数学学科注重数学本质提高数学素养（1）.doc

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1、数学论文之注重数学本质 提高数学素养（1） 注重数学本质 提高数学素养（1）视频下载张奠宙 教授 数学教育家 华东师范大学唐彩斌 中学高级老师 浙江杭州现代小学数学教育研究中心唐：各位老师大家好。今天我们交流研讨的话题是“注重数学本质，提高数学素养”。讨论小学数学教学中常见的“数学征询题”，为什么强调是数学征询题呢，是由于我们希望今天的交流能突出数学的本质，协助大家一起提升数学素养。也正如大家常说“教什么比方何样教更重要”，我们今天讨论的就应该属于“教什么”的范畴。张：各位老师，大家可能都听到一句俗语叫做要给学生一杯水，老师必须有一桶水。因而我们今天来谈谈小学数学的内容，大家不会觉得太简单吗？

2、实际上我们要关注小学数学教材里边背后的内容，确实是说我们是要源于教材但是要高于教材；另外，确实是要居高临下，我们有一些更高的观点来观察小学教材的内容；其次，我们要有全面的整体的认识，明白小学数学教材他在整个教育当中的地位和作用，然后，我们就能够心中有数；最后，小学教材尽管看来比拟简单，但是它与时俱进，仍然有许多时代特色需要我们展示，需要我们深化的理解。因而，我们愿意给大家来讨论，小学当中的一些数学征询题，我想，希望给各位理解教材，理解课程标准有所协助。【PPT】（PPT内容为画线部分，下同）一、数与代数领域征询题的讨论10为什么是自然数唐： 如今我们就按照小学数学的几大领域来选择一些征询题来详

3、细分析。我们都明白，小学数学中最大的学习领域是数与代数领域。首先我们讨论关于自然数。大家可能会征询： 自然数谁不明白？ 这里还会有数学征询题吗？事实上与时俱进地看，自然数的征询题还真不少。大家可能争论最多的是“0本来不作为自然数，如今如何又说是自然数了，为什么”？张： 在上世纪90年代往常，自然数不包括0，但是1993之后，就包括0在内，这因而是一个规定所产生的，那是在1993年公布的中华人民共和国国家标准里面有一句话说规定自然数包含0，从此之后，0就属于自然数的范围了。【PPT】唐： 从近年来编写新课标小学数学教材中，我们能够觉察教材也都按照上述国家标准进展了修正。详细的表述是：用0表示“一

4、个物体也没有”所对应的计数。【PPT】只是在教学中，有些老师觉得把0作为自然数，与传统不同，不太适应。张： 这只是适应征询题。0 是自然数有许多理由。首先， 人的经历是，从无到有。 魔术师先交代两手空空， 再变出一只兔子， 然后两只兔子。铅笔盒中本来是空的，然后装进一支铅笔、两只等等。第二，更重要的是书写的需要， 十的位置记数写法是10。【PPT】 没有0， 就写不出10，20，30， 100。 因而0，1，29， 共十个数字是最根本的。第三， 0的出现能够保证自然数集有单位元 a+0 =0+a=a. 【PPT】在自然数中550，假设0不是自然数，那么55岂不是不能减了。此外，大数学家冯诺依曼

5、用集合论的语言写自然数， 第一个是“空集”， 用0 表示，【PPT】 然后把以空集为元素的集合叫做1， 依次类推。从文化的角度看来“有”也是从没有开场的。唐： 这么说， 0 是自然数的说法，既有生活经历， 又符合数学规则， 还有文化背景和科学按照， 是符合情理的。 说起适应，从某种意义上是老师的适应，学惹事实上没有如此的适应。从这个角度来说，有时有些新的事物老师认为难接受，但学生反而觉得好接受，可能也是如此的缘故吧。2数位的分级是三位一级仍然四位一级唐：下面的类似征询题是关于数位的分级。自然数用十进位记数。在小学里教材上，读数与写数的时候，一向强调四位一级，分为个级、万级、亿级，但是在现实生活

6、，不管是银行里的计数，仍然信息技术中的计数都是三位一级，即个、千、百万，从数学角度上如何样看这种现象？ 张：这个征询题我觉得应该“与时俱进”，在往常我关注到，小学数学教学中只讲四位一级，只讲个、万、亿。但是如今与国际接轨之后“千”的用处越来越大。因而说四位计数是我们的传统，必须保持，【PPT】我们的学生应该明白，三位一级更是国际惯例，又必须与国际接轨，【PPT】我们也应该让学生掌握。两种并存，是必定趋势，逐步与国际接轨。我们也留意到，像尺和寸如今就用的比拟少了，米和厘米用的比拟多了。今后，会通过社会的选择来确定哪一种是主要的。我想，两种都要学，这大概是不可防止的。唐：听张老师这么一说，我们明白

