量子力学 第三章.ppt

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1、 一、电子在库伦场中的运动（辏力场的一种形式）一、电子在库伦场中的运动（辏力场的一种形式）体系体系 Hamilton 量量U(r)=-Zes2/r考虑一电子在一带正电的核考虑一电子在一带正电的核 所产生的电场中运动，电子所产生的电场中运动，电子 质量为质量为，电荷为电荷为 -e-e，核电核电 荷为荷为 +ZeZe。取核在坐标原点，取核在坐标原点，电子受核电的吸引势能为：电子受核电的吸引势能为：H的本征方程的本征方程 对于势能只与对于势能只与 r r 有关而与有关而与,无关的有心力场，使用球坐标求无关的有心力场，使用球坐标求 解较为方便。于是方程可改写为：解较为方便。于是方程可改写为：xz球球

2、坐坐 标r y此式使用了角动量平方此式使用了角动量平方 算符算符 L2 的表达式：的表达式：2.2.求解求解 Schrodinger Schrodinger 方程方程（1 1）分离变量）分离变量 化简方程化简方程(r,)=R(r)Ylm(,)令令注意到注意到 L2 Ylm=(+1)2 Ylm则方程化方程化为：令令 R(r)=u(r)/r 代入上式得：代入上式得：若令若令讨论讨论 E 0 E 0 情况，情况，方程可改写如下：方程可改写如下：于是化成了一维问题，势于是化成了一维问题，势V(r)V(r)称为等效势，它由离心势和库称为等效势，它由离心势和库仑势两部分组成。仑势两部分组成。令令（2）求解

3、）求解(I)解的解的渐近行近行为 时，方，方 程程变为所以可所以可 取取 解解 为有限性条件要求有限性条件要求 A=0 2(II)(II)求求级数解数解令令为了保了保证有限性条件要求：有限性条件要求：当当 r 0 r 0 时 R=u/r 有限成立有限成立即即代入方程代入方程令令=-1 第一个求和改第一个求和改为:把第一个求和号中把第一个求和号中=0=0 项单独写出，则上式改为：项单独写出，则上式改为：再将再将标号号改用改用 后与第二后与第二项合并，合并，代回上式得：代回上式得：s(s-1)-s(s-1)-(+1)b+1)b0 0=0=0 s(s-1)-s(s-1)-(+1)=0+1)=0S =

4、-不不满足足 s 1 条件，舍去。条件，舍去。s=+1高高阶项系数：系数：(+s+1)(+s)-(+1)b+1+(-s)b=0系数系数b b的的递推公式推公式注意到注意到 s=+1上式之和恒等于零，所以上式之和恒等于零，所以得各次幂得系数分别等于零，即得各次幂得系数分别等于零，即3.3.使用标准条件定解使用标准条件定解（3）有限性条件）有限性条件（1）单值；（2）连续。二二条条件件满满足足1.0 时，R(r)有限已由有限已由 s=+1 条件所保条件所保证。2.时，f()的收的收敛性性 如何？如何？需要需要进一步一步讨论。所以所以讨论波函数波函数 的收的收敛 性可以用性可以用 e 代替代替 f(

5、)后后项与前与前项系数之比系数之比级 数数 e 与与f()收收 敛 性性 相同相同 可见若可见若 f()是无穷级是无穷级数，则波函数数，则波函数 R不满足不满足有限性条件，所以必须有限性条件，所以必须把级数从某项起截断把级数从某项起截断。与谐振子问题类似，为讨论与谐振子问题类似，为讨论 f()f()的收敛性现考察级的收敛性现考察级数后项系数与前项系数之比：数后项系数与前项系数之比：最高幂次项的最高幂次项的 maxmax=n=nr r令令注意注意 此时多项式最高项此时多项式最高项 的幂次为的幂次为 n nr r+1+1则于是于是递推公式改写推公式改写为量量 子子 数数 取取 值由由 定定 义 式

6、式由此可由此可见，在粒子能量，在粒子能量 小于零情况下（束小于零情况下（束缚态）仅当粒子能量取当粒子能量取 E En n 给出出 的分立的分立值时，波函数才，波函数才满 足有限性条件的要求。足有限性条件的要求。En 0将将=n 代入代入递推公式：推公式：利用利用递推公式可把推公式可把 b1,b2,.,bn-1 用用b0 表示表示 出来。将出来。将这些系数代入些系数代入 f()表达式得：表达式得：其封其封闭形式如下：形式如下：缔合拉盖合拉盖尔多多项式式总 波波 函函 数数 为：至此只剩至此只剩 b b0 0 需要需要归一化条件确定归一化条件确定则径向波函数公式：则径向波函数公式：径向波函数径向波

7、函数第一第一BorhBorh 轨道半径轨道半径使用球函数的使用球函数的 归一化条件：一化条件：利利用用拉拉盖盖尔尔多多项项式式的的封封闭闭形形式式采采用用与与求求谐谐振振子子波波函函数数归归一一化化系数类似的方法就可求出归一化系数表达式如下：系数类似的方法就可求出归一化系数表达式如下：从而系数从而系数 b b0 0 也就确定了也就确定了4.归一化系数归一化系数下面列出了前几个径向波函数下面列出了前几个径向波函数 R n l 表达式：表达式：（1 1）本征）本征值和本征函数和本征函数（2 2）能）能级简并性并性能量只与主量子数能量只与主量子数 n 有关，而本征函数与有关，而本征函数与 n,m 有

