3.1 导数的概念(1-8).ppt

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1、3.1 导数的概念导数的概念10 导数问题的提出导数问题的提出（1）非等速直线运动的瞬时速度的计算问题非等速直线运动的瞬时速度的计算问题 设物体作非等速直线运动，其运动方程设物体作非等速直线运动，其运动方程为为s=f(t),计算物体在计算物体在 t=t0 时的瞬时速度时的瞬时速度 v(t0)考虑时间段考虑时间段 t0,t0+t 此时间段物体移动的路程：此时间段物体移动的路程：s=f(t0+t)-f(t0)在此时间段物体的平均速度：在此时间段物体的平均速度：物体在物体在 t t0 0 时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度（2）曲线切线的计算问题曲线切线的计算问题 设曲线设曲线 C:y=f(x),计算曲线

2、在点计算曲线在点 A(x0,y0)处的切线方程处的切线方程 如何定义曲线在如何定义曲线在A点处的点处的切线？切线？曲线在曲线在A 点处的切线的斜率：点处的切线的斜率：设点设点如果如果 A A 沿曲线沿曲线C C 割线割线 AT绕点绕点A旋转而趋向极限位置旋转而趋向极限位置 AT 我们我们称直线称直线 AT为曲线为曲线 C 在点在点 A 处的切线处的切线可以发现：可以发现：尽管以上两个问题具有不同的背景，但尽管以上两个问题具有不同的背景，但 数学上都面临相同的问题：数学上都面临相同的问题：计算函数计算函数 f(x)在点在点 x0 处的差商的极限处的差商的极限 类似地人们发现许多物理量的计算也将遇

3、到类似地人们发现许多物理量的计算也将遇到类似量的计算问题类似量的计算问题 ,例如例如加速度：加速度：速度关于时间速度关于时间 t 的差商的极限；的差商的极限；角速度：角速度：角度关于时间角度关于时间 t 的差商的极限；的差商的极限；电流：电流：电量关于时间电量关于时间 t 的差商的极限；的差商的极限；20 导数的定义导数的定义 定义定义 设函数设函数 y=f（x）在点在点 x0 0 的某个邻域的某个邻域 N(x0 0)内有定义内有定义,当自变量当自变量 x 在在 x0 0 处取得增处取得增 x(点点x0 0+x 仍在该邻域内仍在该邻域内)时，相应的函数时，相应的函数 y 取得增量取得增量 y=

4、f(x0 0+x)-f(x0 0),如果如果 y 与与 x之比的极限之比的极限存在存在,则称函数则称函数 y=f(x)在点在点 x0 处处可导可导,并称此极并称此极限限值为函数值为函数 y=f(x)在点在点 x0 处的处的导数导数,记为记为 f(x0),即即说明：说明：（1）瞬时速度：瞬时速度：曲线曲线 C:y=f(x)在点在点 处的切线斜率：处的切线斜率：（2）若记若记 ,此函数称为此函数称为 f(x)的的导函数导函数,记为记为（当（当 x 为定点时，为定点时，f(x)指指 f(x)在在 x 处的导数值，处的导数值，当当 x 为变量时，为变量时，f(x)指指 f(x)的的导函数导函数 )也可记为也可记为，唯一确定一导数值，唯一确定一导数值 f(x)与之对应与之对应，则对任意的则对任意的(3)表示平均增加率表示平均增加率导数导数 表示函数表示函数 在在 x0 处的增加率处的增加率30 导数计算举例导数计算举例例例 求函数求函数 y=mx+b 在在 x 处的导数处的导数解解例例 求函数求函数 在在 处的导数处的导数解解当当 时时