计算机图形学第六章.ppt

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1、第六章第六章 曲线和曲面曲线和曲面6.1 6.1 几何造型技术几何造型技术6.2 6.2 参数曲线和曲面参数曲线和曲面6.3 Bezier6.3 Bezier曲线与曲面曲线与曲面6.4 B6.4 B样条曲线和曲面样条曲线和曲面6.1 6.1 几何造型技术几何造型技术n n几何造型技术几何造型技术几何造型技术几何造型技术是一项研究在计算机中，如何表达是一项研究在计算机中，如何表达物体模型形状的技术。物体模型形状的技术。n n描述物体的三维模型有三种描述物体的三维模型有三种:线框模型、曲面模型和实体模型线框模型、曲面模型和实体模型线框模型、曲面模型和实体模型线框模型、曲面模型和实体模型。1.1.线

2、框模型线框模型用顶点和棱边来表示用顶点和棱边来表示物物体。体。（1 1）由于没有面的信息，它不能表示表面含有曲面的）由于没有面的信息，它不能表示表面含有曲面的物物体；体；（2 2）它不能明确地定义给定点与）它不能明确地定义给定点与物物体之间的关系（点在体之间的关系（点在物物体内体内部、外部或表面上）。部、外部或表面上）。2.2.表面模型用面的集合来表示表面模型用面的集合来表示物物体，而用环来定义面体，而用环来定义面的边界。的边界。（1 1）表面模型能够满足面面求交、线面消隐、明暗色彩图、数）表面模型能够满足面面求交、线面消隐、明暗色彩图、数控加工等需要。控加工等需要。（2 2）但在该模型中，只

3、有一张张面的信息，物体究竟存在于表）但在该模型中，只有一张张面的信息，物体究竟存在于表面的哪一侧，并没有给出明确的定义，无法计算和分析物体面的哪一侧，并没有给出明确的定义，无法计算和分析物体的整体性质。如物体的表面积、体积、重心等。的整体性质。如物体的表面积、体积、重心等。（3 3）也不能将这个物体作为一个整体去考察它与其它物体相互）也不能将这个物体作为一个整体去考察它与其它物体相互关联的性质，如是否相交等。关联的性质，如是否相交等。6.1 几何造型技术几何造型技术3.3.实体模型能完整表示物体的所有形状信息，可以无实体模型能完整表示物体的所有形状信息，可以无歧义地确定一个点是在物体外部、内部

4、或表面上。是歧义地确定一个点是在物体外部、内部或表面上。是最高级的模型。这种模型能够进一步满足物性计算、最高级的模型。这种模型能够进一步满足物性计算、有限元分析等应用的要求。有限元分析等应用的要求。4.4.三维表面模型表示三维物体的信息并不完整，但它三维表面模型表示三维物体的信息并不完整，但它能够表达复杂的雕刻曲面，在几何造型中具有重要的能够表达复杂的雕刻曲面，在几何造型中具有重要的地位，对于支持曲面的三维实体模型，表面模型是它地位，对于支持曲面的三维实体模型，表面模型是它的基础。的基础。6.1 几何造型技术几何造型技术n n几何造型的历史n n曲面造型：曲面造型：6060年代，法国雷诺汽车公

5、司、年代，法国雷诺汽车公司、Pierre Pierre B Bzierzier、汽车外形设计的汽车外形设计的UNISURFUNISURF系统。系统。n n实体造型：实体造型：19731973英国剑桥大学英国剑桥大学CADCAD小组的小组的BuildBuild系统、美国罗彻斯特大学的系统、美国罗彻斯特大学的PADL-1PADL-1系统等。系统等。n n独立发展起来，又合二为一。独立发展起来，又合二为一。n n主流：基于线框、曲面、实体、特征统一表示主流：基于线框、曲面、实体、特征统一表示的造型设计系统的造型设计系统6.1 几何造型技术几何造型技术6.2 6.2 参数曲线和曲面参数曲线和曲面n n

6、6.2.1 曲线曲面参数表示曲线曲面参数表示n n显式表示显式表示:y=f:y=f（x x）n n隐式表示隐式表示:f:f（x x，y y）=0=0n n参数表示参数表示:P(tP(t)=x(t),y(t),z(t)=x(t),y(t),z(t)n显式或隐式表示存在下述问题：显式或隐式表示存在下述问题：（1）与坐标轴相关；（2）会出现斜率为无穷大的情形(如垂线)；（3)不便于计算机编程。n n参数表示参数表示:曲线上任一点的坐标均表示成给定参数的函曲线上任一点的坐标均表示成给定参数的函数。假定用数。假定用t t表示参数，平面曲线上任一点表示参数，平面曲线上任一点P P可表示为：可表示为：n n