7、既要保存传统，又要与国际接轨。也有学者把数位的分级与空间图形结合起来，认为“三位一级”更符合数形结合的规律。详细地说，一个小立方体表示1， 那么10个一排确实是10，10个10排成1个面确实是一个百，每一百算一层，10层确实是一个新立方体，表示“千”。 再从“千立方体”出发， 10个一排， 10排构成面， 10个面叠成新的立方体确实是一百万。这就特别形象地描绘出“三位一级”的构造。【PPT】如此看来，“三位一级”也是能够通过数形结合来描绘这种构造。张：我还留意到，不管是“四位一级”仍然“三位一级”，百万是大家共用的名词， 例如“百万雄师”，“和百万英镑， 中外都用百万描绘特别多。因而对百万我们

8、还应该多多的关注。唐：张老师说起那个百万，就不仅让我想起我们经常看到的一些课题教学。我们经常听到如此的片段，1百万有多大？让学生认识 “1百万颗黄豆有多少体积。” 【PPT】张：当初设计如此的教案，它的初衷是好的，确实是要大家体验一下一百万是如何样过来的。它一定是从一开场，然后到十、百、千一点一点数出来的。当数目特别大的时候，数起来特别费劲。让儿童经历如此一个过程仍然特别有好处。不过，我又觉得，我们本质上仍然要关注100万这个数的构造。至于说100万粒米有多大，这个不是数学要研究的征询题，这是个别的体验，100万粒米， 100万颗花生， 100万个篮球有多大等像如此的征询题是没有穷尽的，也不是

9、我们每个人都需要去体验的。因而。我觉得仍然要把精力放在100万的构造上面，比方100万里面有多少个1000，100万里面有多少个1万，我们每人捐款1000元，要捐到100万需要多少个人捐，如此的素材不仅有现实背景，而且还有数学意义，可能更值得我们去考虑。3分数的定义唐： 听张老师这么说，确实是我们在组织如此的活动的时候，一方面要关注现实背景，但是更重要的是要关注数学的意义。前面我们主要讨论的是关于自然数的征询题。接下来我们要讨论的是一个比拟难学，但却特别重要的课题：分数。我想我们从分数的定义开场谈起。教材特别多都是从份数的定义开场的。【PPT】 一般都如此描绘：单位1平均分为假设干份，表示如此

10、的一份或几份的数叫做分数。【PPT】如此的描绘听起来比拟自然，也符合“几分之几”的称呼。因而是引入分数的首选。张老师你如何看。张：对，用份数的定义来引入分数是特别自然的。但我觉得如此也有缺点，最后是一份或几份，那终究是自然数仍然分数？如此不太明确。因而必须尽快过渡到分数的“商”定义，分数的定义确实是，分数是两个正整数a，b，a 除以b 的商。因而分数是一个商，这个概念我们如今留意的不够，而这恰恰是我们学习分数的核心所在。用a除以b，当除的进时（整除），确实是原来的自然数，没什么征询题，征询题就在除不进的情况下面，那么我们就得到了一个分数，这确实是分数因而要成为分数根本的缘故，确实是除不进的情况

11、下需要分数，除的进就不需要分数了。例如1/4， 它是一个整体平均分为4份中的一份。 但是， 这一份终究有多大呢？ 1除以4的商是多大呢？它一定比1小， 却又比0大。因而我们在数射线上能够标出它的位置：它在0和1之间，当中这一点是一半确实是1/2，把1/2和0之间再分一半，那个地点就应该是1/4，如此一画，数的概念就出来了。这就显示它是一个新的数，是原来自然数所没有的数，它是我们如今要研究的对象。商的分数的定义比份数的定义要深化一步，表达了分数出现的必要性，特别是商和除法之间的关系，我想，假设理解了这一点，分数的价值才能完好的表达。份数定义还停留在“几份”的考虑上，还没有摆脱自然数的表示。1份，

