自由曲线与曲面(二).ppt

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1、第五讲自由曲线与曲面（二）Bezier曲线1962年，法国雷诺汽车公司年，法国雷诺汽车公司P.E.Bezier工程师工程师以以“逼近逼近”为基础为基础UNISURF系统系统1972年雷诺汽车公司正式使用年雷诺汽车公司正式使用2 2Bezier曲线（曲线（1/19）Bezier基函数-Bernstein多项式多项式的定义三次Bzier曲线的四个混合函数 3 3Bezier曲线（曲线（2/19）BernsteinBernstein基函数的性质基函数的性质基函数的性质基函数的性质n n正性正性n n权性权性n n对称性对称性n n降阶公式降阶公式n n升阶公式升阶公式4 4Bezier曲线（曲线（3

2、/19）n n导数导数n n积分积分n n最大值最大值在在t=t=i/ni/n处取得最大值处取得最大值n n线性无关性线性无关性 是是n n次多项式空间的一组基次多项式空间的一组基5 5Bezier曲线（曲线（4/19）Bezier曲线的定义曲线的定义n nn n次多项式曲线次多项式曲线次多项式曲线次多项式曲线P(tP(t)称为称为称为称为n n次次次次BezierBezier曲线曲线曲线曲线n n控制顶点控制顶点控制顶点控制顶点n n控制多边形控制多边形控制多边形控制多边形P0P1P2P36 6Bezier曲线（曲线（5/19）Bezier曲线的性质曲线的性质n n端点位置端点位置端点位置端

3、点位置P0P1P2P37 7Bezier曲线（曲线（6/19）n n端点切矢量端点切矢量导数曲线导数曲线P0P1P2P38 8Bezier曲线（曲线（7/19）n n对称性对称性对称性对称性不是形状对称不是形状对称保持贝塞尔曲线全部控制点保持贝塞尔曲线全部控制点PiPi的坐标位置不变，只的坐标位置不变，只是将控制点是将控制点PiPi的排序颠倒的排序颠倒 ，曲线形状保持不变，曲线形状保持不变9 9Bezier曲线（曲线（8/19）n n凸包性凸包性凸包性凸包性点集的凸包点集的凸包点集的凸包点集的凸包n n包含这些点的最小凸集包含这些点的最小凸集包含这些点的最小凸集包含这些点的最小凸集Bezier

4、Bezier曲线位于其控制顶点的凸包之内曲线位于其控制顶点的凸包之内曲线位于其控制顶点的凸包之内曲线位于其控制顶点的凸包之内1010Bezier曲线（曲线（9/19）n n多值性多值性多值性多值性P4P1P4P2P0=P5P31111Bezier曲线（曲线（10/19）n n几何不变性几何不变性几何不变性几何不变性n n平面曲线的变差缩减性平面曲线的变差缩减性平面曲线的变差缩减性平面曲线的变差缩减性1212Bezier曲线（曲线（11/19）二次二次Bezier曲线曲线n nn=2n=2n n抛物线抛物线P0P2P1MP(0.5)P(1)P(0)1313Bezier曲线（曲线（12/19）三次

5、三次Bezier曲线曲线n nn=3n=3P0P1P2P3P(0)P(1)1414Bezier曲线（曲线（13/19）三次三次Bezier曲线的矩阵表示曲线的矩阵表示1515Bezier曲线（曲线（14/19）n n递推公式递推公式-De De CasteljauCasteljau算法算法算法算法计算过程计算过程计算过程计算过程几何解释几何解释几何解释几何解释1616Bezier曲线（曲线（15/19）曲线的拼接曲线的拼接1717Bezier曲线（曲线（16/19）n n零阶几何连续条件零阶几何连续条件零阶几何连续条件零阶几何连续条件n n一阶几何连续条件一阶几何连续条件一阶几何连续条件一阶几

6、何连续条件n n二阶几何连续条件？二阶几何连续条件？二阶几何连续条件？二阶几何连续条件？三点共线，且Q1,Pm-1在连接点的异侧自学1818反求控制顶点n n给定给定n+1n+1个型值点，要求构造一条个型值点，要求构造一条BezierBezier曲线通过这些点曲线通过这些点Bezier曲线（曲线（17/19）1919优点：n n形状控制直观形状控制直观n n设计灵活设计灵活Bezier曲线（曲线（18/19）2020缺点：n n所生成的曲线与特征多边形的外形相距较远所生成的曲线与特征多边形的外形相距较远n n局部控制能力弱，因为曲线上任意一点都是所有给定局部控制能力弱，因为曲线上任意一点都是所

7、有给定顶点值的加权平均顶点值的加权平均n n控制顶点数增多时，生成曲线的阶数也增高控制顶点数增多时，生成曲线的阶数也增高n n控制顶点数较多时，多边形对曲线的控制能力减弱控制顶点数较多时，多边形对曲线的控制能力减弱n n曲线拼接需要附加条件，不太灵活曲线拼接需要附加条件，不太灵活Bezier曲线（曲线（19/19）2121B样条曲线（样条曲线（1/171/17）产生：产生：产生：产生：n n19461946年，年，SchoenbergSchoenberg发表关于发表关于B B样条函数的第样条函数的第1 1篇论文篇论文n n19731973年前后，年前后，Gordon,Riesenfield,F

