微分方程模型1(基础知识)ppt课件.ppt

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1、为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能2010年全国大学生数学建模竞赛暑期强化培训微分方程模型主讲人：徐世英主讲人：徐世英为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能 当我们描述实际对象的某些特性随时间（空间）而演变的过程、分析它的变化规律、预测它的未来形态、研究它的控制手段时。通常要建立对象的动态模型。在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较为容易时，可用建立微分方程模型微分方程模型的方法来研究该问题

2、。在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分方程模型。微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到直接关系，就得求解微分方程。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能微分方程的实质：实际对象的某些特性随时间（空间）而演变的过程，是一个动态模型。作用：1、分析它的变化规律；2、预测它的未来形态；3、研究它的控制手段。与统计方法的区别：机理；事件发生的数量统计规律为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能建立

3、微分方程模型的方法（1）根据规律列方程 利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。（2）微元分析法 利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。-中央民族大学理学院中央民族大学理学院-为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能（3）模拟近似法 在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解

4、的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。-中央民族大学理学院中央民族大学理学院-为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能 根据函数及其变化率之间的关系确定函数根据函数及其变化率之间的关系确定函数常微分方程建模常微分方程建模 根据建模目的和问题分析作出简化假设根据建模目的和问题分析作出简化假设 按照内在规律或用类比法建立微分方程按照内在规律或用类比法建立微分方程求解常微分方程有三种方法：求解常微分方程有三种方法：1 1）求精确解；）求精确解；2 2）求数值解（近似解）；）求数值解（近似解）；3 3）定

5、性理论方法。）定性理论方法。-中央民族大学理学院中央民族大学理学院-为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能一截面积为常数A，高为H的水池内盛满了水，由池底一横截面积为B的小孔放水。设水从小孔流出的速度为 ，求在任一时刻的水面高度和将水放空所需的时间。通过解决此问题想到什么？通过解决此问题想到什么？例例1 流水问题流水问题为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能BA第一步列方程等量关系：水面1水面2设时刻 的水面高度为 时的水面高度为 时间由水面1 降到水

6、面2所失去的水量等于从小孔流出的水量。是水在 时间内从小孔流出保持水平前进时所经过的距离。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能初始条件可分离变量的方程。-中央民族大学理学院中央民族大学理学院-为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能第二步解方程：为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能水面高度与时间的函数关系水流空所需时间为（令 h=0）-中央民族大学理学院中央民族大学理学院-为深入

7、学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能例例2 2：古尸年代鉴定问题：古尸年代鉴定问题在巴基斯坦一个洞穴里，发现了具有古代尼安德在巴基斯坦一个洞穴里，发现了具有古代尼安德特人特征的人骨碎片，科学家把它带到实验室，作碳特人特征的人骨碎片，科学家把它带到实验室，作碳14年代测定，分析表明，与的比例仅仅是活年代测定，分析表明，与的比例仅仅是活组织内的组织内的6.24%，能否判断此人生活在多少年前？，能否判断此人生活在多少年前？背景背景年代测定方法是年代测定方法是1949年美国芝加哥大学利比年美国芝加哥大学利比（W.F.Libby）建立的

8、，是考古工作者研究断代的）建立的，是考古工作者研究断代的重要手段之一。重要手段之一。-中央民族大学理学院中央民族大学理学院-为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能宇宙线中子穿过大气层时撞击空气中的氮核，引起核反中子穿过大气层时撞击空气中的氮核，引起核反应而生成具有放射性的应而生成具有放射性的 。从古至今，碳。从古至今，碳 不断产不断产生，同时其本身又在不断的放出生，同时其本身又在不断的放出 射线而裂变为氮。射线而裂变为氮。大气中大气中 处于动态平衡状态，处于动态平衡状态，经过一系列交换过经过一系列交换过程进入活组织内，直到

9、在生物体内达到平衡浓度，即在程进入活组织内，直到在生物体内达到平衡浓度，即在活体中，的数量与稳定的的数量成定比，生物体活体中，的数量与稳定的的数量成定比，生物体死亡后，交换过程停止，放射性碳便按照死亡后，交换过程停止，放射性碳便按照放射性元素裂放射性元素裂变规律变规律衰减。衰减。基本原理基本原理从星际空间射到地球的射线从星际空间射到地球的射线-中央民族大学理学院中央民族大学理学院-为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能C14的蜕变规律的蜕变规律C14是一种由宇宙射线不断轰击大气层，使大气层产生中子，中子与氮气作用生成的具有