12、几份，是分数仍然自然数？ 因而必须尽快过渡到分数的“商”定义。 0 1【PPT】唐：刚刚张老师也说起分数与除法的关系，但是往常我们描绘分数与除法的关系时只讲分数与除法之间的关系，一般描绘为：分数中的分子相当于除法中的被除数，分母相当于除法中的除数。但到底是如何样的一种关系，尚不明晰。通过刚刚的介绍分数的商的定义，可能分数是一个新的数。张老师，你刚刚还提到了分数的另外一种定义，那是一种如何样的定义？张：分数的第三个定义是比的定义两个自然数 a比b, b 0, 即a/b 叫做分数。比和除，本来是一个征询题的两个方面，我的意思是说，用比的概念之后，分数就能够扩大它的应用范围，使我们的视野更宽阔。我记

13、得我曾经请你做过一个实验，你把实验向大家介绍一下。唐：好的，我们来分享一下这个实验的结果。上次张老师布置我做过一个小调查，我们就组织了100多名学生，分别来自三、四、六年级，调查的方法是，确实是当学生看到屏幕上有一个圆，我们把圆分成4份，其中的一份涂成蓝色，这时学生会想到哪些分数呢？我们给学生一些时间，让他们想，结果我们觉察：（时间2分钟）【PPT】测试结果： 【PPT】 总人数 1/4 3/4 1/2 4/1 1/3 3/1 三年级 39 38 14 0 四年级 39 36 17 10 8 8 2 六年级 38 36 8 3 3 合计 116 110 39 13 8 11 2 百分率 94.

14、83 33.62 11.2 6.90 9.48 1.72 张老师。你如何看这个数据。张：我想，比的定义和我们原来份数的定义是相关的，份数的定义是说一个整体平均分之后，其中的几份。从这个小调查看出，以整个圆作为“整体单位”的思维定势仍然比拟强的。但整体不仅仅是一个圆，也能够是1个半圆，或3/4个圆，因而整体是能够变化的，是能够有多种多样的选择的。因而就一个大学的老师来看，我首先看到的是在1个圆里面1快蓝3块白，蓝和白之比是1：3，然后立即就认为是一个1/3。因而说不能把一个整圆分成4等分作为一种定式，以致于看不到一块蓝三块白之间的比。我想比的定义也许和份数之间的灵敏转换有一定的关系，我也希望大家

15、把份数和比的定义连接起来考虑。唐： 假设电视机前面的老师也有兴趣的话，你也不妨对你班里的学生做如此的调查，或许你能更加深化的认识到刚刚张老师所讲的从份数定义如何样过渡到商的定义的重要性。由于在这个过渡的过程中，让我们明确了分数是不同于自然数的一种“新”的数，是我们的新朋友。当我们把1/3 ，1/6等等分数标在数轴（数射线）上的时候 ，新数的相貌就完全呈现出来了。【PPT】4分数根本性质唐：分数学习中有一个重要的性质，是老师们都特别熟悉的，确实是分数的根本性质。但是所谓根本性质，我们总是如此描绘：分数的分子和分母同时乘或除以一样的数（0除外），分数的大小不变。除了如此的描绘，终究是什么性质呢？并

16、没有明确的词语，好似总得有一个特别的名字才好。从数学的角度应该如何描绘？张：我想，这确实是分数相等的性质，在自然数里面，两个数相等，这两个数的表达是一样的，2等于2，2确实是2。在分数里面，不同方式的分数，它是相等的，但相等的东西能够不一样，这确实是一个新征询题了。在数学上面，这叫做“等价类”。确实是把不同表现方式的东西归为一类，如此，我们在观察征询题时，就不仅是看一个数，而是看一群数，一类数，这类数我们就叫做“等价类”。这个思想在教材当中未见得要出现，但是作为老师我们要认识到，自从进入分数范围内以后，这个根本性质，实际上是说明了：不同的东西能够归为一类，但是它们有个标准，确实是数值相等。“等

17、价类”是一种特别重要的数学思想，也是我们处理分数不可缺少的一个考虑。大家也能够看这个“等价类”例子，1/2 所在的等价类，各个分数彼此相等： 1/2 = 2/4= 3/6 = n/2n = 【PPT】唐： 听张老师这么一说，确实是说有不同分数的外形，但是它的数值是一样的，假设要派代表的时候，我们都特别熟悉，叫做最简分数。那么用最简分数作代表行不行？你能不能给我们结合详细的事例形象地说明一下？张： 我能够有两个比喻：一个是：分数好似一个人能够穿不同的衣服。体育课穿运动服，上课穿校服，正式场合穿西装，文艺演出穿演出服， 休闲时穿休闲服等等。不同场合穿不同衣服，尽管最常用的是校服，但校服不能代替其它

