3-1大一上学期几何、代数.ppt

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1、3.1 空间直角坐标系与向量空间直角坐标系与向量3.3 平面平面3.2 向量的乘法向量的乘法3.4 空间直线空间直线3.1 3.1 空间直角坐标系与向量空间直角坐标系与向量空间直角坐标系与向量空间直角坐标系与向量二、二、向量及其线性运算向量及其线性运算一、一、空间直角坐标系空间直角坐标系做三条互相垂直的数轴做三条互相垂直的数轴,组成一个组成一个空间直角坐标系空间直角坐标系.坐标原点坐标原点o 坐标轴坐标轴x轴轴(横轴横轴)y轴轴(纵轴纵轴)z 轴轴(竖轴竖轴)过空间一定点过空间一定点 o,坐标面坐标面 卦限卦限(八个八个)zox面三条坐标轴符合三条坐标轴符合右手规则右手规则一、一、空间直角坐标

2、系空间直角坐标系在直角坐标系下在直角坐标系下坐标轴上的点坐标轴上的点 P,Q,R;坐标面上的点坐标面上的点 A,B,C点点 M特殊点的坐标特殊点的坐标 :有序数组有序数组(称为点称为点 M 的坐标的坐标)原点原点 O(0,0,0);卦限卦限卦限卦限坐标坐标坐标坐标I Ixyz点的坐标的符号规定例例 在在Oxyz坐标系中表示以下三个点：坐标系中表示以下三个点：M1 1(1,2,3),(1,2,3),M2 2(-1,2,3),(-1,2,3),M3 3(1,2,-3).(1,2,-3).M1xyzO123.xyzO2-1M2xyzO12-3M33.M2 2(-1,2,3),(-1,2,3),M3

3、3(1,2,-3)(1,2,-3).向量向量(矢量矢量):既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量.向量表示：向量表示：模长为模长为1 1的向量的向量.零向量：零向量：模长为模长为0 0的向量的向量.|向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小(模长模长).).单位向量：单位向量：或或或或数量数量(标量标量):只有大小没有方向的量只有大小没有方向的量.(方向任意方向任意)二、二、向量及其线性运算向量及其线性运算1.向量向量自由向量：自由向量：不考虑起点位置的向量不考虑起点位置的向量.相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量.负向量：负向量：大小相等但方向相反的向量大小

4、相等但方向相反的向量.向径：向径：空间直角坐标系中任一点空间直角坐标系中任一点 与原点与原点构成的向量构成的向量向量的分量向量的分量(或坐标或坐标)：把向量把向量 作平行移动，使其起点与原点重合。作平行移动，使其起点与原点重合。a1a2a3设其终点设其终点A的坐标为的坐标为(a1,a2,a3),OA则称则称a1,a2,a3为向量为向量 的分量或坐标，的分量或坐标，记为记为 =(a1,a2,a3).零向量零向量负向量负向量定义定义加法与数乘统称为加法与数乘统称为线性运算线性运算.2.向量的线性运算向量的线性运算减法减法a1=b1,a2=b2,a3=b3.加法加法=(a1+b1,a2+b2,a3+

5、b3),=(ka1,ka2,ka3).数乘数乘相等相等3.3.线性运算满足的运算规律线性运算满足的运算规律例例 化简化简解解原式原式=4.4.基向量与线性表出基向量与线性表出单位向量单位向量称为基向量称为基向量.=(a1,a2,a3)称称可由可由线性表出线性表出。xyzo=(a1,0,0)+(0)+(0,a2,0)+(0)+(0,0,a3)定义定义定理定理证明证明利用相似三角形易证利用相似三角形易证定理定理对应坐标成比例对应坐标成比例对应坐标成比例对应坐标成比例例如，例如，即，即，对应坐标是成比例的对应坐标是成比例的再如，再如，对应坐标是成比例的对应坐标是成比例的(1)(1)加法符合平行四边形

