn(1q)=a1a1qn当当q1时，时，则等比数列则等比数列an前前n项和公式为项和公式为Sn=na1 q=1q11.注意注意q=1与与q1两种情况两种情况.2.q1时，时，通过上面的讲解，对于等差数通过上面的讲解，对于等差数列的相关量列的相关量a a1 1、d d、n n、a an n、s sn n，一，一般确定几个量就可以确定其他量？般确定几个量就可以确定其他量？a1、an、nan、sna1、d、ana1、d、na1、an、snan、d、nan、sn、nn、snd、

9、snd、na1、sna1、d例例1 等比数列等比数列 a an n 的公比的公比q q=，a a8 8=1=1，求它的，求它的前前8 8项和项和S S8 8.解法解法1 1：因为：因为a a8 8=a a1 1q q7 7，所以，所以 因此因此 解法解法2 2：把原数列的第：把原数列的第8 8项当作第一项，第项当作第一项，第1 1项项当作第当作第8 8项，项，即顺序颠倒，也得到一个等比数列即顺序颠倒，也得到一个等比数列 b bn n，其中其中b b1 1=a a8 8=1=1，q q=2=2，所以前，所以前8 8项和项和 求和求和 个个分析：数列分析：数列9 9，9999，999999，不是等

10、比数列，不，不是等比数列，不能直接用公式求和，能直接用公式求和，但将它转化为但将它转化为 10 101 1，1001001 1，100010001 1，就可以解决了。就可以解决了。例例2原式原式=(10=(101)+(1001)+(1001)+(10001)+(10001)+1)+(10+(10n n1)1)=(10+100+1000+=(10+100+1000+10+10n n)n n解：解：例例3已知数列已知数列的前五的前五项项是是（1 1）写出）写出该该数列的一个通数列的一个通项项公式；公式；（2 2）求）求该该数列的前数列的前n n项项和和分析：此数列的特征是分析：此数列的特征是两部分

11、构成，其中两部分构成，其中是整数部分，又是等差数列，是整数部分，又是等差数列，又是等比数列又是等比数列.是分数部分，是分数部分，和等比数列，所以此方法称为和等比数列，所以此方法称为“分组法求和分组法求和”所以此数列可以转化为等差数列所以此数列可以转化为等差数列解：解：（1），（2）某工厂去年某工厂去年1 1月份的产值为月份的产值为a a元，月平均增元，月平均增长率为长率为p p(p p0)0)，求这个工厂去年全年产值的总，求这个工厂去年全年产值的总和。和。解：该工厂去年解：该工厂去年2 2月份的产值为月份的产值为a a(1+(1+p p)元，元，3 3月，月，4 4月，月，的产值分别为，的产值

12、分别为a a(1+(1+p p)2 2元，元，a a(1+(1+p p)3 3元，元，所以所以1212个月的产值组成一个等比数列，个月的产值组成一个等比数列，首项为首项为a a，公比为，公比为1+1+p p，例例4答：该工厂去年全年的总产值为答：该工厂去年全年的总产值为 元。元。求和：求和：.例例5为等比数列，公比为，利用错位相减法求和为等比数列，公比为，利用错位相减法求和.设，其中为等差数列，设，其中为等差数列，分析：分析：解：解：，两端同乘以，得两端同乘以，得两式相减得两式相减得 于是于是.注注意意：当当等等比比数数列列的的通通项项公公式式中中有有参参数数，求前求前n n项和时要注意公比是

13、否为项和时要注意公比是否为1 1例例6 设数列设数列 求这个数列的前求这个数列的前n n项和项和解解:（与（与n n无关的常数）无关的常数）所以该数列是等比数列，首项为所以该数列是等比数列，首项为1 1，该数列的公比为，该数列的公比为1 1，该数列的公比不为，该数列的公比不为1 1，求和：求和：.为等比数列，公比为，利用错位相减法求和为等比数列，公比为，利用错位相减法求和.设，其中设，其中 为等差数列，为等差数列，例例7解：，解：，两端同乘以，得两端同乘以，得两式相减得两式相减得 于是于是.例例8 如图，为了估计函数如图，为了估计函数y=9-x2 在第一象限的图在第一象限的图象与象与x轴、轴、

14、y轴围城的区域的面积轴围城的区域的面积X，把，把x轴上的区轴上的区间间0，3分成分成n等份，从各分点作等份，从各分点作y轴的平行线与轴的平行线与函数图像相交，再从各点向左作函数图像相交，再从各点向左作x轴的平行线，构轴的平行线，构成（成（n-1）个矩形的面积的和）个矩形的面积的和S.阅读程序，回答下列问题：阅读程序，回答下列问题：（1）程序中的）程序中的AN、SUM分别表示什么，为什么？分别表示什么，为什么？（2）请根据程序分别计算当）请根据程序分别计算当n=6，11，16时，时，各个矩形的面积的和（不必在计算机上运行程序）。各个矩形的面积的和（不必在计算机上运行程序）。SUM=0SUM=0K

