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1、三角函数的积化和差与和差化积三角函数的积化和差与和差化积北师大版高中数学必修北师大版高中数学必修4第第三章三角恒等变形三章三角恒等变形法门高中姚连省制作法门高中姚连省制作1为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能三角函数的积化和差与和差化积三角函数的积化和差与和差化积 一、素质教育目标一、素质教育目标(一一)知识教学点知识教学点1三角函数的积化和差三角函数的积化和差2三角函数的和差化积三角函数的和差化积 2为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能(二二)能

2、力训练点能力训练点1 1三角函数的积化和差与和差化积，这两种互化，对于三角函数的积化和差与和差化积，这两种互化，对于求三角函数的值、化商三角函数式及三角函数式的恒等变求三角函数的值、化商三角函数式及三角函数式的恒等变形，都有重要的作用，它们的作用和地位在三角函数值的形，都有重要的作用，它们的作用和地位在三角函数值的变形中是十分重要的变形中是十分重要的2 2积化和差与和差化积公式的推导过程本身也运用了许积化和差与和差化积公式的推导过程本身也运用了许多重要的教学思想和方法，在课堂教学中应作为重要一环多重要的教学思想和方法，在课堂教学中应作为重要一环给予足够的重视给予足够的重视(三三)德育渗透点德育

3、渗透点数学学习中，处处充满辩证法，和差化积与积化和差看似数学学习中，处处充满辩证法，和差化积与积化和差看似是一对矛盾，但它们又处在对立统一体中，这些公式中，是一对矛盾，但它们又处在对立统一体中，这些公式中，从左到右为积化和差，而从右到左则成为和差化积在实从左到右为积化和差，而从右到左则成为和差化积在实际应用，他们又是相辅相成的，通过这一内容的教学，使际应用，他们又是相辅相成的，通过这一内容的教学，使学生受到一次辩证法实例的教育，不失为一个好时机学生受到一次辩证法实例的教育，不失为一个好时机3为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育

4、人功能二、教学重点、难点二、教学重点、难点1 1教学重点：教学重点：理顺三角公式变换的相互关系，掌握积化理顺三角公式变换的相互关系，掌握积化和差与和差化积公式的推导过程，和差与和差化积公式的推导过程，并能用它们解决一些并能用它们解决一些实际问题，实际问题，以及用好用活以及用好用活2 2教学难点：教学难点：(1)(1)公式的推导公式的推导(2)(2)公式的应用公式的应用(3)(3)三角式的恒等变换的一般规律三角式的恒等变换的一般规律三、课时安排：三、课时安排：4 4课时课时四、教与学过程的设计四、教与学过程的设计4为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,

5、充分发挥中小学图书室育人功能第一课时第一课时 三角函数的积化和差三角函数的积化和差(一一)复习和、差角的正弦与余弦公式复习和、差角的正弦与余弦公式师：前阶段我们已学习了和差、倍、半角的三角函数的公式，师：前阶段我们已学习了和差、倍、半角的三角函数的公式，请问学生回忆一下这些三角公式的推导，变换过程请问学生回忆一下这些三角公式的推导，变换过程生：所有这些三角公式都是从一个公式演化而来的，主要是证生：所有这些三角公式都是从一个公式演化而来的，主要是证明了两角和的余弦函数公式之后，利用换元法以及诱导公式，明了两角和的余弦函数公式之后，利用换元法以及诱导公式，同角三角函数之间的关系等而导出一系列公式来

6、，他们相互之同角三角函数之间的关系等而导出一系列公式来，他们相互之间是有紧密关系的间是有紧密关系的师：和、差、倍、半角的三角函数是一组十分重要的公式，它师：和、差、倍、半角的三角函数是一组十分重要的公式，它们在解决三角恒等变换等方面有许多重要应用但是，光是这们在解决三角恒等变换等方面有许多重要应用但是，光是这些关系还不足以解决问题，今天我们还要进一步把握它们的内些关系还不足以解决问题，今天我们还要进一步把握它们的内在联系，寻求新的关系式在联系，寻求新的关系式(二二)引入新课引入新课请学生说出正、余弦的和差角公式请学生说出正、余弦的和差角公式(板书板书)5为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思