8、orrestGordon,Riesenfield,Forrest等人受到等人受到BezierBezier方法的方法的启发，将启发，将B B样条函数拓广成参数形式的样条函数拓广成参数形式的B B样条曲线样条曲线优于优于BezierBezier曲线之处：曲线之处：n n与控制多边形的外形更接近与控制多边形的外形更接近n n局部修改能力局部修改能力n n任意形状，包括尖点、直线的曲线任意形状，包括尖点、直线的曲线n n易于拼接易于拼接n n阶次低，与型值点数目无关，计算简便阶次低，与型值点数目无关，计算简便2222B样条曲线（样条曲线（2/172/17）定义：定义：n n 给定给定给定给定m+n+1

9、m+n+1个空间向量个空间向量个空间向量个空间向量 ，(k=0,1,(k=0,1,m+nm+n)，称，称，称，称n n次参数曲线次参数曲线次参数曲线次参数曲线 为为为为n n次次次次B B样条曲线的第样条曲线的第样条曲线的第样条曲线的第i i段曲线（段曲线（段曲线（段曲线（i=0,1,mi=0,1,m）n n它的全体称为它的全体称为它的全体称为它的全体称为n n次次次次B B样条曲线，它具有样条曲线，它具有样条曲线，它具有样条曲线，它具有C Cn-1n-1连续性连续性连续性连续性2323B样条曲线（样条曲线（3/173/17）为简化记号，取为简化记号，取i=0i=0来代表样条中的任意一段来代表

10、样条中的任意一段 基函数为基函数为B B样条函数样条函数 2424B样条曲线（样条曲线（4/174/17）二次B样条n nn=2n=2n n抛物线抛物线B0B2B1MP(0.5)P(1)P(0)2525B样条曲线（样条曲线（5/175/17）三次三次B B样条样条n nn=3n=3P(t)B0B0B1B1B2B2B3B32626B样条曲线（样条曲线（6/176/17）三次三次B B样条的样条的C C2 2连续性连续性n n如果增加一个控制顶点如果增加一个控制顶点P4P4，则前一段曲线是否，则前一段曲线是否会受影响？会受影响？P(t)P42727B样条曲线（样条曲线（7/177/17）特殊外形设

11、计n n三顶点共线三顶点共线n n位于控制多边形边上的一个点位于控制多边形边上的一个点P0P2P1MP(0)P(0)P0P2MP1P(0)2828B样条曲线（样条曲线（8/178/17）特殊外形设计n n四顶点共线四顶点共线n n含有直线段的曲线含有直线段的曲线P0P3P1P2P(0)M1P(1)M22929B样条曲线（样条曲线（9/179/17）特殊外形设计n n两顶点重合两顶点重合P0P2P1MP(0)P0P2MP1P(0)P(0)3030B样条曲线（样条曲线（10/1710/17）特殊外形设计n n两顶点重合两顶点重合n n相切于控制多边形边的曲线相切于控制多边形边的曲线P2P5P1P0

12、P4P33131B样条曲线（样条曲线（11/1711/17）特殊外形设计n n三顶点重合三顶点重合n n含有尖点的曲线含有尖点的曲线P2P6P1P0P4P3P53232B样条曲线（样条曲线（12/1712/17）特殊外形设计n n如何构造通过控制多边形某一顶点的如何构造通过控制多边形某一顶点的B B样条曲线？样条曲线？提示：n n将控制多边形的首尾两条边各延长将控制多边形的首尾两条边各延长1/61/6，将新的顶点置为，将新的顶点置为二重顶点二重顶点n n将控制多边形的首尾两条边各延长将控制多边形的首尾两条边各延长1/21/2，利用三点共线，利用三点共线3333B样条曲线（样条曲线（13/171

13、3/17）在数据拟合中的应用n n给定一组离散的型值点列，如何构造一条通过该组型值给定一组离散的型值点列，如何构造一条通过该组型值点的点的B B样条曲线？样条曲线？原问题：n n给定控制顶点给定控制顶点 ，计算曲线上的点，计算曲线上的点3434B样条曲线（样条曲线（14/1714/17）目标：构造三次目标：构造三次B B样条曲线通过型值点样条曲线通过型值点PiPi，i=1,2,n-i=1,2,n-1 1根据三次根据三次B B样条曲线端点性质样条曲线端点性质补充两个边界条件补充两个边界条件追赶法追赶法追赶法追赶法求解求解求解求解3535B样条曲线（样条曲线（15/1715/17）几种常见的边界条

14、件：n n首末两端加上导数条件首末两端加上导数条件n n在控制多边形首末两条边的延长线上分别外延一点在控制多边形首末两条边的延长线上分别外延一点n n设设B B1 1=B=B0 0,B,Bn n=B=Bn-1n-1，重顶点，重顶点方法1存在的问题：n n首末端导数难以给出首末端导数难以给出方法2存在的问题：n n三点共线导致端点曲率为三点共线导致端点曲率为0 0方法3存在的问题：n n是方法是方法2 2中外延距离为中外延距离为0 0的特例的特例3636B样条曲线（样条曲线（16/1716/17）基于曲率参数的边界条件构造法基于曲率参数的边界条件构造法解决零曲率问题SuXiaohong,LiDo

15、ng,ZhangTianwen,A new method to build boundary conditions for nonuniform B-splines interpolation.Journal of Harbin Institute of Technology（In English）.2000,7(4):59-623737B样条曲线（样条曲线（17/1717/17）优点：优点：n n与控制多边形的外形更接近与控制多边形的外形更接近n n局部修改能力局部修改能力n n任意形状，包括尖点、直线的曲线任意形状，包括尖点、直线的曲线n n易于拼接易于拼接n n阶次低，与型值点数目无关，计算简便阶次低，与型值点数目无关，计算简便缺点：缺点：n n不能精确表示圆不能精确表示圆3838