2019学年高中数学 第三章 导数在研究函数中的应用 3.3.2 极大值与极小值学案 苏教版选修1-1.doc

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1、13.3.23.3.2 极大值与极小值极大值与极小值学习目标：1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用(难点) 2.掌握函数极值的判定及求法(重点)自 主 预 习探 新 知1函数极值的定义极大值设函数yf(x)在xx0及其附近有定义，如果f(x0)的值比x0值附近所有各点的函数值都要大，则称f(x0)是函数f(x)的一个极大值函数的极值极小值设函数yf(x)在xx0及其附近有定义，如果f(x0)的值比x0值附近所有各点的函数值都要小，则称f(x0)是函数f(x)的一个极小值.2.求函数yf(x)的极值的方法解方程f(x)0，当f(x0)0 时：(1)如果

2、在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极小值基础自测1判断正误：(1)函数f(x) 有极值( )1 x(2)函数的极大值一定大于极小值( )(3)若f(x0)0，则x0一定是函数f(x)的极值点( )【解析】 (1).f(x) 在(，0)，(0，)上是减函数，故无极值1 x(2).反例，如图所示的函数的极大值小于其极小值(3).反例，f(x)x3，f(x)3x2，且f(0)0，但x0 不是极值点【答案】 (1) (2) (3)2函数yx 的极大值为_1 x【解析】 y1，令y0 得x21，x1.

3、1 x2当x(，1)时，y0.当x(1,0)时，y0.2yx 在x1 处取得极大值y2.1 x【答案】 2合 作 探 究攻 重 难求函数的极值求下列函数的极值：(1)y2x36x218x3；(2)y2x . 8 x【导学号：95902226】思路探究 f (x0)0 只是可导函数f(x)在x0处有极值的必要条件，只有再加上x0左右导数的符号相反，才能判定函数在x0处取得极值【自主解答】 (1)函数的定义域为 R R.y6x212x186(x3)(x1)，令y0，得x3 或x1.当x变化时，y，y的变化情况如下表：x(，3)3(3,1)1(1，)y00y极大值 57极小值7从上表中可以看出，当x

4、 3 时，函数取得极大值，且y极大值57.当x 1 时，函数取得极小值，且y极小值7.(2)函数的定义域为(，0)(0，)，y222，8 x2(14 x2)(12 x)(12 x)令y0，得x2 或x2.当x2 时，y0；当2x0 时，y0.即x2 时，y取得极大值，且极大值为8.当 0x2 时，y0；当x2 时，y0.即x2 时，y取得极小值，且极小值为 8.规律方法 求函数极值的方法1求fx0 在函数定义域内的所有根；2用方程fx0 的根将定义域分成若干个小区间、列表；3由fx在各小区间内的符号，判断fx0 的根处的极值情况.跟踪训练1求函数yx44x35 的极值【解】 y4x312x24

5、x2(x3)3令y4x2(x3)0，得x10，x23.当x变化时，y，y的变化情况如下表：x(，0)0(0,3)3(3，)y00y不是极值极小值22故当x3 时函数取得极小值，且y极小值f(3)22.已知函数的极值求参数已知函数f(x)ax3bx2cx(a0)在x1 处取得极值，且f(1)1.(1)求常数a，b，c的值；(2)求函数的极大值和极小值思路探究 可导函数的极值点一定是使导函数值为零的点，因此f(1)0，f(1)0，再由f(1)1，得到三个关于a，b，c的方程，联立可求得a，b，c的值【自主解答】 (1)f(x)3ax22bxc，由x1 是极值点，得Error!又f(1)1，所以ab

6、c1. 联立，解得Error!，经验证a，b，c的值符合题意(2)由(1)得f(x)x3x，所以f(x)x2 (x1)(x1)，1 23 23 23 23 2当x1 或x1 时，f(x)0；当1x1 时，f(x)0.所以，当x1 时，f(x)有极大值f(1)1；当x1 时，f(x)有极小值f(1)1.规律方法 已知函数极值，求参数的值时，应注意两点：1常根据极值点处导数为 0 和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解.2因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.跟踪训练2已知函数f(x)x3ax2bxa2在x1 处取得极值 10，求常数a、b的值

7、. 【导学号：95902227】【解】 f(x)3x22axb，依题意得Error!即Error!解得Error!或Error!但由于当a3，b3 时，f(x)3x26x30，故f(x)在 R R 上单调递增，不可能在x1 处取得极值，所以Error!不符合题意，舍去；4而当Error!时，经检验知符合题意，故a，b的值分别为 4，11.函数极值的综合应用探究问题1已知三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0)，若f(x)0 的两个根是x1，x2，且x1x2，分别写出当a0 和a0 时函数f(x)的单调区间【提示】 由题意可知f(x)a(xx1)(xx2)，当a0 时，令f(x)0 可得xx1