7、想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能sin(+)=sincos+cossin(1)sin(-)=sincos-cossing(2)cos(+)=coscos-sinsin(3)cos(-)=coscos+sinsin(4)师：请同学们注意观察这四个公式，考虑一下能否利用师：请同学们注意观察这四个公式，考虑一下能否利用这些公式得出一些新关系来这些公式得出一些新关系来生生1：把：把(1)式与式与(2)式相加可得式相加可得sin(+)+sin(-)=sincos生生2：把：把(1)式与式与(2)式相减可得式相减可得sin(+)-sin(-)=cossin师：师：(3

8、)、(4)两式作类似的加、减还可以得到：两式作类似的加、减还可以得到：cos(+)+cos(-)=2coscos，cos(+)-cos(-)=-2sinsin师：若把这四个关系式整理一下，即可得到师：若把这四个关系式整理一下，即可得到6为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能以上这四个公式的特征是把三角函数的积的形式转化为三角函数的和、以上这四个公式的特征是把三角函数的积的形式转化为三角函数的和、差的形式，我们把上述公式称为三角函数的积化和差公式差的形式，我们把上述公式称为三角函数的积化和差公式积化和差公式的功能可以把三角函

9、数的一种形式积化和差公式的功能可以把三角函数的一种形式(积的形式积的形式)转化为另一转化为另一种形式种形式(和差的形式和差的形式)，这种转化可以使得一些我们无法解决的问题变成，这种转化可以使得一些我们无法解决的问题变成可能解决的问题，它们在三角式的变换中有很重要的作用现在请同学可能解决的问题，它们在三角式的变换中有很重要的作用现在请同学们先翻开课本们先翻开课本P227，先看看这段课文，特别是注意公式的函数，函，先看看这段课文，特别是注意公式的函数，函数名、角的形式等特征，记好这四个公式数名、角的形式等特征，记好这四个公式(五分钟阅读，让学生记忆五分钟阅读，让学生记忆)7为深入学习习近平新时代中

10、国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能师：现在暂停读书，这几个公式形式比我们过去学过的其他师：现在暂停读书，这几个公式形式比我们过去学过的其他三角公式要复杂一些，记好用好这些公式得有一段过程，当三角公式要复杂一些，记好用好这些公式得有一段过程，当然，千万不要死记硬背，适当做一些练习，掌握这些公式的然，千万不要死记硬背，适当做一些练习，掌握这些公式的实际应用，是可以逐步掌握它们的让我们看看以下的例题实际应用，是可以逐步掌握它们的让我们看看以下的例题例题例题 求求sin75cos15的值的值请同学们想想有什么办法可以解决这个问题？请同学们想想有什么办

11、法可以解决这个问题？生生1：考虑到：考虑到7515都是特殊角，所以想到使用积化和差公都是特殊角，所以想到使用积化和差公式解决之式解决之 师：很好，用我们刚刚学过的积化和差公式可以很方便地解师：很好，用我们刚刚学过的积化和差公式可以很方便地解决这个问题，请大家想想是否还有其他解法？决这个问题，请大家想想是否还有其他解法？生生2：由于：由于75与与15互为余角，所以可以采用以下的解法互为余角，所以可以采用以下的解法8为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能生生3：由于：由于75与与15可以由可以由45与与30组合而成，所以只要用

12、到和差角的三组合而成，所以只要用到和差角的三角函数公式就可以解决了角函数公式就可以解决了师：从这个例题的几种解法，我们可以看出，三角函数求值或恒等变换，师：从这个例题的几种解法，我们可以看出，三角函数求值或恒等变换，往往可以从不同角度考虑，进而使用不同的三角公式，获得问题的解决，往往可以从不同角度考虑，进而使用不同的三角公式，获得问题的解决，可谓殊途同归，但是我们考虑问题时，一定要根据条件及结论、选择适可谓殊途同归，但是我们考虑问题时，一定要根据条件及结论、选择适当的方法，以求问题的解决现在，请同学们取出课堂练习本，完成以当的方法，以求问题的解决现在，请同学们取出课堂练习本，完成以下的几个练习

