2019学年高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.3 全称量词与存在量词学案 苏教版选修1-1.doc

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1、11.31.3 全称量词与存在量词全称量词与存在量词1.3.1 量词1.3.21.3.2 含有一个量词的命题的否定含有一个量词的命题的否定学习目标：1.理解全称量词和存在量词的意义，能准确地利用全称量和存在量词叙述数学内容(重点) 2.能判定全称命题与存在性命题的真假(难点) 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定(重点、易混点)自 主 预 习探 新 知1全称量词与全称命题(1)“所有” 、 “任意” 、 “每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，通常用符号“x”表示“对任意x” (2)含有全称量词的命题称为全称命题，一般形式为：xM，p(x)2存在量词和存在性命题(1)“有一个” 、

2、 “有些” 、 “存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，通常用符号“x”表示“存在x” (2)含有存在量词的命题称为存在性命题，一般形式为：xM，p(x)3全称命题的否定全称命题pp结论xM，p(x)xM，p(x)全称命题的否定是存在性命题4.存在性命题的否定存在性命题pp结论xM，p(x)xM，p(x)存在性命题的否定是全称命题基础自测1判断正误：(1)“有些” “某个” “有的”等短语不是存在量词( )(2)全称量词的含义是“任意性” ，存在量词的含义是“存在性” ( )(3)全称命题一定含有全称量词，存在性命题一定含有存在量词( )(4)xM，p(x)与xM，p(x)的真假性相

3、反( )【解析】 (1).“有些” “某个” “有的”都表示部分，是存在量词(2).由全称量词与存在量词的定义可知(2)正确(3).有些全称命题与存在性命题可能省略量词(4).命题p与其否定p真假性相反【答案】 (1) (2) (3) (4)22命题“xR R，|x|x20”的否定是_. 【导学号：95902036】【解析】 原命题为全称命题其否定为“x0R R，|x0|x ；1 2(3)x0，y0N N，使x0y03.2思路探究 结合全称命题与存在性命题的含义及相关数学知识进行判断【自主解答】 (1)a0，当x1 时，axa0，成立，(1)为真命题(2)x2x1 ，x2x1 恒成立，(2)是

4、真命题(x1 2)23 43 41 21 2(3)当x00，y03 时，x0y03 满足题意，(3)是真命题2规律方法 全称命题与存在性命题真假判断的方法：1对于全称命题“xM，px”：要证明它是真命题，需对集合M中每一个元素x，证明 px成立；要判断它是假命题，只要在集合M中找到一个元素x0，使 px0不成立即可.通常举反例2存在性命题的真假判断要结合存在量词来进行，在限定的集合内，看能否找到相应的元素使命题成立，能找到，命题为真，否则为假.跟踪训练2判断下列命题中的真假：(1) xR,R,2x10 ；(2)xN N*，(x1)20；(3)x0R R，lg x00”是全称命题，易知 2x10

5、 恒成立，故是真命题；(2)命题“xN N*，(x1)20”是全称命题，当x1 时，(x1)20，故是假命题；(3)命题“x0R R，lg x00，真命题xR R，x22x2(x1)2110 恒成立，r是真命题(4)s：xR R，x310，假命题x1 时，x310，s是假命题规律方法 1写一个命题的否定的步骤：首先判定该命题是“全称命题”还是“存在性命题” ，并确定相应的量词，其次把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词同时否定结论2对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定跟踪训练3写出下列命题的否定：(1)p：一切分数都是有

6、理数；(2)q：有些三角形是锐角三角形；(3)r：x0R R，xx0x02; 2 0(4)s：xR,R,2x40.【解】 (1)p：有些分数不是有理数；(2)q：所有的三角形都不是锐角三角形；(3)r：xR R，x2xx2；(4)s：x0R,R,2x040.全称命题与存在性命题的综合应用5探究问题1(1)“xR R ，ax2”的含义是什么？ (2)“x1,2 ，ax2”的含义是什么？若上述两个命题是真命题，试分别求出a的取值范围【提示】 (1)“xR R ，ax2”的含义是方程x2a0 有实数根，所以其判别式4a0，解得a0；(2)“x1,2，ax2”的含义是方程x2a0 在1,2内有实数根，

7、也就是函数yx2，x1,2和函数ya的图象有交点，因为x1,2，所以x21,4，所以a的取值范围是 1a4.2(1)“x1,2，ax2”的含义是什么？ (2)“x1,2，ax2”的含义是什么？若上述两个命题是真命题，试分别求出a的取值范围【提示】 (1)“x1,2，ax2”的含义是对于所有的，一切在1,2内的x，不等式ax2都恒成立，所以a要小于x2的最小值因为x1,2，所以x21,4，所以a1；(2)“x1,2，ax2”的含义是在1,2内至少有一个x ，使不等式ax2成立，此时只要a不大于x2的最大值即可因为x1,2，所以x21,4，所以a4.(1)若命题“x1，)，x22ax2a恒成立”是

8、真命题，则实数a的取值范围是_(2)已知函数f(x)4|a|x2a1，若命题：“x0(0,1)使f(x0)0”是真命题，则实数a的取值范围是_. 【导学号：95902039】思路探究 (1)由于此全称命题是真命题，所以可以推出a的值，求出在x1，)时，f(x)mina，利用一元二次不等式与二次函数的关系解题(2)由于f(x)是单调函数，在(0,1)上存在零点，再由 4|a|0 应有Error!解不等式组求出a范围【自主解答】 (1)方法一：由对任意x1，)，令f(x)x22ax2a恒成立，所以f(x)(xa)22a2可转化为对任意x1，)，f(x)mina成立，即对任意x1，)，f(x)min

9、Error!由f(x)的最小值f(x)mina，知a3,1方法二：由x22ax2a，即x22ax2a0，令f(x)x22ax2a所以全称命题转化为对任意x1，)，f(x)0 恒成立，所以0 或Error!即2a1 或3a2，所以a3,16(2)由：“x0(0,1)，使f(x0)0”是真命题，且由 4|a|0 得Error!即Error!解得a.(1 2，)【答案】 (1)3,1 (2)(1 2，)规律方法 应用全称命题与存在性命题求参数范围的常见题型1全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以可以代入，也可以根据函数等数学知识来解决2存在性命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在” “不存在” “是否存在”等语句表达解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设跟踪训练4若存在x0R R，使ax2x0a0 时，必需44a20，解得10；(4)若l，则直线l垂直于平面内任一直线【解】 (1)xZ Z，x1.(2)x00.(4)若 l，则a，la.