15、=1K=1INPUTINPUT“请输入将请输入将0,30,3分成的份数分成的份数n:n:”；N NWHILE K=N-1WHILE K=N-1AN=(9-(k*3AN=(9-(k*3N)2)*3 N)2)*3 N NSUM=SUM+ANSUM=SUM+ANPRINT PRINT k,AN,SUMk,AN,SUMK=k+1K=k+1WENDWENDENDEND解：解：（1）当把）当把x轴上的区间轴上的区间0,3分成分成n等份时，各等等份时，各等份的长都是份的长都是 ，即各矩形的底都是，即各矩形的底都是 .显然分点的显然分点的横坐标分别是横坐标分别是 ，从各分点作，从各分点作y轴的平轴的平行线与行

16、线与y=9-x2的图象相交，交点的纵坐标分别的图象相交，交点的纵坐标分别是是 ，它们分别是相应矩形的，它们分别是相应矩形的高高.这样，各矩形的面积分别是这样，各矩形的面积分别是 所以，程序中的所以，程序中的AN表示第表示第k个个矩形的面积，矩形的面积，SUM表示前表示前k个矩形面积的和个矩形面积的和.（2）根据程序，当）根据程序，当n=6时，时，5个矩形的面个矩形的面积的和就是输入积的和就是输入N=6时，时，SUM的最后一个输的最后一个输出值，即出值，即SUM=15.736（这里精确到小数点后（这里精确到小数点后3位）位）.当当n=11时，时，10个矩形的面积的和就是输个矩形的面积的和就是输入

17、入N=11时，时，SUM的最后一个输出值，即的最后一个输出值，即SUM=16.736.当当n=16时，我们得到时，我们得到15个矩形的面积的和个矩形的面积的和SUM=17.139.“一尺之棰，日取其半，万世不竭一尺之棰，日取其半，万世不竭”，怎样用，怎样用学过的知识来说明它？学过的知识来说明它？解：这句古语用现代文叙述是：解：这句古语用现代文叙述是：一尺长的木棒，每天取它的一半，永远也取不完一尺长的木棒，每天取它的一半，永远也取不完.如果每天取出的木棒的长度排成一个数列，则如果每天取出的木棒的长度排成一个数列，则得到一个首项为得到一个首项为a1=，公比，公比q=的等比数列，的等比数列，思考与余

18、味思考与余味它的前它的前n项和为项和为 这说明一尺长的木棒，每天取它的一半，永这说明一尺长的木棒，每天取它的一半，永远也取不完远也取不完.不论不论n取何值，取何值，总小于总小于1，课堂小结课堂小结本节课本节课主要讲述了等比数列的前主要讲述了等比数列的前n n项和公式：项和公式：以及他们的推导过程，在具体使用时以及他们的推导过程，在具体使用时,不不一定完全套用公式一定完全套用公式,要灵活变通要灵活变通.Sn=na1 q=1q1 1.1.推导等差数列前推导等差数列前 n n项和公式的方法项和公式的方法.2.2.公式的应用中的数学思想公式的应用中的数学思想.-错位相加法错位相加法-方程思想方程思想3

19、.3.公式中五个量公式中五个量a a1 1,d,a,d,an n,n,n,s sn n,已知已知 其中三个量，可以求其余两个其中三个量，可以求其余两个.-知三求二知三求二（0707年广东）等比数列年广东）等比数列aan n 中，中，a a1 1=3,a=3,an n=96,s=96,sn n=189,=189,求求n n的值的值解：解：由由得：得：q=2q=2所以：所以：高考链接高考链接随堂练习随堂练习1.求等比数列求等比数列的前的前8 8项的和项的和解解:2.某商场第某商场第1年销售计算机台，如果年销售计算机台，如果平均每年的销售量比上一年增平均每年的销售量比上一年增加加10%，那么从第，那

20、么从第1年起，约几年内可使总销年起，约几年内可使总销售量达到台售量达到台（保留到个位）？（保留到个位）？分析：由题意可知，每年销售量比上一年增分析：由题意可知，每年销售量比上一年增加的百分率相同，所以从第加的百分率相同，所以从第1年起，年起，每年的销售量组成一个等比数列，总产量则每年的销售量组成一个等比数列，总产量则为等比数列的前为等比数列的前n项和项和.解：设每年的产量组成一个等比数列解：设每年的产量组成一个等比数列 其中其中a1=5000，q=1+10%=1.1，Sn=30000整理可得：整理可得：1.11.1n n=1.6=1.6两边取对数得两边取对数得即：即：答：约答：约5年内可以使总销售量达到年内可以使总销售量达到30000台台.3.已知数列已知数列是等差数列，且是等差数列，且（1 1）求数列）求数列的通的通项项公式；公式；，求数列，求数列的前的前n n项项和和（2 2）令）令解：（解：（1 1）设设数列数列的公差是的公差是d,d,则则又又得得d=2d=2，所以，所以（2 2）令）令-得得则由则由 得得所以所以习题答案习题答案