13、下的几个练习(三三)课堂练习课堂练习1求求sin20cos70+sin10sin50的值，的值，2求求cos37.5cos22.5的值，的值，9为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能学生练习、教师巡视、答疑，对一些有困难的学学生练习、教师巡视、答疑，对一些有困难的学生作些提示，适当时候，安排几个学生作板演生作些提示，适当时候，安排几个学生作板演练习题解法：练习题解法：1sin20cos70+sin10sin502 cos37.5cos22.510为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精

14、神,充分发挥中小学图书室育人功能而sin20sin40sin8011为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能(四四)课堂小结课堂小结本节课，我们学习了三角函数的积化和差公式，虽然这些公式是新出现本节课，我们学习了三角函数的积化和差公式，虽然这些公式是新出现的，但它和过去学习的一些三角公式有密切的关系，所以首先应理清他的，但它和过去学习的一些三角公式有密切的关系，所以首先应理清他们的内在联系，这组公式的功能可以把三角函数的积的形式转化为和差们的内在联系，这组公式的功能可以把三角函数的积的形式转化为和差的形式，通过例解及课堂练习

15、，同学们也开始发现这组公式的作用，希的形式，通过例解及课堂练习，同学们也开始发现这组公式的作用，希望同学们在今后的学习中记好、用好这一组公式望同学们在今后的学习中记好、用好这一组公式五、作业五、作业P231中3；P236中1、2六、教后反思：六、教后反思：12为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能第二课时第二课时 三角函数的和差化积三角函数的和差化积 一、教与学过程设计一、教与学过程设计(一一)复习积化和差公式复习积化和差公式1请学生复述积化和差公式，教师板书请学生复述积化和差公式，教师板书2部分作业选讲部分作业选讲 证明

16、证明 cos2cossin5sin2=cos4cos3利用积化和差公式，可得利用积化和差公式，可得13为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能 求cos20、cos40、cos80的值解法一14为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能师：我们知道，每个数学公式都有两方面的应用，即正师：我们知道，每个数学公式都有两方面的应用，即正用与逆用积化和差公式也不例外，那么，积化和差公用与逆用积化和差公式也不例外，那么，积化和差公式的逆用应怎么称呼呢？式的逆用应怎么称

17、呼呢？生：应称为三角函数的和差化积公式生：应称为三角函数的和差化积公式师：确实如此，这节课，我们就来学习三角函数的和差师：确实如此，这节课，我们就来学习三角函数的和差化积公式化积公式(二二)引入新课引入新课由三角函数的积化和差公式的逆用，我们可得以下几个由三角函数的积化和差公式的逆用，我们可得以下几个公式：公式：sin(+)+sin(-)=2sincos；sin(+)-sin(-)=2cossin；cos(+)+cos(-)=2coscos；cos(+)-cos(-)=-2sinsin为了突出这组公式是三角函数的和差化积公式并能方便为了突出这组公式是三角函数的和差化积公式并能方便地记忆，可作如

18、下的换元：地记忆，可作如下的换元：15为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能这样我们就得到如下的三角函数的积化和差公式这样我们就得到如下的三角函数的积化和差公式和差化积公式与积化和差公式相反，它可以把三角函数和差化积公式与积化和差公式相反，它可以把三角函数的和差的形式转化为积的形式，从而获得问题的解决的和差的形式转化为积的形式，从而获得问题的解决如前面评讲的作业，也可以一直由等式的左边一直推到如前面评讲的作业，也可以一直由等式的左边一直推到等式的右边等式的右边16为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,