7、空间曲线上任一三维点空间曲线上任一三维点P P可表示为：可表示为：6.2 6.2 参数曲线和曲面参数曲线和曲面参数表示例子：直线 圆参数表示的优点：参数表示的优点：（1 1）以满足几何不变性的要求。）以满足几何不变性的要求。（2 2）有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。）有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。（3 3）对曲线、曲面进行变换，可对其参数方程直接进行几何）对曲线、曲面进行变换，可对其参数方程直接进行几何变换。变换。（4 4）便于处理斜率为无穷大的情形，不会因此而中断计算。）便于处理斜率为无穷大的情形，不会因此而中断计算。（5 5）便于用户把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间去。）

8、便于用户把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间去。（6 6）规格化的参数变量）规格化的参数变量t0,1t0,1，使其相应的几何分量是有，使其相应的几何分量是有界的，而不必用另外的参数去定义边界。界的，而不必用另外的参数去定义边界。（7 7）易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算。）易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算。6.2 参数曲线和曲面参数曲线和曲面6.2.2 6.2.2 6.2.2 6.2.2 位置矢量、切矢量、法矢量、曲率和挠率位置矢量、切矢量、法矢量、曲率和挠率位置矢量、切矢量、法矢量、曲率和挠率位置矢量、切矢量、法矢量、曲率和挠率n n曲线上任一点的曲线上任一点的位置矢量位置矢

9、量可表示为：可表示为：P(tP(t)=x(t),)=x(t),y(t),z(t)y(t),z(t)；6.2 参数曲线和曲面参数曲线和曲面n n切向量切向量(切矢量切矢量)n n选择弧长选择弧长s s作为参数，则作为参数，则 是单位切矢量是单位切矢量n n根据弧长微分公式有：根据弧长微分公式有：n n于是有于是有 ，即为单位矢量，即为单位矢量6.2 参数曲线和曲面参数曲线和曲面n n法矢量法矢量n n与与 平行的法矢量称为曲线在该点的平行的法矢量称为曲线在该点的主法矢量主法矢量主法矢量主法矢量N N N Nn n矢量积矢量积 是第三个单位矢量，它垂直于是第三个单位矢量，它垂直于T T和和N N。

10、把平行于矢量把平行于矢量B B的法矢量称为曲线的的法矢量称为曲线的副法矢量。副法矢量。副法矢量。副法矢量。n n我们可以推导出：我们可以推导出：6.2 参数曲线和曲面参数曲线和曲面n nT(T(切切矢矢量量)、N(N(主主法法矢矢量量)和和B(B(副副法法矢矢量量)构构成了曲线上的活动坐标架成了曲线上的活动坐标架n nN N、B B构构成成的的平平面面称称为为法法平平面面，N N、T T构构成成的的平平面面称称为为密密切切平平面面，B B、T T构构成成的的平平面面称称为为从从切切平面。平面。6.2 参数曲线和曲面参数曲线和曲面n n曲率和挠率曲率和挠率即即称为称为曲率曲率曲率曲率，其几何意义

11、是曲线的单位切矢对弧长的转动率。曲，其几何意义是曲线的单位切矢对弧长的转动率。曲率率k k的倒数的倒数 称为称为曲率半径曲率半径曲率半径曲率半径。挠率挠率挠率挠率 的绝对值等于副法线方向的绝对值等于副法线方向(或密切平面或密切平面)对于弧长的转对于弧长的转动率动率.6.2 参数曲线和曲面参数曲线和曲面.对于一般参数对于一般参数t t，我们可以我们可以推导出曲率和挠率的计算推导出曲率和挠率的计算公式如下：公式如下：6.2 参数曲线和曲面参数曲线和曲面6.2.3 6.2.3 插值、拟合、逼近和光顺插值、拟合、逼近和光顺n n给定一组有序的数据点给定一组有序的数据点P Pi i，i=0,1,i=0,

12、1,n,n，构造一条曲线构造一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数据点进行顺序通过这些数据点，称为对这些数据点进行插值插值插值插值，所构，所构造的曲线称为插值曲线。造的曲线称为插值曲线。6.2 参数曲线和曲面参数曲线和曲面n n 线性插值：假设给定函数线性插值：假设给定函数f(xf(x)在两个不同点在两个不同点x1x1和和x2x2的值，的值，用一个线形函数：用一个线形函数：y=y=ax+bax+b，近似代替，称为的线性插值函数。，近似代替，称为的线性插值函数。n n 抛物线插值抛物线插值:已知在三个互异点已知在三个互异点 的函数值为的函数值为要求构造一个函数要求构造一个函数使抛物线使抛物线

