2.1 导数的概念64273.ppt

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1、返回返回上页上页下页下页目录目录高等数学(经管类)多媒体课件牛顿（牛顿（Newton）莱布尼兹（莱布尼兹（Leibniz）12/29/20221返回返回上页上页下页下页目录目录第一节第一节 导数概念导数概念 第二章第二章 三、导数的几何意义三、导数的几何意义二、导数的定义二、导数的定义一、引一、引 例例五、可导与连续的关系五、可导与连续的关系五、小结与思考题五、小结与思考题（The Concept of Derivative）四、单侧导数四、单侧导数12/29/20222返回返回上页上页下页下页目录目录例例1.1.瞬时速度问题瞬时速度问题 求求:质点在质点在时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度设有一质

2、点作变速直线运动设有一质点作变速直线运动,其运动方程为其运动方程为一一.导数问题举例导数问题举例 12/29/20223返回返回上页上页下页下页目录目录时时 刻瞬时速度刻瞬时速度变化不大变化不大,所以质点在所以质点在在在t 时间内速度时间内速度2.若质点作变速直线运动若质点作变速直线运动 1.1.若质点作匀速直线运动若质点作匀速直线运动s0由于速度是连续变化的由于速度是连续变化的,可以近似地用平均速度可以近似地用平均速度 代替代替瞬时速度瞬时速度分析分析：12/29/20224返回返回上页上页下页下页目录目录于是当于是当时时,的极限即为的极限即为越小越小,近似的程度越好近似的程度越好12/29

3、/20225返回返回上页上页下页下页目录目录称为曲线称为曲线 L 上点上点 P 处的切线处的切线例2:曲线的切线斜率曲线的切线斜率切线的一般定义切线的一般定义:设设 P 是曲线是曲线 L 上的一个定点上的一个定点,Q 是曲线是曲线 L 上的另一个点上的另一个点,过点过点 P 与点与点 Q 作一条直线作一条直线 PQ,称称 PQ 为曲线为曲线 L 的的 割线割线,当点当点 Q 沿着曲线沿着曲线 L 趋向定点趋向定点 P 时时,割线割线 PQ 的极限位置的极限位置 PTLPQT12/29/20226返回返回上页上页下页下页目录目录设设曲线曲线 L 的方程为的方程为 y=f(x),越接近于越接近于

4、k,x 越小越小,Q 越接近于越接近于 P,PQ 越接近于越接近于 PT,切线的倾角为切线的倾角为 ,则有则有:分析分析:如图如图,割线的倾角为割线的倾角为,求此曲线上点求此曲线上点 P 处的切线斜率处的切线斜率 k.LPQT12/29/20227返回返回上页上页下页下页目录目录曲线在曲线在 P 处的切线斜率为处的切线斜率为:当自变量的增量趋于当自变量的增量趋于 0 时的极限时的极限.即即:函数的增量与自变量增量之比函数的增量与自变量增量之比,12/29/20228返回返回上页上页下页下页目录目录二、导数的定义二、导数的定义（Definition of Derivatives）1.函数在一点的

5、导数与导函数函数在一点的导数与导函数.定义定义1 设函数在点存在,并称此极限为记作:则称函数若的某邻域内有定义,在点处可导可导,在点的导数导数.即12/29/20229返回返回上页上页下页下页目录目录若上述极限不存在,在点 不可导.若也称在就说函数的导数为无穷大.12/29/202210返回返回上页上页下页下页目录目录例.求函数在x=1处的导数 .解 由导数定义有由导数定义有 12/29/202211返回返回上页上页下页下页目录目录在点的某个右右 邻域内若极限则称此极限值为在 处的右右 导数导数,记作(左)(左左)定义定义2 设函数有定义,存在,2.单侧导数单侧导数.在点可导的充分必要条件充分

6、必要条件注注1：函数且是注注2：若函数与在开区间 内可导,且都存在,则称在闭区间 上可导.12/29/202212返回返回上页上页下页下页目录目录在 x=0 不可导.例例 证明函数证证:因此，函数在 x=0 不可导.一般地，如果函数的图形在某点出现一般地，如果函数的图形在某点出现“尖角尖角”，那，那么在该点就没有切线，从而函数在该点不可导么在该点就没有切线，从而函数在该点不可导.12/29/202213返回返回上页上页下页下页目录目录若函数在开区间 I 内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:注意注意:就称函数在 I 内可导.二二.导函数导函数12/29/202214返回返回上页

7、上页下页下页目录目录12/29/202215返回返回上页上页下页下页目录目录三、导数的几何意义三、导数的几何意义（Geometric Interpretation）曲线在点的切线斜率为若曲线过上升;若曲线过下降;若切线与 x 轴平行,称为驻点驻点;若切线与 x 轴垂直.曲线在点处的切线方程切线方程:法线方程法线方程:12/29/202216返回返回上页上页下页下页目录目录解解 法线斜率为法线斜率为 12/29/202217返回返回上页上页下页下页目录目录五、函数的可导性与连续性的关系五、函数的可导性与连续性的关系定理定理证证:设在点 x 处可导,存在,故即所以函数在点 x 连续.注意注意:函数

8、在点 x 连续未必可导连续未必可导.反例反例:在 x=0 处连续,但不可导.12/29/202218返回返回上页上页下页下页目录目录解解(1)因为因为 12/29/202219返回返回上页上页下页下页目录目录(2)因为因为 有有 又又 12/29/202220返回返回上页上页下页下页目录目录内容小结内容小结1.本节通过两个引例抽象出导数的定义：本节通过两个引例抽象出导数的定义：12/29/202221返回返回上页上页下页下页目录目录2.利用导数的定义得出以下导数公式：利用导数的定义得出以下导数公式：3.判断可导性判断可导性不连续,一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.4.导数的

9、几何意义导数的几何意义:切线的斜率;5.函数的可导性与连续性的关系：函数的可导性与连续性的关系：可导必连续,但连续不一定可导。12/29/202222返回返回上页上页下页下页目录目录课后练习课后练习习习 题题 2-1 1；4；5；6;思考与练习思考与练习1.函数 在某点 处的导数有什么区别与联系?与导函数区别:是函数,是数值;联系:注意注意:？12/29/202223返回返回上页上页下页下页目录目录3.已知则存在,则2.设4.设存在,求极限解解:原式12/29/202224返回返回上页上页下页下页目录目录,问 a 取何值时,在都存在,并求出解解:故时此时在都存在,显然该函数在 x=0 连续.5.设12/29/202225返回返回上页上页下页下页目录目录解解:因为存在,且求所以6.设12/29/202226返回返回上页上页下页下页目录目录在 处连续,且存在，证明:在处可导.证证：因为存在，则有又在处连续,所以即在处可导.故7.设12/29/202227