10、放射性的物质。这种放射性碳可氧化成二氧化碳，二氧化碳被植物所吸收，而植物又作为动物的食物，于是放射性碳被带到各种动植物体内。C14是放射性的，无论在空气中还是在生物体内他都在不断衰变，这种衰变规律我们可以求出来。通常假定其衰变速度与该时刻的存余量成正比。-中央民族大学理学院中央民族大学理学院-裂变速率与剩余量成正比。裂变速率与剩余量成正比。c14=1/8000为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能设在时刻t（年），生物体中C14的存量为x(t),生物体的死亡时间记为t0=0,此时C14含量为x0,由假设，初值问题的数学模型

11、为：已知：已知：c14=1/8000-中央民族大学理学院中央民族大学理学院-解为规律：规律：裂变速率与剩余量成正比。裂变速率与剩余量成正比。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能 1972年发掘长沙市东郊马王堆一号汉墓时，对其年发掘长沙市东郊马王堆一号汉墓时，对其棺外主要用以防潮吸水用的木炭分析了它含碳棺外主要用以防潮吸水用的木炭分析了它含碳-C14的的量约为大气中的量约为大气中的0.7757倍，采用该方法计算得倍，采用该方法计算得该墓距该墓距离今天有离今天有21302130年左右。通过历史文献考证，该古墓年左右。通过历史

12、文献考证，该古墓的年代为西汉早期，约在的年代为西汉早期，约在21002100年前，两者符合得很年前，两者符合得很好。好。-中央民族大学理学院中央民族大学理学院-为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能思考：如何求半衰期？代入得由由 c14=1/8000 可得碳可得碳14的半衰期为的半衰期为5568年-中央民族大学理学院中央民族大学理学院-为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能思考：假设已知思考：假设已知C14的半衰期，不知道物质中的半衰期，不知道物质中C

13、14的数量，可的数量，可以测出单位时间衰变放射出的以测出单位时间衰变放射出的C14分子数，如何确定生物体分子数，如何确定生物体的年龄？的年龄？由：可得：即：由于x(0),x(t)不便于测量，我们可把上式作如下修改.-中央民族大学理学院中央民族大学理学院-为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能将上式代入，可得：这样由上式可知，只要知道生物体在死亡时体内C14的衰变速度 和现在时刻t的衰变速度 ,就可以求得生物体的死亡时间了，在实际计算上，都假定现代生物体中C14的衰变常数与生物体死亡时代生物体中C14的衰变常数相同。-中央民

14、族大学理学院中央民族大学理学院-为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能马王堆一号墓年代确定的第二种方法 马王堆一号墓于1972年8月出土，其时测得出土的木炭标本的C14平均原子蜕变数为29.78/s,而新砍伐木头烧成的木炭中C14平均原子蜕变数为38.37/s,又知C14的半衰期为5568年，这样，我们可以把代入得年这样就估算出马王堆一号墓大约是在2000多年前的西汉时代。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能 任何生物体内都含有一定量的碳14。当生物

15、活着的时候，它不断和外界进行物质交换，所以生物体内碳14的含量和自然界中碳14的含量是相平衡的。可是，一旦生物死亡，就不再与外界进行物质交换，他们体内的碳14就不断减少，并且得不到任何补充。由于碳14是放射性碳，它的半衰期为5730年，所以每过5730年放射性碳原子数目就减少一半。自然界没有任何力量可以使这个过程减慢或加快，于是测定它在有机体残骸中的含量，就可以准确地确定生物体死亡的年龄。美国化学家李比，根据碳14的这一特性，创立了一种崭新的化学分析法放射性碳14断代法。由于这种方法应用广泛，准确无误，具有重大的科学价值，因此，他于1960年获得了诺贝尔化学奖。-中央民族大学理学院中央民族大学