13、在结点在结点 处与处与 在在 处的值相等处的值相等n n拟合：拟合：拟合：拟合：构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点(但但未必通过这些点未必通过这些点)，所构造的曲线为，所构造的曲线为拟合拟合拟合拟合曲线。曲线。n n在计算数学中，逼近通常指用一些性质较好的函数近似表示一在计算数学中，逼近通常指用一些性质较好的函数近似表示一些性质不好的函数。在计算机图形学中，逼近继承了这方面的些性质不好的函数。在计算机图形学中，逼近继承了这方面的含义，因此插值和拟合都可以视为逼近。含义，因此插值和拟合都可以视为逼近。6.2 参数曲线和曲面参数曲线和曲面下

14、图是线性插值和抛物线插值下图是线性插值和抛物线插值n n光顺光顺(Firing)(Firing)指曲线的拐点不能太多。对平面曲指曲线的拐点不能太多。对平面曲线而言，相对光顺的条件是：线而言，相对光顺的条件是：n na.a.具有二阶几何连续性具有二阶几何连续性(G(G2 2)；n nb.b.不存在多余拐点和奇异点；不存在多余拐点和奇异点；n nc.c.曲率变化较小。曲率变化较小。6.2 参数曲线和曲面参数曲线和曲面6.2.4 6.2.4 参数化参数化n n过过三三点点P P0 0、P P1 1和和P P2 2构构造造参参数数表表示示的的插插值值多多项项式式可可以以有有无无数数条条，这这是是因因为

15、为对对应应地地参参数数t,t,在在0,0,11区区间间中中有有无无数数种种取取法法。即即P P0 0、P P1 1和和P P2 2可对应不同的参数值，比如可对应不同的参数值，比如其中每个参数值称为节点其中每个参数值称为节点(knot)(knot)。6.2 参数曲线和曲面参数曲线和曲面n n对于一条插值曲线，型值点对于一条插值曲线，型值点 与其参数域与其参数域 内的内的节点之间有一种对应关系。对于一组有序的型值点，所确定一种节点之间有一种对应关系。对于一组有序的型值点，所确定一种参数分割，称之这组型值点的参数化。参数分割，称之这组型值点的参数化。n n参数化常用方法有：参数化常用方法有：n n均

16、匀参数化均匀参数化(等距参数化等距参数化)n n节点在参数轴上呈等距分布，节点在参数轴上呈等距分布，+正常数。正常数。n n累加弦长参数化累加弦长参数化 这种参数法如实反映了型值点按弦长的分布情况，能这种参数法如实反映了型值点按弦长的分布情况，能够克服型值点按弦长分布不均匀的情况下采用均匀参够克服型值点按弦长分布不均匀的情况下采用均匀参数化所出现的问题。数化所出现的问题。6.2 参数曲线和曲面参数曲线和曲面n n向心参数化法向心参数化法 向向心心参参数数化化法法假假设设在在一一段段曲曲线线弧弧上上的的向向心心力力与与曲曲线线切切矢矢从从该该弧弧段段始始端端至至末末端端的的转转角角成成正正比比，

17、加加上上一一些些简简化化假假设设，得得到到向向心心参参数数化化法法。此此法法尤其适用于非均匀型值点分布。尤其适用于非均匀型值点分布。6.2 参数曲线和曲面参数曲线和曲面n n修正弦长参数化法修正弦长参数化法 弦长修正系数弦长修正系数KiKi=1=1。从公式可知，与前后邻弦长及相比，从公式可知，与前后邻弦长及相比，若越小，且与前后邻弦边夹角的外角若越小，且与前后邻弦边夹角的外角q qi-1i-1和和q q i i(不超过时不超过时)越大，越大，则修正系数就则修正系数就K K i i 就越大。就越大。6.2 参数曲线和曲面参数曲线和曲面参数区间的规格化参数区间的规格化我们通常将参数区间我们通常将参

18、数区间 规格化为规格化为0,10,1，只需对参数化区间作如下处理：只需对参数化区间作如下处理：6.2 参数曲线和曲面参数曲线和曲面6.2.5 6.2.5 6.2.5 6.2.5 参数曲线的代数和几何形式参数曲线的代数和几何形式参数曲线的代数和几何形式参数曲线的代数和几何形式我们以三次参数曲线为例，讨论参数曲线的代数和几何形式。n n代数形式代数形式n n上述代数式写成矢量式是上述代数式写成矢量式是6.2 参数曲线和曲面参数曲线和曲面n n几何形式n n对三次参数曲线，若用其端点位矢对三次参数曲线，若用其端点位矢P(0)P(0)、P(1)P(1)和切矢和切矢P P(0)(0)、P P(1)(1)

