一阶隐式微分方程及其参数表示.ppt

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1、第二章第二章 一阶微分方程的初等积分一阶微分方程的初等积分法法Integrated Method of First Order ODE 2022/12/301常微积分方程-重庆科技学院-李可人2.4 2.4 一阶隐式微分方程及其参数表示一阶隐式微分方程及其参数表示/Implicit First-Order ODE and Parameter Representation/变量分离、线性、恰当方程等能解出转化不能解出 或解出形式复杂转化引进参数变量变换熟练掌握2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter representation2022/12/303常

2、微积分方程-重庆科技学院-李可人一、能解出能解出 y (或或 x)的方程的方程这里假设函数 有连续的偏导数。解法解法：引进参数 ，则(2.4.1)变为 两边关于 x 求导，并把 代入，得关于 x 和 p 显式方程2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation2022/12/304常微积分方程-重庆科技学院-李可人(i)若已得出(2.4.3)的通解形式为,代入(2.4.2)得就是(2.4.1)的通解。(ii)若得出(2.4.3)通解形式为 ，则原方程(2.4.1)有参数形式的通解其中 p 是参数，c为任意常数。(iii)若求得(

3、2.4.3)通解形式 ，则原方程(2.4.1)其中p是参数,c为任意常数。有参数形式通解2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation2022/12/305常微积分方程-重庆科技学院-李可人解法解法两边对 y 求导(2.4.6)若求得为则(2.4.4)的通解为若求得为则(2.4.4)的通解为2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation2022/12/306常微积分方程-重庆科技学院-李可人解法解法1 1：解出 y 令得两边对 x 求导例例1 1求解方程当时，

4、上式乘以 p，得积分，得2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation2022/12/307常微积分方程-重庆科技学院-李可人将它代入因此，方程参数形式通解当 p=0 时,由可知，y=0也是方程的解。解出 x，得2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation2022/12/308常微积分方程-重庆科技学院-李可人解法解法2 2：解出 x，并把 ，得两边对 y 求导所以，方程的通解为:此外，还有解 y=0 2.4 Implicit First-Order ODE

5、 and Parameter Representation2022/12/309常微积分方程-重庆科技学院-李可人解解令得两边对 x 求导，得 例例2 2求解方程将它代入得方程的通解2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation2022/12/3010常微积分方程-重庆科技学院-李可人方程的通解再由得将它代入，又得方程的一个解 此解与通解中的每一条积分曲线均 相切这样的解我们称之为奇解注意注意:2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation2022/12/30

6、11常微积分方程-重庆科技学院-李可人xyo2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation2022/12/3012常微积分方程-重庆科技学院-李可人二二 、不显含不显含 y(或或 x 的方程的方程 )解法：解法：引入变换从(2.4.7)得到则，方程的参数形式通解为关键(or 引入变换从(2.4.7)得到 )2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation2022/12/3013常微积分方程-重庆科技学院-李可人令通解为特殊情形2.4 Implicit First

7、-Order ODE and Parameter Representation2022/12/3014常微积分方程-重庆科技学院-李可人解法：解法：引入变换从(2.4.7)得到则，方程的参数形式通解为(or 引入变换从(2.4.7)得到 )若有实根则也是方程的解。关键2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation2022/12/3015常微积分方程-重庆科技学院-李可人令通解为特殊情形若有实根则也是方程的解。2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation202

8、2/12/3016常微积分方程-重庆科技学院-李可人解解令则 由方程，得从而于是求解方程例例4 4通解为2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation2022/12/3017常微积分方程-重庆科技学院-李可人例例5求解方程解解把代入原微分方程令得由此得且方程的参数形式的通解为此外,也是方程的解。2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation2022/12/3018常微积分方程-重庆科技学院-李可人练习练习求解方程注意观察方程的解的特点解解通解奇解克莱洛方程Cl

9、airant Equation2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation2022/12/3019常微积分方程-重庆科技学院-李可人三 利用变量代换的微分方程积分法利用变量代换的微分方程积分法有时方程就都不易解出,或者虽能解出,但积分计算比较复杂，这时，除了引用适当的参数外，还可以先进行适当的变量代换后再 求解，这种方法称为利用变量代换的微分方程积分法。但是，如何选择适当的变量来代换，没有一定的规律,需要在做大量的练习中积累经验.2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation2022/12/3020常微积分方程-重庆科技学院-李可人解解令则代入原方程，得即克莱洛方程通解奇解例例6 6求解方程2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation2022/12/3021常微积分方程-重庆科技学院-李可人解解则令于是代入原方程，得例例7 7的通解.求方程克莱洛方程通解奇解2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation2022/12/3022常微积分方程-重庆科技学院-李可人