7.4《课题学习--镶嵌》课件(人教版数学七年级下)1.ppt

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1、八年级八年级 上册上册第十一章第十一章 数学活动数学活动平面图案欣赏：这些图形拼成这些图形拼成一个平面图案一个平面图案的共同特征是的共同特征是什么什么？平面镶嵌平面镶嵌:用一些用一些不重叠摆放不重叠摆放的的多边形多边形把平面把平面 的一部分的一部分完全覆盖完全覆盖,叫做多边形覆盖叫做多边形覆盖 平面平面(或平面镶嵌或平面镶嵌).用形状相同或不同的平面封闭图形把一块平面既无缝隙又不重叠的全部覆盖叫平面镶嵌。注意：注意：镶嵌的原则是不重镶嵌的原则是不重叠，又无空隙叠，又无空隙。拼一拼 选一选小明家装修地板小明家装修地板,在正三角形在正三角形,正方形正方形,正五边形正五边形,正六边形瓷砖中只能选择一

2、种正六边形瓷砖中只能选择一种,你认为哪些可以你认为哪些可以供他选择供他选择?6 6 6060 0 0 9090 0 0108108 0 0 120120 0 04 43 33 34 4能镶嵌能镶嵌能镶嵌能镶嵌不能镶嵌不能镶嵌有空隙有空隙能镶嵌能镶嵌60 6=360 0 0 0 090 4=360 0 0 0 01083360108 4360 0 0 0 0120 3=360 0 0 0 0不能镶嵌不能镶嵌有重叠有重叠正正n n边形边形拼图拼图每个内角度数每个内角度数 多边形个数多边形个数结果结果 n=3n=3 n=4n=4 n=5n=5 n=6n=6规律规律:当正多边形的一个内角当正多边形的一

3、个内角度数的整数倍是度数的整数倍是360 时，时，这种正多边形就能镶嵌这种正多边形就能镶嵌.假设正多边形的边数为假设正多边形的边数为n,n,由由K K个正多边形恰好个正多边形恰好可以镶嵌时可以镶嵌时,则这些铺在一个顶点处的则这些铺在一个顶点处的K K个正个正多边形的多边形的K K个内角和应等于个内角和应等于 而正而正n n边形的每个内角的度数为边形的每个内角的度数为 ,所以所以,可得方程可得方程 整理整理,得得 K(n-2)=2n,K(n-2)=2n,所以所以因为因为K,nK,n为正整数为正整数,故故n n只能等于只能等于3 3、4 4、6.6.360360,这说明只用一种正多边形镶嵌这说明只

4、用一种正多边形镶嵌,正多边形只有正多边形只有三种选择三种选择:正三角形正三角形,正方形和正六边形正方形和正六边形.问题：小明的爸爸在装修过程问题：小明的爸爸在装修过程中用一些边角余料切割成一些形状、中用一些边角余料切割成一些形状、大小完全相同的任意三角形，他用大小完全相同的任意三角形，他用这些三角形能进行地板镶嵌吗？那这些三角形能进行地板镶嵌吗？那么任意四边形能不能呢？么任意四边形能不能呢？任意三角形和任意四边形任意三角形和任意四边形可以进行平面镶嵌可以进行平面镶嵌,但若想实现但若想实现连续铺设，还应将相等的边重连续铺设，还应将相等的边重合在一起。合在一起。想一想想一想如果选择边长相等的两种正

5、多边形进行镶嵌如果选择边长相等的两种正多边形进行镶嵌,你又会选择哪两种呢你又会选择哪两种呢?解：设每个顶点周围有解：设每个顶点周围有x x个正三角形个正三角形和和y y个正四边形个正四边形,则则:60 60 x+90 x+90 y=360 y=360 即即:2x+3y=122x+3y=12又又x x、y y是正整数是正整数,解得解得:x=3,y=2.:x=3,y=2.即每个顶点处用正三角形的三个即每个顶点处用正三角形的三个内角内角,正方形的两个内角进行拼接正方形的两个内角进行拼接.正三角形和正方形正三角形和正方形的平面镶嵌的平面镶嵌正多边形正多边形拼拼 图图正三角形和正三角形和正六边形正六边形

6、m6060+n+n120120=360=36026060+2+2120120=360=36046060+1+1120120=360=360解：设每个顶点周围有解：设每个顶点周围有mm个正三角形和个正三角形和n n个正个正六六边形边形,60 60 m+120 m+120 n=360 n=360,即即:m+2n=6:m+2n=6 又又mm、n n是正整数是正整数,解得解得:即每个顶点处用四个正三角形和一个正六边形即每个顶点处用四个正三角形和一个正六边形,或者用或者用两个正三角形和两个正六边形两个正三角形和两个正六边形.正十二边形与正三角形正十二边形与正三角形的平面镶嵌的平面镶嵌正正八八边边形形与与