19、描述。描述。n n将将P(0)P(0)、P(1)P(1)、P P(0)(0)和和P P(1)(1)简记为简记为P P0 0、P P1 1、P P 0 0和和P P 1 1，代代入入 得得6.2 参数曲线和曲面参数曲线和曲面t0,1t0,1 n n令：令：可将其简化为：可将其简化为：上式是上式是三次三次Hermite(FergusonHermite(Ferguson)曲线的曲线的几何形式几何形式几何形式几何形式，几何系数几何系数几何系数几何系数是是P P0 0、P P1 1、P P 0 0和和P P 1 1。称为称为调和函数调和函数调和函数调和函数（或混合函数）（或混合函数）6.2 参数曲线和曲

20、面参数曲线和曲面 6.2 6.2 参数曲线和曲面参数曲线和曲面n n曲线间连接的光滑度的度量有两种：n n函数的可微性：组合参数曲线在连接处具有直函数的可微性：组合参数曲线在连接处具有直到到n n阶连续导矢，即阶连续导矢，即n n阶连续可微，这类光滑度阶连续可微，这类光滑度称之为称之为 或或n n阶参数连续性。阶参数连续性。n n几何连续性：组合曲线在连接处满足不同于几何连续性：组合曲线在连接处满足不同于 的某一组约束条件，称为具有的某一组约束条件，称为具有n n阶几何连续性，阶几何连续性，简记为简记为 。6.2 6.2 参数曲线和曲面参数曲线和曲面6.2 参数曲线和曲面参数曲线和曲面n n一

21、张定义在矩形域上的参数曲面可以表示为 可记为示示意意图图 6.2 6.2 参数曲线和曲面参数曲线和曲面参数曲面的几个基本概念参数曲面的几个基本概念 1.曲面上的点：将给定的参数值 代入参数方程，可得曲面上的点 2.曲面上一点的切向量(切矢)：3.曲面上一点的法向量(法矢)4.角点 5.边界线：参数曲面的几个基本概念参数曲面的几个基本概念 由于几何外形设计的要求越来越高,传统的曲线曲面表示方法,已不能满足用户的需求。1962年，法国雷诺汽车公司的P.E.Bezier构造了一种以逼近为基础的参数曲线和曲面的设计方法，并用这种方法完成了一种称为UNISURF 的曲线和曲面设计系统，1972年，该系统

22、被投入了应用。6.3 Bezier6.3 Bezier曲线与曲面曲线与曲面n nBezier方法将函数逼近同几何表示结合 起来，使得设计师在计算机上就象使用作图工具一样得心应手。n n剑桥的剑桥的 Forest Forest n n常庚哲：中国的常庚哲：中国的BezierBezier，曲面凸性，曲面凸性n n梁友栋：几何连续的浙大学派，梁叶郑马梁友栋：几何连续的浙大学派，梁叶郑马n n刘鼎元：实用的几何连续条件刘鼎元：实用的几何连续条件6.3 Bezier6.3 Bezier曲线与曲面曲线与曲面6.3 Bezier曲线与曲面曲线与曲面1定义 给定空间n+1个点的位置矢量Pi（i=0，1，2，n

23、），则Bezier曲线可定义为：其其中中，PiPi构构成成该该BezierBezier曲曲线线的的特特征征多多边边形形，Bi,n(tBi,n(t)是是n n次次BernsteinBernstein基函数：基函数：0 0=1,0!=1=1,0!=12Betnstein基函数的性质 （1）正性 （2）端点性质 6.3 Bezier6.3 Bezier曲线与曲面曲线与曲面（3 3）权性）权性 由二项式定理可知：由二项式定理可知：（4）对称性 因为6.3 Bezier6.3 Bezier曲线与曲面曲线与曲面(5）递推性。即高一次的Bernstein基函数可由两个低一次的Bernstein调和函数线性组

24、合而成。因为，6.3 Bezier6.3 Bezier曲线与曲面曲线与曲面（6）导函数 （7）最大值 在 处达到最大值。6.3 Bezier6.3 Bezier曲线与曲面曲线与曲面（8）升阶公式（9）积分 6.3 Bezier6.3 Bezier曲线与曲面曲线与曲面3Bezier曲线的性质（1）端点性质 a）曲线端点位置矢量 由Bernstein基函数的端点性质可以推得，当t=0时，P(0)=P0；当t=1时，P(1)=Pn。由此可见，Bezier曲线的起点、终点与相应的特征多边形的起点、终点重合。6.3 Bezier6.3 Bezier曲线与曲面曲线与曲面 b)b)切矢量切矢量 因为，因为，

