3.1.2瞬时速度与导数1.ppt

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1、3.1.2瞬时速度与导数瞬时速度与导数平均变化率的概念：平均变化率的概念：一般地，已知函数一般地，已知函数y=f(x)，x0，x1是其定是其定义域内不同的两点义域内不同的两点 则当则当x0时，商时，商称作函数称作函数y=f(x)在区间在区间x0，x0+x(或或x0+x，x0)的平均变化率。的平均变化率。记记x=x1x0=f(x0+x)f(x0).则则y=y1y0=f(x1)f(x0)1.式子中式子中x、y的值可正、可负，的值可正、可负，但但x值不能为值不能为0，y 的值可以为的值可以为0；2 2 变式变式平均变化率平均变化率Oxyy=f(x)BA 已知物体运动位移和时间关系为函数的平均变化率为

2、引例即为物体运动的平均速度。问题情境问题情境:跳水运动员从跳水运动员从10m高跳台腾空到入水的过程高跳台腾空到入水的过程中，不同时刻的速度是不同的。假设中，不同时刻的速度是不同的。假设t 秒后运动秒后运动员相对于水面的高度为员相对于水面的高度为H(t)=-4.9t2+6.5t+10,试试确定确定t=2s时运动员的速度。时运动员的速度。(1)计算运动员在计算运动员在2s到到2.1s(t 2,2.1)内的平内的平均速度。均速度。(2)计算运动员在计算运动员在2s到到2+t s(t 2,2+t)内内的平均速度。的平均速度。时间区间时间区间 t t 平均速度平均速度22，2.12.10.10.1-13

3、.59-13.592,2.012,2.010.010.01-13.149-13.1492,2.0012,2.0010.0010.001-13.1049-13.10492,2.00012,2.00010.00010.0001-13.10049-13.100492,2.000012,2.000010.000010.00001-13.100049-13.1000492,2.0000012,2.0000010.0000010.000001-13.1000049-13.1000049时间区间时间区间 t t 平均速度平均速度1.91.9，22 0.10.1 -12.61 -12.611.99,21.99

4、,2 0.010.01 -13.051 -13.0511.999,21.999,2 0.0010.001 -13.0951 -13.09511.9999,21.9999,2 0.00010.0001 -13.09951 -13.099511.99999,2 1.99999,2 0.00001-13.0999510.00001-13.099951该常数可作为运动员在该常数可作为运动员在2s时的瞬时速度。时的瞬时速度。设物体作直线运动所经过的路程为设物体作直线运动所经过的路程为s=h(t)。以以t0为起始时刻，物体在为起始时刻，物体在 t时间内的平均速度为时间内的平均速度为就是物体在就是物体在t0

5、时刻时刻的的瞬时速度瞬时速度，即，即 所以当所以当 t0时，比值时，比值瞬时速度瞬时速度函数的瞬时变化率：函数的瞬时变化率：函数函数y=f(x)，在，在x0及其附近有意义及其附近有意义，自变量自变量在在x=x0附近改变量为附近改变量为x 平均变化率为平均变化率为f(x0+x)f(x0).则函数值相应的改变则函数值相应的改变y=当当x 0 时，时，常数常数 常数常数 称为函数称为函数f(x)在点在点x0的瞬时变化率的瞬时变化率 上述过程记作上述过程记作即即 如果函数 f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导，就说f(x)在开区间(a,b)内可导这时，对于开区间(a,b)内每一个确定的值 x，都对

6、应着一个确定的导数 这样就在开区间(a,b)内构成了一个新的函数，我们把这一新函数叫做 f(x)在开区间(a,b)内的导导函数函数，简称为导数导数，记作例1.求y=x2在点x=1处的导数解：解：由定义求导数（三步法由定义求导数（三步法）步骤步骤:变式变式1.1.求求y=x2+2在点在点x=1处的导数处的导数解：解：（求极限时，若经整理后分母不含求极限时，若经整理后分母不含 ，则令其为，则令其为0即可）即可）练习：练习：(1)(1)求函数求函数y=x2在在x=1处的导数处的导数;(2)(2)求函数求函数 在在x=2处的导数处的导数.例例1 1火箭竖直向上发射，熄火时向上的速度达到火箭竖直向上发射

7、，熄火时向上的速度达到100100m m/s s，试问，试问熄火后多长时间火箭向上的速度为熄火后多长时间火箭向上的速度为0 0？解：火箭的运动方程为解：火箭的运动方程为h h(t t)=100)=100t t gtgt2 2，在在t t附近的平均变化率为附近的平均变化率为=100=100gtgt g gt t。当当t t00时，上式趋近于时，上式趋近于100100gtgt。可见可见t t时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度h h(t t)=100)=100gtgt。令令h h(t t)=100)=100gtgt=0=0，解得，解得 所以火箭熄火后约所以火箭熄火后约10.210.2s s向上的速度变为向

8、上的速度变为0.0.例例3.3.求函数求函数y y=x x2 2在点在点x x=3=3处的导数。处的导数。解：因为解：因为y y=(3+=(3+x x)2 23 32 2=6=6x x+(+(x x)2 2.所以所以=6+=6+x x，令令x x00，6 6所以函数所以函数y y=x x2 2在点在点x x=3=3处的导数为处的导数为6.6.例例4 4质点质点MM按规律按规律s s(t t)=)=atat2 2+1+1作直线运动，若质点作直线运动，若质点MM在在t t=2=2时的时的瞬时速度为瞬时速度为8m/s8m/s，求常数，求常数a a的值。的值。解：因为解：因为s s=a a(t t+t

9、 t)2 2+1+1(atat2 2+1)+1)=2 =2atatt t+a a(t t)2 2，所以所以 =2=2atat+a at t，当当t t00时，时，s s=2=2atat，由题意知由题意知t t=2=2时，时，s s=8=8，即，即4 4a a=8=8，解得，解得a a=2.=2.例例5 5已知已知y y=axax2 2+bxbx+c c，求，求y y 及及y y|x x=2=2。解：解：y y=a a(x x+x x)2 2+b b(x x+x x)+)+c c(axax2 2+bxbx+c c)=(2 =(2axax+b b)x x+a a(x x)2 2，=(2=(2axa

10、x+b b)+)+a ax x，当当x x00时，时，y y=2=2axax+b b，当当x x=2=2时，时，y y|x x=2=2=4=4a a+b b。练习题1 1一物体的运动方程是一物体的运动方程是s s=3+=3+t t2 2，则在一小段时间，则在一小段时间2,2.12,2.1内相内相应的平均速度为（应的平均速度为（）A A0.41 B0.41 B3 3 C C4 D4 D4.1 4.1 D D2 2设设y y=f f(x x)函数可导，则函数可导，则 等于（等于（）A Af f (1)B(1)B不存在不存在 C C f f (1)D(1)D3 3f f (1)(1)C3 3设设 ，则，则 等于（等于（）A A B B C C D DC4 4若若f f(x x)=)=x x3 3，f f (x x0 0)=3)=3，则，则x x0 0的值是（的值是（）A A1 B1 B1 1 C C1 D1 DC5 5设函数设函数f f(x x)=)=axax3 3+2+2，若，若f f (1)=31)=3，则，则a a=_=_。16 6函数函数y y=2=2mxmx+n n的瞬时变化率是的瞬时变化率是 .2m7 7函数函数 在在x x=1=1处的导数是处的导数是 .小结：函数的瞬时变化率、导数函数f(x)在x0处的瞬时变化率就是在x=x0处的导数求导数的一般步骤