7、正正方方形形的的平平面面镶镶嵌嵌正十边形与正五边正十边形与正五边形的平面镶嵌形的平面镶嵌 两种正多边形拼接在同一点两种正多边形拼接在同一点的各个角的和恰好等于的各个角的和恰好等于360,这这两种正多边形就能镶嵌两种正多边形就能镶嵌.你能用三种边长相等的正多边形设计你能用三种边长相等的正多边形设计一个图案吗？试试吧一个图案吗？试试吧!请你来当设计师请你来当设计师正三角形与正方形、正三角形与正方形、正六边形的平面镶正六边形的平面镶嵌嵌正十二边形正十二边形与正方形、与正方形、正六边形的正六边形的平面镶嵌平面镶嵌 长方形长方形(矩形矩形)可以任可以任意镶嵌意镶嵌,并且不同颜色组并且不同颜色组合合,可以

8、有不同的视觉效可以有不同的视觉效果果.镶嵌之父镶嵌之父M.C.M.C.埃舍尔是荷兰的“图形艺术家”，着迷于各种镶嵌。许多数学家认为在他的作品中数学的原则和思想得到了非同寻常的形象化。他的作品几乎无人能够企及，世人尊称他为“镶嵌之父镶嵌之父”。无论这个问题从属于数学领域还是从属于无论这个问题从属于数学领域还是从属于艺术领域，它对于我仍然是一个未解的问题。艺术领域，它对于我仍然是一个未解的问题。M.C.埃舍尔埃舍尔资料资料资料资料1 1：用正多边形进行平面镶嵌只有以下这：用正多边形进行平面镶嵌只有以下这：用正多边形进行平面镶嵌只有以下这：用正多边形进行平面镶嵌只有以下这1717组解。组解。组解。组

9、解。有书记载说明这有书记载说明这有书记载说明这有书记载说明这1717组解是组解是组解是组解是19241924年一个叫波尔亚的人给年一个叫波尔亚的人给年一个叫波尔亚的人给年一个叫波尔亚的人给出的。实际上早在此之前，西班牙阿尔汉布拉宫的装饰出的。实际上早在此之前，西班牙阿尔汉布拉宫的装饰出的。实际上早在此之前，西班牙阿尔汉布拉宫的装饰出的。实际上早在此之前，西班牙阿尔汉布拉宫的装饰已经一个不少地制出了这些图样，真是令人叹为观止。已经一个不少地制出了这些图样，真是令人叹为观止。已经一个不少地制出了这些图样，真是令人叹为观止。已经一个不少地制出了这些图样，真是令人叹为观止。第一页第二页1 1、平面镶嵌

10、的定义、平面镶嵌的定义.2 2、正多边形平面镶嵌的条件、正多边形平面镶嵌的条件.小结小结镶嵌平面图案需要的什么条件？镶嵌平面图案需要的什么条件？拼接在同一个点的各个角的和拼接在同一个点的各个角的和恰好等于恰好等于360度度123想一想想一想 用同一种正多边形镶嵌平面用同一种正多边形镶嵌平面的条件是的条件是:正多边形的内角度数正多边形的内角度数的整数倍恰好是的整数倍恰好是360360.符合要求符合要求的正多边形只有正三角形、正方的正多边形只有正三角形、正方形和正六边形三种。形和正六边形三种。用几种多边形进行镶嵌，称用几种多边形进行镶嵌，称多边形的组合镶嵌，此时要求拼多边形的组合镶嵌，此时要求拼接

11、在同一点的各个多边形的内角接在同一点的各个多边形的内角和为和为360360。任意三角形和任意四边形任意三角形和任意四边形可以进行平面镶嵌可以进行平面镶嵌,但若想实现但若想实现连续铺设，还应将相等的边重连续铺设，还应将相等的边重合在一起。合在一起。长方形长方形(矩形矩形)可以任可以任意镶嵌意镶嵌,并且不同颜色组并且不同颜色组合合,可以有不同的视觉效可以有不同的视觉效果果.练习题1.能够用一种正多边形铺满地面的是_。A 正五边形 B 正六边形 C 正七边形 D 正八边形2.如果用正三角形进行镶嵌，那么在每个顶 点的周围有_个正三角形。3.如果用正三角形和正六边形进行镶嵌，那 么在每个顶点的周围有_ 个正三角形和_个正六边形或 _个正三角形和_ 个正六边形B62241