25、所以当所以当t=0t=0时，时，P(0)=nP(0)=n(P(P1 1-P-P0 0)，当，当t=1t=1时，时，P(1)=n(PP(1)=n(Pn n-P-Pn-1n-1)，这说明这说明BezierBezier曲线的起点和终点处的切线方向和特征多曲线的起点和终点处的切线方向和特征多边形的第一条边及最后一条边的走向一致。边形的第一条边及最后一条边的走向一致。6.3 Bezier6.3 Bezier曲线与曲面曲线与曲面c.）二阶导矢 当t=0时，当t=1时，上式表明：2阶导矢只与相邻的3个顶点有关，事实上，r阶导矢只与（r+1）个相邻点有关，与更远点无关。将 、及 、代入曲率公式 ，可以得到Be

26、zier曲线在端点的曲率分别为：6.3 Bezier6.3 Bezier曲线与曲面曲线与曲面d.）k阶导函数的差分表示n次Bezier曲线的k阶导数可用差分公式为：其中高阶向前差分矢量由低阶向前差分矢量递推地定义：例如：6.3 Bezier6.3 Bezier曲线与曲面曲线与曲面（2）对称性。由控制顶点 构造出的新Bezier曲线，与原Bezier曲线形状相同，走向相反。因为：这个性质说明Bezier曲线在起点处有什么几何性质，在终点处也有相同的性质。6.3 Bezier6.3 Bezier曲线与曲面曲线与曲面（3）凸包性由于 ，且 ，这一结果说明当t在0，1区间变化时，对某一个t值，P(t)

27、是特征多边形各顶点的加权平均，权因子依次是 。在几何图形上，意味着Bezier曲线P(t)在 中各点是控制点Pi的凸线性组合，即曲线落在Pi构成的凸包之中，如图所示。6.3 Bezier6.3 Bezier曲线与曲面曲线与曲面（4）几何不变性。这是指某些几何特性不随坐标变换而变化的 特 性。Bezier曲 线 位 置 与 形 状 与 其 特 征 多 边 形 顶 点 的 位置有关，它不依赖坐标系的选择。（5 5）变差缩减性。）变差缩减性。若若BezierBezier曲线的特征多边形曲线的特征多边形 是一个平面图形，是一个平面图形，则平面内任意直线与则平面内任意直线与C(tC(t)的交点个数不多于

28、该直线与其特征多的交点个数不多于该直线与其特征多边形的交点个数，这一性质叫变差缩减性质。此性质反映了边形的交点个数，这一性质叫变差缩减性质。此性质反映了BezierBezier曲线比其特征多边形的波动还小，也就是说曲线比其特征多边形的波动还小，也就是说BezierBezier曲线曲线比特征多边形的折线更光顺。比特征多边形的折线更光顺。6.3 Bezier6.3 Bezier曲线与曲面曲线与曲面（6）仿射不变性对于任意的仿射变换A：即在仿射变换下，的形式不变。6.3 Bezier6.3 Bezier曲线与曲面曲线与曲面Bezier曲线的递推算法 计算Bezier曲线上的点，可用Bezier曲线方

29、程，但使用de Casteljau提出的递推算法则要简单的多。如下图所示，设 、是一条抛物线上顺序三个不同的点。过 和 点的两切线交于 点,在 点的切线交 和 于 和 ，则如下比例成立：这是所谓抛物线的三切线定理。(示意图见下页)Bezier曲线的递推算法当P0，P2固定，引入参数t，令上述比值为t:(1-t)，即有：t从0变到1，第一、二式就分别表示控制二边形的第一、二条边，它们是两条一次Bezier曲线。将一、二式代入第三式得：当t从0变到1时，它表示了由三顶点P0、P1、P2三点定义的一条二次Bezier曲线。并且表明：这二次Bezier曲线P20可以定义为分别由前两个顶点（P0，P1）

30、和后两个顶点（P1，P2）决定的一次Bezier曲线的线性组合。依次类推，由四个控制点定Bezier曲线的递推算法义的三次Bezier曲线P30可被定义为分别由(P0，P1，P2)和(P1，P2，P3)确定的二条二次Bezier曲线的线性组合，由(n+1)个控制点Pi(i=0,1,.,n)定义的n次Bezier曲线Pn0可被定义为分别由前、后n个控制点定义的两条(n-1)次Bezier曲线 P0n-1与P1n-1的线性组合：由此得到Bezier曲线的递推计算公式：这便是著名的de Casteljau算法。用这一递推公式，在给定参数下，求Bezier曲线上一点P(t)非常有效。上式中：是定义Be

