3.1.2空间向量的数乘运算58464.ppt

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1、共线向量与共面向量共线向量与共面向量复习：平面向量数乘运算复习：平面向量数乘运算当 时，当 时，与向量 方向相同；与向量 方向相同；是零向量.1.实数 与平面向量 的乘积 是一个向量.当 时，（1）方向：方向：（2）大小：）大小：的长度是 的长度的 倍.2.平面向量的数乘运算满足分配律及结合律平面向量的数乘运算满足分配律及结合律一、空间向量数乘运算一、空间向量数乘运算1.实数 与空间向量 的乘积 仍然是一个向量.当 时，当 时，与向量 方向相同；与向量 方向相同；是零向量.当 时，（1）方向：方向：（2）大小：）大小：的长度是 的长度的 倍.2.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律空间向量的数

2、乘运算满足分配律及结合律问题问题2：平面向量中，平面向量中，的等价条件是：存在唯一的等价条件是：存在唯一的实数的实数 ，使，使能否推广到空间向量中呢？能否推广到空间向量中呢？问题问题1 1：若：若则则所在直线有那些位置关系?零零向量与任意向量共线向量与任意向量共线.二、共线向量共线向量:如果表示空间向量的有向如果表示空间向量的有向线段所在直线互相线段所在直线互相平行平行或或重合重合,则这些向量则这些向量叫做共线向量叫做共线向量(或平行向量或平行向量),),记作记作平行或重合平行或重合由此可判断空间中两直线平行或由此可判断空间中两直线平行或三点共线三点共线问题问题 共线向量定理共线向量定理:对空

3、间任意两个向量对空间任意两个向量 ，的等价条件是存在唯一实数的等价条件是存在唯一实数，使使如图，如图，l 为经过已知点为经过已知点A且平行已知非零向量且平行已知非零向量 的直线，的直线，a对空间任意一点对空间任意一点O,所以即 若在若在l上取上取 则有则有上式上式(1)(2)都称为空间直线的向量表示式，空间任意直线都称为空间直线的向量表示式，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量唯一决定由空间一点及直线的方向向量唯一决定.由此由此可判断空间任意三点共线可判断空间任意三点共线。.alABPO若点若点P P是直线是直线l l上任意一点，则上任意一点，则 由由 知存在唯一的知存在唯一的t,满足满足特

4、别的，当特别的，当t=时，时，则有则有aABPO进一步进一步，t1-tP点为点为A,B 的中点的中点A、B、P三点共线三点共线练习：练习：89：2三、共面向量三、共面向量:1.1.共面向量共面向量:平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量,叫做共叫做共面向量面向量.注意：注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量个向量 既可能共面，也可能不共面既可能共面，也可能不共面dbac由平面向量基本定理知，如果由平面向量基本定理知，如果 ，是平面内的两个不共线的向量，那么是平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量对于这一平面内的任意向量 ，有且

5、，有且只有一对实数只有一对实数 ，使使 如果空间向量如果空间向量 与两不共线向量与两不共线向量 ，共面，那么可共面，那么可将三个向量平移到同一平面将三个向量平移到同一平面，则有，则有 那么什么情况下三个向量共面呢？那么什么情况下三个向量共面呢？C2.共面向量定理：如果两个向量共面向量定理：如果两个向量 ，不共线不共线，则向量则向量 与向量与向量 ，共面的充要共面的充要条件是条件是存在实数对存在实数对x,y使使推论推论:空间一点空间一点P P位于平面位于平面ABCABC内的充要条件是存在有内的充要条件是存在有序实数对序实数对x,yx,y使使C对空间任一点对空间任一点O,O,有有填空：填空：1-1

6、-x-yxyC 式称为空间平面式称为空间平面ABC的向量表示式，空间中任意的向量表示式，空间中任意平面由空平面由空 间一点及两个不共线的向量唯一确定间一点及两个不共线的向量唯一确定.由此可判断空间任意由此可判断空间任意四点共面四点共面P与与A,B,C共面共面解析：由共面向量定理知，要证明解析：由共面向量定理知，要证明P、A、B、C四点共面，只四点共面，只要证明存在有序实数对（要证明存在有序实数对（x,y）使得）使得例例1.已知已知A、B、C三点不共线，对于平面三点不共线，对于平面ABC外外的任一点的任一点O，确定在下列各条件下，点，确定在下列各条件下，点P是否与是否与A、B、C一定共面？一定共

7、面？例例2.P88:如图，已知平行四边形如图，已知平行四边形ABCD，过平，过平面面AC外一点外一点O作射线作射线OA、OB、OC、OD，在四，在四条射线上分别取点条射线上分别取点E、F、G、H，并且使，并且使求证：求证：四点四点E、F、G、H共面；共面；平面平面EG/平面平面AC.OBAHGFECD练习：练习：P89：3 共线向量共线向量 共面向量共面向量定义定义向量所在直线互相平向量所在直线互相平行或重合行或重合平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量,叫做共面向量叫做共面向量.定理定理推论推论运用运用判断判断三点共线三点共线，或两，或两直线平行直线平行判断判断四点共面四点共面，或直，或直线线平行平行于平于平面面小结小结共面共面