1-3行列式的定义.ppt

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1、用用消元法解二元线性方程组消元法解二元线性方程组一、二阶行列式的引入一、二阶行列式的引入方程组的解为方程组的解为由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定.由四个数排成二行二列（横排称行、竖排由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表称列）的数表定义定义定义定义即即主主对角线对角线副对角线副对角线对角线法则对角线法则二阶二阶行列式的计算行列式的计算若记若记对于二元线性方程组对于二元线性方程组系数行列式系数行列式则二元则二元线性方程组的解为线性方程组的解为注意注意 分母都为原方程组的系数行列式分母都为原方程组的系数行列式.例例例例1 1 1 1解解二、三阶行列式二、三阶行列式定义定义定义

2、定义记记记记（6 6）式称为数表（）式称为数表（5 5）所确定的）所确定的三阶行列式三阶行列式三阶行列式三阶行列式.(1)(1)沙沙路法路法三阶行列式的计算三阶行列式的计算.列标列标行标行标(2)(2)(2)(2)对角线法则对角线法则对角线法则对角线法则注意注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号元素的乘积冠以负号说明说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式 如果三元线性方程组如果三元线性方程组的的系数行列式系数行列式 利用三阶行列式求解三元线性方程组利用三阶行列式求解三元线性方程组 2 2.三阶行列式

3、包括三阶行列式包括3!3!项项,每一项都是位于不同行每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积不同列的三个元素的乘积,其中三项为正其中三项为正,三项为三项为负负.若记若记或或记记即即得得得得则三元线性方程组的解为则三元线性方程组的解为:例例例例 解解解解按按对角线法则，有对角线法则，有例例例例3 3 3 3解解解解方程左端方程左端例例4 4 解线性方程组解线性方程组解解解解由于方程组的系数行列式由于方程组的系数行列式同理可得同理可得故方程组的解为故方程组的解为:二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的程组引入的.对角线法则对角线法则二阶与三阶行列

4、式的计算二阶与三阶行列式的计算三、小结三、小结思考题思考题思考题解答思考题解答解解设所求的设所求的二次多项式为二次多项式为由由题意得题意得得得一个关于未知数一个关于未知数 的线性方程组的线性方程组,又又得得故所求多项式为故所求多项式为一、概念的引入一、概念的引入三阶行列式三阶行列式说明说明（1）三阶行列式共有）三阶行列式共有 项，即项，即 项项（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积乘积（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列的三个元素的下标排列例如例如列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为

5、列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为偶排列偶排列奇排列奇排列二、二、n阶行列式的定义阶行列式的定义定义定义说明说明1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的定义的;2、阶行列式是阶行列式是 项的代数和项的代数和;3、阶行列式的每项都是位于不同行、不同阶行列式的每项都是位于不同行、不同列列 个元素的乘积个元素的乘积;4、一阶行列式一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆不要与绝对值记号相混淆;5、的符号为的符号为例例1 1计算对角行列式计算对角行列式分析分析展开式中项的一般

6、形式是展开式中项的一般形式是从而这个项为零，从而这个项为零，所以所以 只能等于只能等于 ,同理可得同理可得解解即行列式中不为零的项为即行列式中不为零的项为例例2 2 计算上计算上三角行列式三角行列式分析分析展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是所以不为零的项只有所以不为零的项只有解解例例3同理可得同理可得下三角行列式下三角行列式例例4 4 证明证明对角行列式对角行列式证明证明第一式是显然的第一式是显然的,下面证第二式下面证第二式.若记若记则依行列式定义则依行列式定义证毕证毕例例5 5设设证明证明证证由行列式定义有由行列式定义有由于由于 所以所以故故1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解

7、、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的要而定义的.2、阶行列式共有阶行列式共有 项，每项都是位于不同项，每项都是位于不同行、不同列行、不同列 的的 个元素的乘积个元素的乘积,正负号由下标排正负号由下标排列的逆序数决定列的逆序数决定.三、小结三、小结思考题思考题已知已知思考题解答思考题解答解解含含 的项有两项的项有两项,即即对应于对应于定理定理2 2 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为其中其中 为行标排列为行标排列 的逆序数的逆序数.证明证明按按行列式定义有行列式定义有记记对于对于D中任意一项中任意一项总

8、有且仅总有且仅有有 中的某一项中的某一项与之对应并相等与之对应并相等;反之反之,对于对于 中任意一项中任意一项也总有且仅有也总有且仅有D中的某一项中的某一项与之对应并相等与之对应并相等,于是于是D与与中的项可以一一对应并相等中的项可以一一对应并相等,从而从而定理定理3 3 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为其中其中 是两个是两个 级排列，级排列，为行为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和标排列逆序数与列标排列逆序数的和.例例1 1 试判断试判断 和和是否都是六阶行列式中的项是否都是六阶行列式中的项.解解下标的逆序数为下标的逆序数为所以所以 是六阶行列式中的项是六阶行列式中的项.下标的逆序数为下

9、标的逆序数为所以所以 不是六阶行列式中的项不是六阶行列式中的项.例例2 2 在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号.解解431265的逆序数为的逆序数为所以所以 前边应带正号前边应带正号.行标排列行标排列341562的逆序数为的逆序数为列标排列列标排列234165的逆序数为的逆序数为所以所以 前边应带正号前边应带正号.例例3 3 用行列式的定义计算用行列式的定义计算解解 1.1.一个排列中的任意两个元素对换，排列改一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性变奇偶性2.2.行列式的三种表示方法行列式的三种表示方法三、小结三、小结其中其中 是两个是两个 级排

10、列，级排列，为行为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和标排列逆序数与列标排列逆序数的和.思考题思考题证明证明 在全部在全部 阶排列中阶排列中 ,奇偶排列各占奇偶排列各占一半一半.思考题解答思考题解答证证 设在全部设在全部 阶排列中有阶排列中有 个奇排列个奇排列,个偶个偶排列排列,现来证现来证 .将将 个奇排列的前两个数对换个奇排列的前两个数对换,则这则这 个奇排个奇排列全变成偶排列列全变成偶排列,并且它们彼此不同并且它们彼此不同,所以所以若将若将 个偶排列的前两个数对换个偶排列的前两个数对换,则这则这 个偶排列个偶排列全变成奇排列全变成奇排列,并且它们彼此不同并且它们彼此不同,于是有于是有故必故必有有