19、贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能例例1 求求sin42-cos12+sin54的值的值分析：这是三角中常遇到的问题，由于原题是三个三角函数的分析：这是三角中常遇到的问题，由于原题是三个三角函数的和差形式，自然想到要使用和差化积公式，由于上述问题中现和差形式，自然想到要使用和差化积公式，由于上述问题中现成的同名角函数为成的同名角函数为sin42、sin54，因而一般做法是将这二个，因而一般做法是将这二个函数做和差化积函数做和差化积(稍停顿稍停顿)但本题若采用此法则无后续手段，但本题若采用此法则无后续手段，问题的解决将十分困难应该说这种思考的方向是正确的，但问题的解决将十分困难应

20、该说这种思考的方向是正确的，但我们不是为和差化积而和差化积，而是为问题的解决而和差化我们不是为和差化积而和差化积，而是为问题的解决而和差化积的，一般地说出现多个三角函数的和差时，应选择能出现特积的，一般地说出现多个三角函数的和差时，应选择能出现特殊角的一组进行鉴于此，本题应采取下面的解法殊角的一组进行鉴于此，本题应采取下面的解法解：原式解：原式=sin42-sin78+sin54=-2cos60sin18+sin54=cos54-sin18=2sin36sin1817为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能师：进行到此，本题

21、的化简能进行下去吗？师：进行到此，本题的化简能进行下去吗？生：可试着使用正弦函数的倍角公式化简生：可试着使用正弦函数的倍角公式化简2cos36sin18师：本题与前面的例题形式上是差不多的，请大家想一想该师：本题与前面的例题形式上是差不多的，请大家想一想该怎么解？怎么解？生：生：(议论议论)用和差化积公式化简应是可行的，由于本题三个用和差化积公式化简应是可行的，由于本题三个函数都是余弦，而任两角的和、差都不为特殊角，所以可任函数都是余弦，而任两角的和、差都不为特殊角，所以可任选其中的两个先作和差化积选其中的两个先作和差化积 18为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全

22、国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能提问一个学生，可得如下变形提问一个学生，可得如下变形师：到此，下一步比较关键师：到此，下一步比较关键(指导学生讨论指导学生讨论)，逐步统一，逐步统一到如下解法：到如下解法：19为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能师：本题对初学和积互化的关系式中是比较困难的，采师：本题对初学和积互化的关系式中是比较困难的，采用同样的方法也可以对用同样的方法也可以对1、3两项或两项或2、3两项先使用和差两项先使用和差化积公式，再利用余弦的倍角进一步完成本题化积公式，再利用余弦的倍角进一步完成本题本

23、题还可以采用积化和差的办法解决之本题还可以采用积化和差的办法解决之20为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能(三三)小结小结和差化积公式的左边全是同名函数的和或差，只有负数绝和差化积公式的左边全是同名函数的和或差，只有负数绝对值相同的同名函数的和与差才能直接运用公式化成积的对值相同的同名函数的和与差才能直接运用公式化成积的形式，如果是一个正弦与一余弦的和或差必须先用诱导公形式，如果是一个正弦与一余弦的和或差必须先用诱导公式化成同名函数后，再运用积化和差公式化成积的形式式化成同名函数后，再运用积化和差公式化成积的形式无论是和

24、差化积还是积化和差中的无论是和差化积还是积化和差中的“和差和差”与与“积积”，都，都是指得三角函数间的关系，并不是角的关系，这是必须十是指得三角函数间的关系，并不是角的关系，这是必须十分清楚的分清楚的三角函数的和差化积所要求的最后结果，只要是三角函数三角函数的和差化积所要求的最后结果，只要是三角函数的积的形式就可以了，不求形式上的一致的积的形式就可以了，不求形式上的一致21为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能遇到三个或三个以上的三角函数的和差化积或积化和差，遇到三个或三个以上的三角函数的和差化积或积化和差，可以先在其中的