31、zierBezier曲线的递推算法曲线的控制点，即为曲线 上具有参数t的点。de Casteljau算法稳定可靠，直观简便，可以编出十分简捷的程序，是计算Bezier曲线的基本算法和标准算法。当n=3时，de casteljau算法递推出的Pki呈直角三角形，对应结果如图所示。从左向右递推，最右边点P30即为曲线上的点。Bezier曲线的递推算法这一算法可用简单的几何作图来实现。给定参数 ，就把定义域分成长度为 的两段。依次对原始控制多边形每一边执行同样的定比分割，所得分点就是由第一级递推生成的中间顶点 ,对这些中间顶点构成的控制多边形再执行同样的定比分割，得第二级中间顶点 。重复进行下去，直

32、到n级递推得到一个中间顶点 即为所求曲线上的点 ，如图所示。Bezier曲线的递推算法 Bezier曲线的拼接 几何设计中，一条Bezier曲线往往难以描述复杂的曲线形状。这是由于增加由于特征多边形的顶点数，会引起Bezier曲线次数的提高，而高次多项式又会带来计算上的困难，实际使用中，一般不超过10次。所以有时采用分段设计，然后将各段曲线相互连接起来，并在接合处保持一定的连续条件。下面讨论两段Bezier曲线达到不同阶几何连续的条件。给定两条Bezier曲线P(t)和Q(t)，相应控制点为Pi(i=0,1,.,n)和Qj(j=0,1,.,m)，且令 ，如图所示，我们现在把两条曲线连接起来。图

33、3.1.13 Bezier曲线的拼接Bezier曲线的拼接（1）要使它们达到G0连续的充要条件是：Pn=Q0；（2）要使它们达到G1连续的充要条件是：Pn-1，Pn=Q，Q1三点共线，即：（3）要使它们达到G2连续的充要条件是：在G1连续的条件下，并满足方程 。我们将 、和 ，、代入，并整理，可以得到：选择 和 的值，可以利用该式确定曲线段 的特征多边形顶点 ，而顶点 、已被 连续条件所确定。要达到 连续的话，只剩下顶点 可以自由选取。Bezier曲线的拼接如果从上式的两边都减去 ，则等式右边可以表示为 和 的 线性组合：这表明 、和 五点共面，事实上，在接合点两条曲线段的曲率相等，主法线方向

34、一致，我们还可以断定：位于直线 的同一侧。Bezier曲线的拼接Bezier曲线的升阶与降阶1Bezier曲线的升阶 所谓升阶是指保持Bezier曲线的形状与定向不变，增加定义它的控制顶点数，也即是提高该Bezier曲线的次数。增加了控制顶点数，不仅能增加了对曲线进行形状控制的灵活性，还在构造曲面方面有着重要的应用。对于一些由曲线生成曲面的算法，要求那些曲线必须是同次的。应用升阶的方法，我们可以把低于最高次数的的曲线提升到最高次数，而获得同一的次数。曲线升阶后，原控制顶点会发生变化。下面，我们来计算曲线提升一阶后的新的控制顶点。设给定原始控制顶点 ，定义了一条n次Bezier曲线：增加一个顶点

35、后，仍定义同一条曲线的新控制顶点为 ，则有：对上式左边乘以 ，得到：比较等式两边 项的系数，得到：化简即得：其中 。Bezier曲线的升阶与降阶此式说明：新的控制顶点 是以参数值 按分段线性插值从原始特征多边形得出的。升阶后的新的特征多边形在原始特征多边形的凸包内特征多边形更靠近曲线。三次Bezier曲线的升阶实例如图所示。Bezier曲线的升阶与降阶2Bezier曲线的降阶 降阶是升阶的逆过程。给定一条由原始控制顶点 定义的n次Bezier曲线，要求找到一条由新控制顶点 定义的n-1次Bezier曲线来逼近原始曲线。假定 是由 升阶得到，则由升阶公式有：从这个方程可以导出两个递推公式：和Be

36、zier曲线的升阶与降阶n n两种降阶格式两种降阶格式n nForrest Forrest 格式格式n nFarinFarin格式格式Bezier曲线的升阶与降阶Bezier曲面 基于基于BezierBezier曲线的讨论，我们可以方便地可以给曲线的讨论，我们可以方便地可以给出出BezierBezier曲面的定义和性质，曲面的定义和性质，BezierBezier曲线的一些曲线的一些算法也可以很容易扩展到算法也可以很容易扩展到BezierBezier曲面的情况。曲面的情况。1定义设 为 个空间点列，则 次张量积形式的Bezier曲面定义为：其中 ，是Bernstein基函数。依次用线段连接点列中