16、理学院-为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能例例3 3 范范.梅格伦（梅格伦（Van MeegrenVan Meegren）伪造名画案）伪造名画案 第二次世界大战比利时解放后，荷兰保安机关开始搜捕纳粹分子的合作者，发现一名三流画家H.A.Van.Meegren曾将17世纪荷兰著名画家Jan.Vermeer的一批名贵油画盗卖给德寇，于1945年5月29日通敌罪逮捕了此人。Van.Meegren被捕后宣称他从未出卖过荷兰的利益，所有的油画都是自己伪造的，为了证实这一切，在狱中开始伪造Vermeer的画耶稣在学者中间。当他的工

17、作快完成时，又获悉他可能以伪造罪被判刑，于是拒绝将画老化，以免留下罪证。-中央民族大学理学院中央民族大学理学院-为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能 为了审理这一案件，法庭组织了一个由化学家、物理学家、艺术史学家等参加的国际专门小组，采用了当时最先进的科学方法，动用了X-光线透视等，对颜料成份进行分析，终于在几幅画中发现了现代物质诸如现代颜料钴蓝的痕迹。这样，伪造罪成立，Vanmeegren被判一年徒刑。1947年11月30日他在狱中心脏病发作而死去。但是，许多人还是不相信其余的名画是伪造的，因为，Vanmeegren在

18、狱中作的画实在是质量太差，所找理由都不能使怀疑者满意。直到20年后，1967年，卡内基梅隆大学的科学家们用微分方程模型解决了这一问题。-中央民族大学理学院中央民族大学理学院-为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能原理原理著名物理学家卢瑟夫（Rutherford）指出：物质的放射性正比于现存物质的原子数。设 时刻的原子数为 ，则有为物质的衰变常数。初始条件-中央民族大学理学院中央民族大学理学院-为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能半衰期碳-14铀-23

19、8镭-226铅-210能测出或算出，只要知道 就可算出这正是问题的难处，下面是间接确定 的方法。断代。-中央民族大学理学院中央民族大学理学院-为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能油画中的放射性物质油画中的放射性物质 白铅（铅的氧化物）是油画中的颜料之一，应用已有2000余年，白铅中含有少量的铅(Pb210)和更少量的镭(Ra226)。白铅是由铅金属产生的，而铅金属是经过熔炼从铅矿中提取来出的。当白铅从处于放射性平衡状态的矿中提取出来时，Pb210的绝大多数来源被切断，因而要迅速衰变，直到Pb210与少量的镭再度处于放射平

20、衡，这时Pb210的衰变正好等于镭衰变所补足的为止。-中央民族大学理学院中央民族大学理学院-为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能铀238镭226铅210钋210铅206（无放射性）-中央民族大学理学院中央民族大学理学院-为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能假设假设（1）镭的半衰期为1600年，我们只对17 世纪的油画感兴趣，时经300多年，白铅中镭至少还有原量的90%以上，所以每克白铅中每分钟镭的衰变数可视为常数，用 表示。（2）钋的半衰期为138

21、天容易测定，铅210的半衰期为22年，对要鉴别的300多年的颜料来说，每克白铅中每分钟钋的衰变数与铅210的衰变数可视为相等。-中央民族大学理学院中央民族大学理学院-为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能建模建模设 时刻每克白铅中含铅210的数量为 ，为制造时刻 每克白铅中含铅210的数量。为铅210的衰变常数。则油画中铅210含量-中央民族大学理学院中央民族大学理学院-变化的数学模型为：为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能求解求解均可测出。可算出白

22、铅中铅的衰变率 ，再于当时的矿物比较，以鉴别真伪。矿石中铀的最大含量可能 23%，若白铅中铅210每分钟衰变超过3 万个原子，则矿石中含铀量超过 4%。-中央民族大学理学院中央民族大学理学院-为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能测定结果与分析测定结果与分析画名画名钋钋210衰变原子数衰变原子数镭镭226衰变原子数衰变原子数Emmaus的信徒们8.50.82洗足12.60.26读乐谱的妇人10.30.3弹曼陀林的妇人8.20.17做花边的人1.51.4欢笑的女孩5.26.0-中央民族大学理学院中央民族大学理学院-为深入学习

23、习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能若第一幅画是真品，铅210每分钟每克衰变不合理，为赝品。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能同理可检验第2，3，4幅画亦为赝品，而后两幅画为真品。Emmaus的信徒们-中央民族大学理学院中央民族大学理学院-此例的含义：此例的含义：1 1、微分方程模型的作用；、微分方程模型的作用；2 2、模型假设与简化的作用。、模型假设与简化的作用。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中