25、二个函数中进行可以先在其中的二个函数中进行(遇到这种情况多半会组遇到这种情况多半会组合出特殊角合出特殊角)，然后再与其他的三角函数继续进行下去，然后再与其他的三角函数继续进行下去今天课上例今天课上例2的第二种解法主要适用于三角函数式中的角的第二种解法主要适用于三角函数式中的角是等差的，通常分子分母上同乘以公差一半的正弦是等差的，通常分子分母上同乘以公差一半的正弦二、板书设计二、板书设计22为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能第三课时第三课时 习题课习题课 三角函数是中学数学的一个很重要的学习内容，这二章三角函数是中学数学

26、的一个很重要的学习内容，这二章(第第三章与第四章三章与第四章)从介绍三角函数的定义、性质、图象开始逐从介绍三角函数的定义、性质、图象开始逐步深入，学习的进程高潮迭起，特别是从和、差、倍、半角步深入，学习的进程高潮迭起，特别是从和、差、倍、半角的三角函数直到三角函数的和差化积与积化和差，既充分揭的三角函数直到三角函数的和差化积与积化和差，既充分揭示了三角函数的内在关系，且每组公式又都有它自身的使用示了三角函数的内在关系，且每组公式又都有它自身的使用范围，另外三角函数这块内容又是学习其他数学分支的重要范围，另外三角函数这块内容又是学习其他数学分支的重要工具，在函数研究、立体几何、代数及解析几何中都

27、有广泛工具，在函数研究、立体几何、代数及解析几何中都有广泛的应用，学好三角函数是学好其他数学分支的重要基础由的应用，学好三角函数是学好其他数学分支的重要基础由于三角公式相当多，所以记忆和应用就显得十分重要，安排于三角公式相当多，所以记忆和应用就显得十分重要，安排两节习题课的目的，就是希望通过练习及比较，使学生能熟两节习题课的目的，就是希望通过练习及比较，使学生能熟练掌握进行三角恒等变换的一般方法练掌握进行三角恒等变换的一般方法(一一)复习和差化积与积化和差公式复习和差化积与积化和差公式(二二)作业评讲作业评讲1求求cos20+cos100+cos14023为深入学习习近平新时代中国特色社会主义

28、思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能=cos40+cos140=02ABC中，求证中，求证cos2A+cos2B+cos2C=-1-4cosAcosBcosC证明：证明：A、B、C为为ABC的三内角的三内角A+B+C=，即，即C=-(A+B)原式左边原式左边=2cos(A+B)cos(A-B)+2cos2C-1=2cos(A+B)cos(A-B)+2cos2(A+B)-1=2cos(A+B)cos(A+B)+cos(A-B)-1=4cos(A+B)cosAcosC-1=-1-4cosAcosBcosC(三三)范例选解范例选解例例1 求求sin220+cos2

29、50+sin20cos50的值的值分析：本题有两个平方式，遇到三角函数的平方式分析：本题有两个平方式，遇到三角函数的平方式(包含三次，包含三次，四次式等四次式等)，常利用余弦的倍角公式作降次处理，常利用余弦的倍角公式作降次处理24为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能(当然也可以把它们视为二个三角函数的积做积化和差当然也可以把它们视为二个三角函数的积做积化和差)作了如下处理后，即成为三角函数一次式的和差了，自然作了如下处理后，即成为三角函数一次式的和差了，自然做和差化积做和差化积若又注意到本题的结构，以下解法也是可以考虑的

30、若又注意到本题的结构，以下解法也是可以考虑的原式原式=(sin20+sin40)2-sin20cos50=2sin30cos102-sin20cos5025为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能当然，也可以这样配方当然，也可以这样配方原式原式=(sin20-sin40)2+3sin20cos50例题例题2 求求ctg70+4cos70的值的值分析：由于本题余切函数与余弦函数共存，分析：由于本题余切函数与余弦函数共存，首先应化切为首先应化切为弦，接着自然是要做通分，最后再考虑分子的化简，由于分弦，接着自然是要做通分，最后再考

