3.1.1变化率问题x.ppt

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1、3.1.1 变化率问题变化率问题2013.2.26高二数学高二数学(理理)选修选修2-22-2第一章第一章导数及其应用导数及其应用之之思考与探究探究：探究：画出函数y=2x；y=x；y=log 2 x的图像，并观察它们在单调性上的异同。变化率的概念 变化率就是某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度快慢程度。导数要研究的问题 变化率问题实际问题(1)我们都吹过气球回忆一下吹气球的我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程过程,可以发现可以发现,随着气球内空气容量的随着气球内空气容量的增加增加,气球的半径增加越来越慢气球的半径增加越来越慢.从数学从数学角度角度,如何描述这种现象呢如何描述这种现象呢?气球的

2、体积气球的体积V(单位单位:L)与半径与半径r(单位单位:dm)之间的函数之间的函数关系是：关系是：如果将半径如果将半径r表示为体积表示为体积V的函数的函数,那么：那么：一、气球的膨胀率一、气球的膨胀率(变大的快慢变大的快慢)一、气球的膨胀率一、气球的膨胀率(变大的快慢变大的快慢)1.当当V从从0增加到增加到1时时,气球半径增加了气球半径增加了气球的平均气球的平均膨胀率膨胀率为：为：2.当当V从从1增加到增加到2时时,气球半径增加了气球半径增加了气球的平均气球的平均膨胀率膨胀率为为显然显然0.620.16实际问题(1)实际问题(1)一、气球的膨胀率一、气球的膨胀率(变大的快慢变大的快慢)1.当

3、当V从从0增加到增加到1时时,气球半径增加了气球半径增加了气球的平均气球的平均膨胀率膨胀率为：为：3.当当V从从V1增加到增加到V2时时,气球的平均气球的平均膨胀率膨胀率为多少呢？为多少呢？气球半径增加了气球半径增加了：实际问题(2)二、高台跳水二、高台跳水(在空中速度的快慢在空中速度的快慢)在高台跳水运动中在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度运动员相对于水面的高度h(单位：米单位：米)与起跳后的时间与起跳后的时间t（单位：秒）存（单位：秒）存在函数关系：在函数关系：h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略间段内的平均速度粗略

4、地描述其运动状态地描述其运动状态?请计算请计算hto实际问题(2)二、高台跳水二、高台跳水(在空中速度的快慢在空中速度的快慢)h(t)=-4.9t2+6.5t+10hto在在0t0.5这段时间里这段时间里,在在1t2这段时间里这段时间里,平均变化率 上述问题中的变化率可用式子上述问题中的变化率可用式子 表表示，示，此式称为函数此式称为函数y=f(x)从从x1到到x2的的平均变化率平均变化率。若设若设x=x2-x1,y=f(x2)-f(x1)这里这里x看作是对于看作是对于x1的一个的一个“增量增量”则函数的则函数的平均变化平均变化率率为：为：例例1.已知函数已知函数f(x)=-x2+x的图象上的

5、一点的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点及临近一点B(-1+x,-2+y),则则A到到B平均变化平均变化率为率为()A 3 B 3x-(x)2 C 3-(x)2 D 3-x D例例2.求求y=x2在在x=x0附近的平均变化率。附近的平均变化率。A到B平均变化率即为x0到(x0+x)平均变化率例题讲解2x0+x 2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在t=4秒附近的平均变化率。A课堂练习平均变化率思考：思考：观察函数观察函数f(x)的图象的图象平均变化率平均变化率表示什么表示什么?OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=y直线

6、直线AB的斜率的斜率补充练习补充练习过曲线过曲线y=f(x)=x3上两点上两点P(1,1)和和Q(1+x,1+y)作曲线的割线，求出当作曲线的割线，求出当x=0.1时割线的斜率时割线的斜率.巩固练习1.在高台跳水中，已知位移关于时间的函数为h(t)=-4.9t2+6.5t+10，求运动员在t=2(秒)附近(t：22+t)的平均速度。你能求出t=2 s时刻的瞬时速度吗？瞬时速度1.在高台跳水中，已知位移关于时间的函数为h(t)=-4.9t2+6.5t+10，求运动员在t=2(秒)附近(t：22+t)的平均速度。1)当t=0.01时，2)当t=0.001时，3)当t=0.0001时，4)当t=0.

7、00001时，5)当t趋近于0(t0)时，平均速度平均速度瞬时速度瞬时速度 我们发现：当|t|趋向于0时，在t=2附近的平均速度（h的平均变化率）就趋向于t=2时刻的瞬时速度（h的瞬时变化率）。所以t=2时刻的瞬时速度就是-13.1m/s。我们用我们用 表示表示 “当当t=2,t=2,tt趋近于趋近于0 0时时,平均速度平均速度v v趋于一个趋于一个 确定的值确定的值-13.1-13.1”.瞬时速度1.在某一时刻(t=t0)的瞬时速度怎么表示？2.函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率怎么表示？思考与探究我们用我们用 表示表示 “当当t=2,t=2,tt趋近于趋近于0 0时时,平均速度平均速度v

8、 v趋于一个趋于一个 确定的值确定的值-13.1-13.1”，那么：，那么：导数的概念我们把函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率称为函数y=f(x)在x=x0处的导数导数，记作：课堂小结1.函数的平均变化率函数的平均变化率2.求函数的平均变化率的步骤求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量求函数的增量f(x)=y=f(x2)-f(x1);(2)计算平均变化率计算平均变化率今日作业1.作业本：作业本：P1-2 111.实际问题(2)二、高台跳水二、高台跳水(在空中速度的快慢在空中速度的快慢)计算运动员在 内的平均速度，并回答：1、运动员在此时间段静止吗？2、平均速度有什么缺陷？hto 平均速度不能反映这段时间里人平均速度不能反映这段时间里人的运动状态和某个时刻的瞬时速度的运动状态和某个时刻的瞬时速度