37、相邻两点所形成的空间网格，称之为特征网格。Bezier曲面Bezier曲面的矩阵表示式是：在一般实际应用中，不大于4。Bezier曲面 2性质 除变差减小性质外，Bezier曲线的其它性质可推广到Bezier曲面：（1）Bezier曲面特征网格的四个角点正好是Bezier曲面的四个角点，即 ，。（2）Bezier曲面特征网格最外一圈顶点定义Bezier曲面的四条边界；Bezier曲面边界的跨界切矢只与定义该边界的顶点及相邻一排顶点有关，且 、和 （图中打上斜线的三角形）；其跨界二阶导矢只与定义该边界的及相邻两排顶点有关；。Bezier曲面 （3）几何不变性。（4）对称性。（5）凸包性。Bezi

38、er曲面3Bezier曲面片的拼接如图所示，设两张mn次Bezier曲面片分别由控制顶点 和 定义。Bezier曲面片的拼接如 果 要 求 两 曲 面 片 达 到 连 续，则 它 们 有 公 共 的 边 界，即：（6.1.0）于是有 如果又要求沿该公共边界达到 连续，则两曲面片在该边界上有公共的切平面，因此曲面的法向应当是跨界连续的，即：（6.1.1）Bezier曲面片的拼接下面来研究满足这个方程的两种方法。（1）鉴于（6.1.00）式，（6.1.1）式最简单的解是：（6.1.2）这相当于要求合成曲面上v为常数的所有曲线，在跨界时有切向的连续性。为了保证等式两边关于v的多项式次数相同，必须取

39、（一个正常数）。于是有：即 Bezier曲面片的拼接（2 2）由于（）由于（6.1.06.1.0）式使得两张曲面片在边界达到式使得两张曲面片在边界达到 连续时，只涉及曲面连续时，只涉及曲面 和和 的两列控制顶的两列控制顶点，比较容易控制。用这种方法匹配合成的曲面点，比较容易控制。用这种方法匹配合成的曲面的边界，的边界，u u向和向和v v向是光滑连续的。实际上，该式向是光滑连续的。实际上，该式的限制是苛刻的。的限制是苛刻的。Bezier曲面片的拼接 为了构造合成曲面时有更大的灵活性，Bezier在1972年放弃把（6.1.2）式作为 连续的条件，而以 （6.1.3）来满足（6.1.1）式，这仅

40、仅要求 位于 和 所在的同一个平面内，也就是曲面片 边界上相应点处的切平面，这样就有了大得多的余地，但跨界切矢在跨越曲面片的边界时就不再连续了。同样，为了保证等式两边关于v的多项式次数相同，须为任意正常数，是v的任意线性函数。Bezier曲面片的拼接4递推(de Casteljau)算法 Bezier曲线的递推(de Casteljau)算法，可以推广到Bezier曲面的情形。若给定Bezier曲面特征网格的控制顶点 和一对参数值 ，则：(6.1.4)Bezier曲面片的拼接其中其中 (6.1.5)(6.1.5)或或 (6.1.6)(6.1.6)Bezier曲面片的拼接 (6.1.5)与(6.

41、1.6)中的下标 的变化范围已在(6.1.4)式中给出。上面给出了确定曲面上一点的两种方案。当按(6.1.5)式方案执行时，先以u参数值对控制网格u向的n+1个多边形执行曲线de Casteljau算法，m级递推后，得到沿v向由n+1个顶点 构成的中间多边形。再以v参数值对它执行曲线的de Casteljau算法，n级递推以后，得到一个 ，即所求曲面上的点Bezier曲面片的拼接 也可以按(6.1.6)式方案执行，先以v参数值对控制网格沿v向的m+1个多边形执行n级递推，得沿u向由m+1个顶点 构成的中间多边形。再以u参数值对它执行n级递推，得所求点 。Bezier曲面片的拼接 之所以有这样的

42、算法，是因为之所以有这样的算法，是因为Bezier曲面片的拼接6.4 B6.4 B样条曲线与曲面样条曲线与曲面n nBezier曲线或曲面有许多优越性，但有两点不足：n nBezierBezier曲线或曲面不能作局部修改；曲线或曲面不能作局部修改；n nBezierBezier曲线或曲面的拼接比较复杂曲线或曲面的拼接比较复杂n n1972年，Gordon、Riesenfeld等人发展了1946年Schoenberg提出的样条方法,提出了B样条方法，在保留Bezier方法全部优点的同时，克服了Bezier方法的弱点。6.4 B6.4 B样条曲线与曲面样条曲线与曲面n n如何理解B-样条？n n样

