2.1导数概念2013.10.21.ppt

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1、 第二章第二章第一节第一节 导数概念导数概念一、引例一、引例 二、导数的定义二、导数的定义 三、导数的几何意义三、导数的几何意义 四、可导与连续的关系四、可导与连续的关系 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 1.1.直线运动的速度直线运动的速度 设一质点作直线运动，其运动方程为 非匀速直线运动，匀速直线运动，则 这样求的是平均速度，而不是瞬时速度 求 t 时刻速度 取一邻近于 的时刻 t，运动时间 取极限得 平均速度 时，瞬时速度 一、引例一、引例 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 2.2.切线问题切线问题 中学里定义：与曲线只有一个交点的直线。但对某些曲线不实用，如曲线

2、 与其都只有一个交点，但只有 是其在原点处的切线。目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 播放播放MNTC播放播放切线切线割线的极限位置割线的极限位置 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 切线切线割线的极限位置割线的极限位置MNTC 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 曲线在 M 点处的切线割线 M N 的极限位置 M T割线 M N 的斜率切线 MT 的斜率 瞬时速度切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.两个问题的共性：两个问题的共性：目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 1.1.函数在一点处的导数函数在一点处的导数 定义：定义：设 在 内有定义，

3、若 存在，则称 在 可导，该极限值称为 在 的导数，记 或或 或 两种形式：两种形式：令二、导数的定义二、导数的定义 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例1 1 求 在 处的导数。解：例例2 2 求 在 处的导数。解：目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例3 3 求 在 处的导数。解：目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 2.2.单侧导数单侧导数 左导数 右导数 统称单侧导数。在 可导 分段函数在分段点处的可导性 例例4 4 判断 在 的可导性。解：所以 在 不可导 但 在 连续 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 3.3.导函数导函数 如果 在开区

4、间 I 内每点都可导，则称 在区间 I 内 可导。对 对应一个 ，这个函数叫原函数的导函数。记 或 或 或 求法：求法：如 在 上可导：在 内可导，且 和 都存在 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例5 5 求 的导数。解：即 同理 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例6 6 求 的导数。解：例例7 7 求 的导数。解：目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 注：注：思考：求 的方法：一是先求 再求二是由定义求存在时?目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 切线方程切线方程:法线方程法线方程:表示曲线 在 处切线的斜率 即 三、导数的几何意义三、导数的几

5、何意义 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例8 8 求 过 的切线方程。解：不在该曲线上 切线：即 解得 所以切线：即 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 在点 可导 存在 则 在点 连续 即可导可导 连续连续 不连续不连续 不可导不可导 四、可导与连续的关系四、可导与连续的关系 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 1.导数的定义:3.导数的几何意义:4.可导必连续,但连续不一定可导;5.已学求导公式:6.判断可导性不连续,一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.2.切线的斜率;小结小结 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 区别:是函数,是数值;联系:注意注意:有什么区别与联系?？1.函数 在某点 处的导数 与导函数 思考与练习：思考与练习：目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 存在,则2.设3.已知则