31、虑分子的化简，由于分子的三角函数的系数不同，一拆为二就是必然的了子的三角函数的系数不同，一拆为二就是必然的了26为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能习题课上，教师主要讲以上二例，虽为例解，但应注意调动习题课上，教师主要讲以上二例，虽为例解，但应注意调动学生积极思考，注意学生提出的问题以及学生提出的处理方学生积极思考，注意学生提出的问题以及学生提出的处理方法，若方向对头应予以肯定，若方法不当也应帮助分析原因法，若方向对头应予以肯定，若方法不当也应帮助分析原因以下几个练习主要由学生完成，练习题预先写在幻灯片上，以下几个练习主

32、要由学生完成，练习题预先写在幻灯片上，适时安排学生板演，习题课的形式是讲讲、议议、练练适时安排学生板演，习题课的形式是讲讲、议议、练练(四四)练习题练习题27为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能3tg10+sec50课堂练习题分析及解法：课堂练习题分析及解法：2类似本题的条件，有两条路可供选择，其一是将两式类似本题的条件，有两条路可供选择，其一是将两式两边分别平方后再相加，但这样处理所能得到的是两边分别平方后再相加，但这样处理所能得到的是cos(-)的值，但采用这样的办法于事无补另一条路是把两个的值，但采用这样的办法于事

33、无补另一条路是把两个某式左边的三角函数分别作和差化积可得到如下关系：某式左边的三角函数分别作和差化积可得到如下关系：28为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能3本题若只是简单处理，可能会做不下去本题若只是简单处理，可能会做不下去到此或许许多人就束手无策了，当然，这样做如果处理得法，到此或许许多人就束手无策了，当然，这样做如果处理得法，还是会最后得到正确结果的，但是计算太大了还是会最后得到正确结果的，但是计算太大了若注意到若注意到10、50分别与分别与80、40互为余角，利用诱导公式互为余角，利用诱导公式可得如下解法可得如下

34、解法29为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能(四四)小结小结三角函数的恒等变换，由于三角公式较多、用起来也较活，所以应当三角函数的恒等变换，由于三角公式较多、用起来也较活，所以应当掌握变形的一般规律，而一般规律的获得主要靠自己的实践以及理性掌握变形的一般规律，而一般规律的获得主要靠自己的实践以及理性上的升华。通过一个阶段的学习与练习，应是有一定体会的一般说上的升华。通过一个阶段的学习与练习，应是有一定体会的一般说三角变换问题，首先要关注问题中的角，特别是角的和、差、倍、半三角变换问题，首先要关注问题中的角，特别是角的和、

35、差、倍、半关系，当然这些关系也不是一成不变的，如适当时候，我们也可以把关系，当然这些关系也不是一成不变的，如适当时候，我们也可以把看作是看作是30为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能说三角函数的恒等变换常用的规则是：化繁为简、化高为低说三角函数的恒等变换常用的规则是：化繁为简、化高为低(降次降次)，化复合角为单角化复合角为单角(和差角公式和差角公式)，化切割为弦，化大角为小角，和差化，化切割为弦，化大角为小角，和差化积，积化和差。所有这些希望同学们通过自己的实践慢慢揣摸积，积化和差。所有这些希望同学们通过自己的实践慢慢揣

36、摸，它的功能可以把任意函数而同角的正、余弦函数转化为只含有一个，它的功能可以把任意函数而同角的正、余弦函数转化为只含有一个函数的形状，这个变换对于函数三角函数的性质，诸如确定三角函数函数的形状，这个变换对于函数三角函数的性质，诸如确定三角函数的周期、最值、划分单调区间等都是十分有用的，掌握好这个公式在的周期、最值、划分单调区间等都是十分有用的，掌握好这个公式在一些看似困难的问题都能巧妙地解决，所以课本一些看似困难的问题都能巧妙地解决，所以课本P234中例中例12的内容的内容单独安排一节课单独安排一节课思考：把下列各式化为只含有一个三角函数的形式思考：把下列各式化为只含有一个三角函数的形式31为