8、或xx2，令f(x)0 可得x1xx2，所以当a0 时，函数f(x)的单增区间是(，x1)，(x2，)，单调减区间是(x1，x2)同理当a0 时，函数f(x)的单增区间是(x1，x2)，单减区间是(，x1)，(x2，)2当a0 时，分别判断当x和x时探究 1 中的三次函数f(x)的变化趋势是怎样的？当a0 时呢？【提示】 当a0 时，若x，则f(x)，若x，则f(x)；当a0 时，若x，则f(x)，若x，则f(x).3设a0，讨论探究 1 中的三次函数f(x)的图象和x轴交点的个数？【提示】 因为a0，所以函数f(x)的单调增区间是(，x1)，(x2，)，单减区间是(x1，x2)所以f(x)的

9、极大值为f(x1)，极小值为f(x2)，显然f(x1)f(x2)，所以当f(x2)0或f(x1)0 时，函数f(x)的图象和x轴只有 1 个交点；当f(x1)0 或f(x2)0 时，函数f(x)的图象和x轴有 2 个交点；当f(x1)0 且f(x2)0 时，函数f(x)的图象和x轴有 3 个交点已知函数f(x)x33ax1，a0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x1 处取得极值，直线ym与yf(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围思路探究 解(1)需要对参数a分类讨论解决(2)可根据在x1 处取得极值的条件，解出a的值，进而求m的取值范围【自主解答】 (1)f(x)3x23

10、a3(x2a)，当a0 时，对xR R，有f(x)0，所以当a0 时，f(x)的单调递增区间为(，)；当a0 时，由f(x)0，解得x或x，aa由f(x)0，解得x，aa5所以当a0 时，f(x)的单调递增区间为(，)，aaf(x)的单调递减区间为(，)aa(2)因为f(x)在x1 处取得极值，所以f(1)3(1)23a0.所以a1.所以f(x)x33x1，f(x)3x23.由f(x)0，解得x11，x21.由(1)知f(x)的单调性，可知f(x)在x1 处取得极大值f(1)1 ，在x1 处取得极小值f(1)3.因为直线ym与函数yf(x)的图象有三个不同的交点，又f(3)193，f(3)17

11、1，结合f(x)的单调性和极值情况，它的图象大致如图所示，结合图象，可知m的取值范围是( 3,1)规律方法 应用导数求函数的极值，来确定函数图象的交点个数或方程的根的个数，是一种很有效的方法，它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数.跟踪训练3已知函数f(x)x34x4.试分析方程af(x)的根的个数1 3【解】 f(x)x34x4，f(x)x24(x2)(x2)由f(x)0 得1 3x2 或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)极大值极小值当x2 时，函数取得极大值f(2).

12、当x2 时，函数取得极小值f(2) .28 34 3且f(x)在(，2)上递增，在(2,2)上递减，在(2，)上递增根据函数单调性、极值情况，它的图象大致如图所示6结合图象：当a或a 时，方程af(x)有一个根28 34 3当 a时，方程af(x)有三个根4 328 3当a或a 时，方程af(x)有两个根28 34 3构建体系当 堂 达 标固 双 基1下列四个函数中：yx3；yx21；yx2；y2x 能在x0 处取得极值的函数是_(填序号)【解析】 均为单调函数，不存在极值，在x0 处取得极值【答案】 2下列结论：导数为零的点一定是极值点；如果在x0附近的左侧f (x)0，右侧f (x)0，那

13、么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f (x)0，右侧f (x)0，那么f(x0)是极小值；如果在x0附近的左侧f (x)0，右侧f (x)0，那么f(x0)是极大值其中正确的是_. 【导学号：95902228】【解析】 根据函数极值的概念，依次判断各选项知，选项，均错，选项正确【答案】 3函数f(x)x33x21 在x_处取得极小值【解析】 f(x)3x26x3x(x2)，当x(0,2)时，f(x)0，f(x)递减，7当x(，0)或(2，)时，f(x)0，f(x)递增，在x2 处函数取得极小值【答案】 24函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如图

14、336所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有_个极小值点图 336【解析】 由题图可知，在区间(a，x1)，(x2,0)，(0，x3)内f(x)0；在区间(x1，x2)，(x3，b)内f(x)0，即f(x)在(a，x1)内单调递增，在(x1，x2)内单调递减，在(x2，x3)内单调递增，在(x3，b)内单调递减所以，函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极小值点，极小值点为xx2.故填 1.【答案】 15求函数f(x)x2xln x2 的极值. 【导学号：95902229】【解】 函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)2x1 ，1 x2x1x1 x当 0x 时f(x)0，当x 时f(x)0，1 21 2函数f(x)在区间单调减，在区间单调递增，(0，1 2)(1 2，)当 x 时，函数 f(x)取得极小值为ln 2，无极大值12114