43、条插值，三对角方程样条插值，三对角方程 (函数、参数函数、参数)n n给定分划，所有的给定分划，所有的B B样条的全体组成一个线性样条的全体组成一个线性空间，线性空间有基函数，这就是空间，线性空间有基函数，这就是B B样条基函样条基函数数n n由由B B样条基函数代替样条基函数代替BezierBezier曲线中底曲线中底BernsteinBernstein基基函数，即函数，即B B样条曲线。样条曲线。6.4 B6.4 B样条曲线与曲面样条曲线与曲面B样条的递推定义和性质样条的递推定义和性质n nB B样条曲线的方程定义为：样条曲线的方程定义为：是控制多边形的顶点是控制多边形的顶点 (i=0,1

44、,.,n)(i=0,1,.,n)称为称为k k阶（阶（k-1k-1次次)B)B样条基函样条基函数数 B B样条基函数是一个称为节点矢量的非递减的参数样条基函数是一个称为节点矢量的非递减的参数t t的序列所决定的的序列所决定的k k阶分段多项式，也即为阶分段多项式，也即为k k阶（阶（k-1k-1次次)多项式样条。多项式样条。n nde Boor-Cox递推定义 并约定并约定 几个问题几个问题B B样条的递推定义和性质样条的递推定义和性质2性质n n局部支承性。局部支承性。n n权性。权性。n n微分公式。微分公式。B B样条的递推定义和性质样条的递推定义和性质n nB样条曲线类型的划分n n曲

45、线按其首末端点是否重合，区分为闭曲线曲线按其首末端点是否重合，区分为闭曲线和开曲线。和开曲线。n nB B样条曲线按其节点矢量中节点的分布情况，样条曲线按其节点矢量中节点的分布情况，可划分为四种类型。可划分为四种类型。6.4 B6.4 B样条曲线与曲面样条曲线与曲面n n均匀均匀B B样条曲线。样条曲线。节点矢量中节点为沿参数节点矢量中节点为沿参数 轴均匀或等距分布，所有轴均匀或等距分布，所有 节点区间长度为常数。这样的节点矢量定义了均匀的节点区间长度为常数。这样的节点矢量定义了均匀的B B样条基。样条基。6.4 B6.4 B样条曲线与曲面样条曲线与曲面n n准均匀准均匀B B样条样条 与均匀

46、与均匀B B样条曲线的差别在于两端节点具有重复度样条曲线的差别在于两端节点具有重复度k k，这样的节点矢量定义了准均匀的这样的节点矢量定义了准均匀的B B样条基。均匀样条基。均匀B B样样条曲线没有保留条曲线没有保留BezierBezier曲线端点的几何性质，即样条曲线端点的几何性质，即样条曲线的首末端点不再是控制多边形的首末端点。采用曲线的首末端点不再是控制多边形的首末端点。采用准均匀的准均匀的B B样条曲线解决样条曲线解决了了这个问题这个问题6.4 B6.4 B样条曲线与曲面样条曲线与曲面n n分段分段BezierBezier曲线曲线 节点矢量中两端节点具有重复度节点矢量中两端节点具有重复

47、度k k，所有内节点重复所有内节点重复度为度为k-1k-1，这样的节点矢量定义了分段的这样的节点矢量定义了分段的BernsteinBernstein基。基。6.4 B6.4 B样条曲线与曲面样条曲线与曲面 B B样条曲线用分段样条曲线用分段BezierBezier曲线表示后，各曲线段就具曲线表示后，各曲线段就具有了相对的独立性，移动曲线段内的一个控制顶点有了相对的独立性，移动曲线段内的一个控制顶点只影响该曲线段的形状，对其它曲线段的形状没有只影响该曲线段的形状，对其它曲线段的形状没有影响。并且影响。并且BezierBezier曲线一整套简单有效的算法都可以曲线一整套简单有效的算法都可以原封不动

48、地采用。缺点是增加了定义曲线的数据，原封不动地采用。缺点是增加了定义曲线的数据，控制顶点数及节点数。控制顶点数及节点数。6.4 B6.4 B样条曲线与曲面样条曲线与曲面n n非均匀非均匀B B样条曲线样条曲线 任意分布的节点矢量任意分布的节点矢量 ，只只要要在在数数学学上上成成立立（节节点点序序列列非非递递减减，两两端端节节点点重重复复度度k k，内内节节点点重重复复度度k-1k-1）都都可可选选取取。这这样样的的节节点点矢矢量量定义了非均匀定义了非均匀B B样条基。样条基。6.4 B6.4 B样条曲线与曲面样条曲线与曲面作业作业n n用程序实现三次用程序实现三次BezierBezier曲线算法。曲线算法。