24、小学图书室育人功能碳定年代法的不足碳定年代法的不足 现在，现在，C14年代测定法已受到怀疑，在年代测定法已受到怀疑，在2500-10000年前这年前这段时间中与其他断代法的结果有差异。段时间中与其他断代法的结果有差异。1966年，耶鲁实验室的年，耶鲁实验室的Minze Stuiver 和加利福尼亚大学圣地亚哥分校的和加利福尼亚大学圣地亚哥分校的Hans E.Suess在一份报告中指出了这一时期使在一份报告中指出了这一时期使C14年代测定产生误差的根本原年代测定产生误差的根本原因。在那个年代，宇宙射线的放射强度减弱了，偏差的峰值发因。在那个年代，宇宙射线的放射强度减弱了，偏差的峰值发生在大约生在

25、大约6000年以前。这两位研究人员的结论出自对年以前。这两位研究人员的结论出自对Brist/econe松树所作的松树所作的C14年代测定的结果，因为这种松树同时年代测定的结果，因为这种松树同时还提供了精确的年轮断代。他们提出了一个很成功的误差公式，还提供了精确的年轮断代。他们提出了一个很成功的误差公式，用来校正根据用来校正根据C14断代定出的断代定出的2300-6000年前这期间的年代：年前这期间的年代：真正的年代真正的年代=14C年年1.4900。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能一、传染病模型一、传染病模型问题问题

26、 描述传染病的传播过程描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律分析受感染人数的变化规律 预报传染病高潮到来的时刻预报传染病高潮到来的时刻 预防传染病蔓延的手段预防传染病蔓延的手段 按照传播过程的一般规律，按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型用机理分析方法建立模型为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能 已感染人数已感染人数(病人病人)i(t)每个病人每天有效接触每个病人每天有效接触(足以使人致病足以使人致病)人数为人数为 模型模型1 1假设假设若有效接触的是病人，若有效接触的是病人，则不能使病人数增加则不能使

27、病人数增加必须区分已感染者必须区分已感染者(病病人人)和未感染者和未感染者(健康人健康人)建模建模?指数指数模型模型为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能模型模型2 2区分已感染者区分已感染者(病人病人)和未感染者和未感染者(健康健康人人)假设假设1）总人数）总人数N不变，病人和健康不变，病人和健康 人的人的 比例分别为比例分别为 2）每个病人每天有效接触人数）每个病人每天有效接触人数为为,且且使接触的健康人致病使接触的健康人致病建模建模 日日接触率接触率SI 模型模型为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大

28、精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能模型模型21/2tmii010ttm传染病高潮到来时刻传染病高潮到来时刻 (日接触率日接触率)tm Logistic 模型病人可以治愈！病人可以治愈！?t=tm,di/dt 最最大大SI 模型模型为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能模型模型3传染病无免疫性传染病无免疫性病人治愈成病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染为健康人，健康人可再次被感染增加假设增加假设SIS 模型模型3）病人每天治愈的比例为）病人每天治愈的比例为 日日治愈率治愈率建模建模 日接触率日接触率1

29、/感染期感染期 一个感染期内一个感染期内每个病人的每个病人的有效接触人数，称为有效接触人数，称为接触数接触数。为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能模型模型3i0i0接触数接触数 =1 阈值阈值感染期内感染期内有效接触感染的有效接触感染的健康者人数不超过病人数健康者人数不超过病人数1-1/i0模型模型2(SI模型模型)如何看作模型如何看作模型3(SIS模型模型)的特的特例例idi/dt01 10ti 11-1/i0t 1di/dt 0为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能模型模型4传染病有免疫性传染病有免疫性病人治愈病人治愈后即移出感染系统，称后即移出感染系统，称移出者移出者SIR模型模型假设假设1）总人数）总人数N不变，病人、健康人和移不变，病人、健康人和移出者的比例分别为出者的比例分别为2）病人的日接触率）病人的日接触率 ,日日治愈率治愈率,接触数接触数 =/建模建模需建立需建立 的两个方程的两个方程为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能模型模型4SIR模型模型无法求出无法求出 的解析解的解析解采用数值方法计算采用数值方法计算