2019学年高中数学 学业分层测评8 平面直角坐标系中的伸缩变换 苏教版选修4-4.doc

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1、1学业分层测评学业分层测评( (八八) ) 平面直角坐标系中的伸缩变换平面直角坐标系中的伸缩变换(建议用时：45 分钟)学业达标1在平面直角坐标系中，求下列方程经过伸缩变换Error!后的方程(1)2x3y0；(2)x2y21.【解】 由伸缩变换Error!得到Error!(1)将代入 2x3y0，得到经过伸缩变换后的方程为xy0，所以，经过伸缩变换Error!后，直线 2x3y0 变成直线xy0.(2)将代入x2y21，得1.所以，经过伸缩变换Error!后，方程x2 4y2 9x2y21 变成1.x2 4y2 92伸缩变换的坐标表达式为Error!曲线C在此变换下变为椭圆x21.求曲线y2

2、 16C的方程【解】 把Error!代入x21，y2 16得x2y21，即曲线C的方程为x2y21.3设F：(x1)2(y1)21 在Error!的伸缩变换下变为图形F，求F的方程【解】 由Error!得Error!所以(x1)2(y1)21 变换为(x1)2(y1)1 321，即(y1)21，所以F的方程是(y1)21.x32 9x32 94双曲线1 经过伸缩变换能化为等轴双曲线x2y21 吗？x2 16y2 9【解】 双曲线方程1 可以化为( )2( )21.令Error!则x2y21.所x2 16y2 9x 4y 3以双曲线1 可以通过伸缩变换化为等轴双曲线x2y21，具体步骤是：按伸缩

3、系x2 16y2 9数 向着y轴进行伸缩变换，再将曲线按伸缩系数 向着x轴进行伸缩变换1 41 35已知G是ABC的重心，经过伸缩系数k向着x轴(或y轴)的伸缩变换后，得到G和ABC.试判断G是否为ABC的重心【解】 设ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，则G(2，)经过伸缩系数k向着x轴的伸缩变换后，得到ABC的x1x2x3 3y1y2y3 3三个顶点及点G的坐标分别为A(x1，ky1)、B(x2，ky2)，C(x3，ky3)，G(，k)由于ABC的重心坐标为(，)，x1x2x3 3y1y2y3 3x1x2x3 3ky1ky2ky3 3所以G仍然

4、是ABC的重心同理可证，若伸缩变换向着y轴方向，G同样也是ABC的重心6已知：ABC经过伸缩变换Error!(k0，且k1)后，得到ABC.求证：ABC和ABC相似，且面积比为k2.【证明】 设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则A(kx1，ky1)、B(kx2，ky2)所以ABkx1kx22ky1ky22|k|k|AB.x1x22y1y22同理可得AC|k|AC，BC|k|BC，所以ABCABC，所以AA，SABC (|k|AB)(|k|AC)sin A1 2k2 (ABAC)sin Ak2SABC.1 27设P1、P2是直线l上的两点，点P是l上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数

5、，使PP2，称为点P分有向线段P1P2所成比设P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，P1P点P分有向线段P1P2所成比为，经过伸缩变换后，点P1、P2和P分别变为P1、P2和P.求证：P1、P2和P三点依然共线，且P分有向线段P1P2所成比等于.【导学号：98990023】【证明】 设P(x0，y0)，由，得(x0x1，y0y1)(x2x0，y2y0)，P1PPP2所以Error!设给定伸缩变换为Error!则有P1(k1x1，k2y1)、P2(k1x2，k2y2)、P(k1，k2)x1x2 1y1y2 1(k1k1x1，k2k2y1)(，)，P1Px1x2 1y1y2 1k1x2x1 1k

6、2y2y1 1(k1x2k1，k2y2k2)(，)，PP2x1x2 1y1y2 1k1x2x1 1k2y2y1 13所以.P1PPP2所以P1、P2和P三点依然共线，且P分有向线段P1P2所成比等于.能力提升8在下列平面直角坐标系中，分别作出双曲线1 的图形：x2 16y2 9(1)x轴与y轴具有相同的单位长度；(2)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的 2 倍；(3)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的 倍1 2【解】 (1)建立平面直角坐标系，使x轴与y轴具有相同的单位长度，双曲线1 的图形如下：x2 16y2 9(2)如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的 ，双曲线1 2x2 161 的图形如下：y2 9(3)如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的 ，双曲线1 2x2 161 的图形如下：y2 9