6、法则加法符合平行四边形法则是以是以为边的平行四边形的对角线为边的平行四边形的对角线.加法也符合加法也符合三角形法则三角形法则5.5.线性运算的几何意义线性运算的几何意义减法：减法：加、减法的几何意义加、减法的几何意义向量的模的坐标表示向量的模的坐标表示由勾股定理得由勾股定理得（2 2）伸缩变换）伸缩变换(1)0,(2)=0,数乘的几何意义数乘的几何意义(3)0,例例例例 证明：三角形的中位线平行于底边且等于证明：三角形的中位线平行于底边且等于底边的一半底边的一半.证证 设设DE是中位线，是中位线，DE=DA+AE =BC.=BA+AC =(BA+AC)ABCED 试用向量方法证明：对角线互相平

7、分的四试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形边形必是平行四边形.证明证明与与 平行且相等平行且相等,结论得证结论得证.空间两点间距离公式空间两点间距离公式平面两点间距离公式平面两点间距离公式空间两点间距离公式空间两点间距离公式中点的坐标：中点的坐标：中点的坐标：中点的坐标：圆的方程：圆的方程：球面的方程：球面的方程：解解原结论成立原结论成立.解解设设P点坐标为点坐标为所求点为所求点为（1）空间两向量的夹角的概念：空间两向量的夹角的概念：类似地，可定义类似地，可定义向量与一数轴向量与一数轴的夹角的夹角.特殊地特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定，当两个向量中有一个零向量时，规

8、定它们的夹角可取它们的夹角可取0 0与与 之间任意值之间任意值.6.6.向量在轴上的投影向量在轴上的投影空间一点在轴上的投影空间一点在轴上的投影向量在轴上的投影向量在轴上的投影向量向量 AB 在轴在轴 u上的投影定义为上的投影定义为AB投影：投影：Projection在三个坐标轴在三个坐标轴上的投影上的投影.向量向量OA的坐标的坐标a1,a2,a3分别是分别是OA解解=(a1,a2,a3)=(a1,0,0)+(0)+(0,a2,0)+(0)+(0,0,a3)向量在轴上的投影有以下两个性质：向量在轴上的投影有以下两个性质：u上的投影等于向量的模乘以上的投影等于向量的模乘以(a)向量向量AB在轴在

9、轴轴与向量的夹角的余弦：轴与向量的夹角的余弦：由性质（由性质（a）容易看出：）容易看出：投影为负；投影为负；投影为零；投影为零；投影为正；投影为正；（b）（可推广到有限多个）（可推广到有限多个）7.7.方向余弦与单位向量的坐标表示方向余弦与单位向量的坐标表示非零向量非零向量 与三条坐标轴的正向的夹角称为与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角方向角.称为向量称为向量 的的方向余弦方向余弦.方向角：方向角：方向余弦：方向余弦：同理同理方向余弦的特征方向余弦的特征 方向余弦的坐标表示方向余弦的坐标表示非零向量单位化非零向量单位化.设向量设向量则则与向量同方向的单位向量的坐标表示与向量同方向的单位向量的坐

10、标表示例例 已知两点已知两点和和的模的模 、方向余弦和方向角以及与、方向余弦和方向角以及与 解解计算向量计算向量同方向的单位向量同方向的单位向量.解解解解 所求向量有两个，一个与所求向量有两个，一个与 同向，一个反向同向，一个反向或或解解对角线的长为对角线的长为向量的概念向量的概念向量的加减法向量的加减法向量与数的乘法向量与数的乘法（注意与数量的区别）（注意与数量的区别）（平行四边形法则）（平行四边形法则）（伸缩变换）（伸缩变换）小结小结直角坐标系，点的坐标，向量的坐标直角坐标系，点的坐标，向量的坐标方向角，方向余弦，模的坐标表示方向角，方向余弦，模的坐标表示向量运算的坐标表示向量运算的坐标表示空间两点的距离公式，中点坐标，球面方程空间两点的距离公式，中点坐标，球面方程作业作业 P100 3，4，6，8，11