18、的服，但人是同一个。另一个是：分数又好似我们的学校。里面的成员都是平等的，都能代表学校，但是各有各的作用。校长会议校长去参加，数学老师活动请数学老师去，5年级学生的竞赛则必须由5年级学生参与。因而我想，“等价类”确实是如此，大家都是平等的，不同的场合要有不同的表示方式。最简分数因而重要，但分数相加需要通分， 最简分数就不够用了。就如校长尽管重要，却不能代表一切。因而你刚刚提的征询题特别好，所谓分数的根本性质，确实是分数相等的性质。什么叫做分数相等，确实是如此的定义。唐：通过张老师如此形象地描绘，分数的这个等价性大家一定明晰些了。那为什么分数要出如此一个根本性质，而自然数没有呢？张：相等的自然数

19、只有一种方式。 但是相等的分数却有不同的方式。 而且分数的约分，通分在后续学习中特别有用。因而必须认真学习，加深理解。唐：基于以上的讨论，我感到分数教学对我们老师的启示有以下两点： 第一， 分数是“新朋友”，是除不尽情形下引进的新数。分数的本质在于使得自然数的除法总能够施行，因而分数的“商定义”显得十分重要。 第二。分数是一个大家庭，相等的分数能够有不同的方式。等价类的思想应该有所浸透。【PPT】 5小数与分数的关系唐：说完了分数，我们来讨论和分数亲切相关的小数，小数与分数的关系，我们常常如此说：小数是分数的另一种方式。十分之几的分数能够写成一位小数，百分之几的分数能够写成两位小数，依此类推，

20、因而一般都先学分数再学小数。你如何看？ 张：先学分数再学小数是从一般到特别，一般的分数有了，我们再来研究特别的，以10为分母的分数。但是小数是不是由于分数才产生的呢？这不是。小数的产生与现实中的度量有亲切关系。我们有了尺因而下面有寸、有分，我们有了斤因而下面有两。因而我想，假设我们先学分数，比方说几元、几角、几分，然后再把特别的分数，我们分成10份的分数，推行为一般，从特别到一般，也是一种认识的规律。因而这两者，在我所见到的国内外许多教材当中，是有不同的安排的。有些确实是由一般到特别，像我们如今多数采取的，有些国外的教材确实是从特别到一般，先有小数如此的分数，然后在推行到一般的分数，都是能够的

21、。唐：看来现代人们在编教材的时候有不同的解读，因而顺序也不一定一样。哪么我们想小数与分数之间到底有如何样的关系，有什么区别呢？在数学史上到底是先有分数仍然先有小数？张：中国在商代，确实是如今出土的文物中就有尺了，那个尺里面就有寸，而且是十进位的，因而这个是有考古的实物为证的，因而小数在商代就出现了。分数按照记载是在春秋时代出现的，比商代就要晚特别多了。从中国的小数和分数出现的时间来说，是先有小数，后有分数。于一般分数。度量衡的开展大约始于父系氏族社会末期。传说唐帝“设五量”，“少昊同度量，调律吕”。这时的单位尚有因人而异的弊病。史记夏本纪中记载禹“身为度，称以出”，则说明当时已经以名人为标准进

22、展单位的统一，出现了最早的法定单位。商代遗址出土有骨尺、牙尺，长度约合16厘米，与中等身材的人大拇指和食指伸开后的指端间隔相当。尺上的分寸刻划采纳十进位。【PPT】唐：分数产生在什么时候呢？张：我国的分数记载出现于春秋时代（公元前770年前476年左传中，规定了诸侯的都城大小：最大不可超过周文王国都的三分之一，中等的不可超过五分之一，小的不可超过九分之一。秦始皇时代的历法规定：一年的天数为三百六十五又四分之一。在小数出现的时候，并不觉得这是分数。 后来有了一般的分数概念，才看到小数是“没有写分母”的分数， 其分母由位置确定。唐：古代的教学史对我们现代的教学也是有一定的启示的，有一种关系可能是值

23、得我们考虑的，确实是既然分数能够和小数互化，那么已经有了小数， 何必还要学习分数呢？张：征询题就在于实际的需要，小数是运算比拟方便，特别容易看得出来它的大小，但是无限循环小数的加减乘除特别苦恼。因而，分数运算必须单独学习。 反过来， 只学分数不学小数也不行。 由于小数是十进位的， 比拟有用。 尤其是比拟两个小数的大小， 不管是有限小数仍然无限循环小数，用“字典顺序”比拟，一目了然。不像面对两个分数， 要比拟它们的大小比拟困难。因而说，它们各有各的好处。唐：小数和分数在详细的征询题当中各有个的好处，通过刚刚我们讨论小数与分数的关系，也正是印证了张老师最前面讲的一句话，让我们总体把握，做到心中有数