8、关，故能有关，故能级存在存在简并。并。当当 n n 确确定定后后，=n n-n nr r-1 1，所所以以 最最大大值为 n n-1 1。当当 确确定定后后，m m=0,0,1,1,2,.,2,.,。共共 2 2 +1 +1 个个值。所以。所以对于于 E E n n 能能级其其简并度并度为：即即对能量本征能量本征值E En n由由 n n2 2 个本征函数与之个本征函数与之对应，也就是，也就是说有有 n n2 2 个量子个量子态的能量是的能量是 E En n。n=1 n=1 对应于能量最小于能量最小态，称，称为基基态能量，能量，E E1 1=Z=Z2 2 e es s4 4/2/2 2 2，相

9、相应基基态波函数是波函数是 100 100=R=R1010 Y Y0000，所以基所以基态是非是非简并并态。当当 E 0 E 0 时，能量是分立谱，束缚态，束缚于阱内，在无时，能量是分立谱，束缚态，束缚于阱内，在无穷远处，粒子不出现，有限运动穷远处，粒子不出现，有限运动,波函数可归一化为一。波函数可归一化为一。n=nn=nr r+l +l =0,1,2,.n=0,1,2,.nr r=0,1,2,.=0,1,2,.二、总结二、总结 1x+r1r2rR 2Oyzrdrn=1=00 2 4 60.50.40.30.20.1a0rr2R20 4 8 12 160.20.1n=2=00.20.10 4

10、8 12 16=14a0n=3=00 10 20 0.20.1=10 10 20 0.19a0=20 10 20 0.1纵坐标是纵坐标是ZxyZyZyYXZ2.2.简并情况并情况上面证明厄密算符本征函数的正交性时，曾假设上面证明厄密算符本征函数的正交性时，曾假设 这些本征函数属于不同本征值，即非简并情况。这些本征函数属于不同本征值，即非简并情况。如果如果 F F 的本征值的本征值 是是f f度简并的，则对应度简并的，则对应 有有f f个本征函数：个本征函数：n1n1,n2 n2,.,.,nfnf 满足本征方程：足本征方程：一般说来，这些函数一般说来，这些函数 并不一定正交。并不一定正交。证证明

11、明由由这 f 个个n i 线性性组合成合成 f 个新函数个新函数 n j可以可以满足正交足正交归一化条件：一化条件：证明分证明分如下两如下两步进行步进行2.满足正交足正交归一条件的一条件的 f 个新函数个新函数n j可以可以组成。成。可可以以证证明明由由这这 f f 个个函函数数可可以以线线性性组组合合成成 f f 个个独独立立的的新新函函数数，它们仍属于本征值它们仍属于本征值 且满足正交归一化条件。且满足正交归一化条件。但是但是1.1.njnj 是本征是本征值 的本征函数。的本征函数。1.1.njnj是本征是本征值 的本征函数。的本征函数。2.满足正交足正交归一条件的一条件的f个新函数个新函

12、数nj可以可以组成。成。方程的归一化条件有方程的归一化条件有 f f 个，正交条个，正交条 件有件有f(f-1)/2f(f-1)/2 个，所以共有独立方个，所以共有独立方 程数为二者之和等于程数为二者之和等于 f(f+1)/2f(f+1)/2 。为此只需证明线性为此只需证明线性 叠加系数叠加系数 A Ajiji 的个的个 数数 f f 2 2 大于或等于大于或等于 正交归一条件方程正交归一条件方程 个数即可。个数即可。综合上述讨论可得如下结论：综合上述讨论可得如下结论：既然厄密算符本征函数总可以取为正交归一化既然厄密算符本征函数总可以取为正交归一化 的，所以以后凡是提到厄密算符的本征函数时，的

13、，所以以后凡是提到厄密算符的本征函数时，都是正交归一化的，即组成正交归一系。都是正交归一化的，即组成正交归一系。因为因为 f f2 2-f(f+1)/2=f(f-1)/2 0-f(f+1)/2=f(f-1)/2 0，所以，方程个数少于待定系数所以，方程个数少于待定系数 A Ajiji 的个数，因而，我们的个数，因而，我们有多种可能来确定这有多种可能来确定这 f f 2 2 个系数使上式成立。个系数使上式成立。f f 个新函个新函数数njnj 的确是算符的确是算符 F F 对应于本征值对应于本征值 的正交归一化的正交归一化的本征函数。的本征函数。（1 1）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易

14、的力学）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学 量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。例例 1 1：三维空间中自由粒子，完全确定其三维空间中自由粒子，完全确定其状态需要三个两两对易的力学量：状态需要三个两两对易的力学量：例例 2 2：氢原子，完全确定其状态也需氢原子，完全确定其状态也需要三个两两对易的力学量：要三个两两对易的力学量：例例 3 3：一维谐振子，只需要一个力学一维谐振子，只需要一个力学量就可完全确定其状态：量就可完全确定其状态：（2 2）力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度数相同。）力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度数相同。（3 3）由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体系态空间的）由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体系态空间的一组完备的本征函数，即体系的任何状态均可用它展开。一组完备的本征函数，即体系的任何状态均可用它展开。