37、深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能(ii)-sinx+cosx，(iii)asinx+bcosx原式原式=cos60sinx-sin60cosx=sin(x-60)师：很好，象这样的问题只要运用三角函数的和差角公式即可了，师：很好，象这样的问题只要运用三角函数的和差角公式即可了，和正弦，那么函数能分别看作正弦、余弦的应具备什么条件？和正弦，那么函数能分别看作正弦、余弦的应具备什么条件？生：函数的平方和必须为生：函数的平方和必须为1师：那么，函数的平方和不是师：那么，函数的平方和不是1的情况应怎样操作？后面的练习将的情况应

38、怎样操作？后面的练习将32为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能这样这道题也可以这样处理：这样这道题也可以这样处理：原式原式=sin30sinx-cos30cosx=-(cos30cosx-sin30sinx)=-cos(x+30)虽然这两种做法的最后结果形式也有差异，但它们实质也是相等的，虽然这两种做法的最后结果形式也有差异，但它们实质也是相等的，这两种解法的结论都符合题意这两种解法的结论都符合题意弦由于余弦值为正号、正弦值为负号，这样的角终边位置在第四象弦由于余弦值为正号、正弦值为负号，这样的角终边位置在第四象限限 3

39、3为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能原式原式=sinxcos300-cosxsin300=sin(x+300)最后提及的处理方法是解决此类问题的通法，请同学们观察这种解法最后提及的处理方法是解决此类问题的通法，请同学们观察这种解法的几何特征，希望大家在处理同类问题时统一地用这种解法的几何特征，希望大家在处理同类问题时统一地用这种解法现在再请一位同学提出第二题的处理办法现在再请一位同学提出第二题的处理办法生生2：由于本题函数的平方和不为：由于本题函数的平方和不为1，为了能将它们转化为正、余弦值，为了能将它们转化为正、余弦

40、值，应考虑到应考虑到(-1)2+12=2可以这样解决之可以这样解决之师：很好，应该说你们已揣摸出解这类题的真谛了，现在看看更一般师：很好，应该说你们已揣摸出解这类题的真谛了，现在看看更一般的形式，即练习的形式，即练习3(继续请学生回答问题继续请学生回答问题)生生3：模仿练习二的作法：模仿练习二的作法34为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能35为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能本，做以下几个练习，巩固公式的变形，体本，做以下几个练习，巩固公式的变形

41、，体会这个公式的应用会这个公式的应用练习题：练习题：学生做练习，教师巡视、答疑、提示，用时学生做练习，教师巡视、答疑、提示，用时约约15分钟，并请一些学生板演分钟，并请一些学生板演练习题解答练习题解答36为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能特殊角的一次换式，很快可获得原题的解答特殊角的一次换式，很快可获得原题的解答2求求y=(1+sinx)(1+cosx)的值域的值域分析：首先去括号是必然的，注意到分析：首先去括号是必然的，注意到(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx原式可作如下转化，原式可作如下转化，y=1+

42、(sinx+cosx)+sinxcosx令令sinx+cosx=t37为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能t2(1+3y)+2t+1-y=0tR，=4-4(1-y)(1+3y)0可得可得3y2-2y038为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能另一种解法则是利用一次换式，简捷地解决问题另一种解法则是利用一次换式，简捷地解决问题解：由已知得解：由已知得2ycosx-y=sinx+1，sinx-2ycosx=-y-1y2+2y+11+4y2得得 3y2-2

43、y0，39为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能(三三)作业作业1读书读书P234中例中例12P2362书面作业书面作业P236中中4，P238中中7补充作业补充作业(3)半圆半圆O的直径为的直径为2，A是直径延长线上一点，是直径延长线上一点，OA=2，B是半圆上任一点，以是半圆上任一点，以AB为一边作正三角形为一边作正三角形ABC设设AOB=，四边形，四边形OACB面积为面积为S()，(1)求求S()的解析的解析式式(2)问问B在什么位置时，四边形在什么位置时，四边形OACB的面积最大并求的面积最大并求最大面积最大面积教学反思：教学反思：40