24、。6算法多样化的考虑唐：讨论完了数以后，我想在数与代数当中另外一大块确实是计算，或许电视机前的老师和我们一样，如今一提起计算，脑子里就会反映出一个新的词，叫做“算法多样化”，这也正是我们新课程改革以来，不断倡导的一种理念，张老师你是如何样看“算法多样化”这种理念的？张：算法，确实是计算方法。随着计算机时代的到来，计算机能够做各种各样的事情，但是计算机都是按照算法运转的，因而算法的重要性不言而喻。因而新课标提出算法的意义，也提出了算法的多样性也是特别必要的。 而小学倡导算法多样化， 目的在于注重算法， 制造性地运用算法。唐：“算法多样性”是一种好的理念，但是在详细的施行过程中，我们又会碰到如何样

25、的征询题呢？我来举一个例子：2815，两位数乘两位数。学生可能使用的其他方法，至少有以下四种： 281528（105） 281528532810285 1403420 42028151547 28302607 28153015215420 420一位同学是把15分拆成105，然后利用乘法分配律计算出结果，另外一位同学是把28分成47，然后先用15和4相乘得到60，然后在乘以7也得到420的结果。还有同学是把15分成53，然后再来相乘算出结果。有同学把28看成是30-2的差，再和15相乘。因而，在计算的过程当中有一种根本的方法，确实是竖式计算的方法。 首先是常规的竖式计算。【PPT】 28 15

26、 - 140 28- 420这么多的算法，张老师你如何看。张：算法能够多样化，但是必须选择一种作为根底。 竖式计算方法， 确实是大家的首选。这是无数的人，通过选择之后确定下来的，不管在国内仍然国外都是一样的。竖式算法是根本技能，根本算法。它的特点是程序化、机械化，按部就班，能够对付任何位数、任何方式的自然数的加减乘除运算。这个算法尽管显得笨重一点，也不够简便，但它是最根本的，我们必需把根本的先掌握好。今后多项式相乘也是如此操作。我们把这类算法，称作通性通法。它永远行得通，算得出。其它的算法都在它的根底上灵敏运用，随机应变。唐：这种通性通法也有算起来不够迅速、快捷的缺点，而上面指出的学生的一些简

27、便算法，是一种针对特别征询题的特别算法，属于“巧算”一类，不能适用一般情形。我们使用这些特别算法，有助于提高计算效率，培养个人的计算特点，加强数学的创新才能。张老师你认为课堂上出现的多种多样的方法，是否需要 “优化”？张：竖式计算是笨方法，但永远有效。但是，我们每个人都有本人的个性，确信也有一些本人喜爱的个性的算法。相对而言其他算法更加巧妙，但要随机应变，没有普遍性。实际上假设把上面的四种方法比拟一下就能够觉察，有两种算法事实上确实是利用乘法分配律，另两种确实是凑整的思想，都特别有利于心算。乘法分配律在数学中的作用，有学者认为，相当于人类从石器时代到铁器时代；灵敏运用分配律是一种数学技能。因而

28、，我想在倡导算法多样化的时代，一方面要把竖式算法学会，同时也要充分运用一些能使我们计算更加简便、灵敏的算法，要把根底和灵敏都掌握好。唐：张老师刚刚在讲算法多样化的时候，还特别提到了乘法分配律它特别重要的地位，我想尽管它不是我们算法多样化的一种普遍的规律，但是它的重要性或许会引起大家更多地考虑。同时在算法多样化征询题上， 横式计算方法值得注重。其原理是从高位到低位，与竖式计算相反。 例如 2815 = 2010 + 205 + 108+ 58= 200 + 100 + 80 + 40 = 420。先用两个乘数的十位和十位相乘，再用第一个乘数的十位和第二个乘数的个位相乘，在分别用以第一乘数的个位和

29、第二个乘数的十位相乘，然后再是个位和个位相乘，最后相加。这种横式算法张老师你是如何看的。张：横式算法在国外比拟盛行，可能是由于它对算理说的比拟明晰，它提示了不同的位数它们所产生的作用。但是它有一个缺点，确实是对位比拟复杂，在对位的过程中容易出错，因而横式算法仍然不如竖式算法哪么有效。横式算法是一种从高位到低位的算法，和中国的珠算加法一样。因而如今国内外一致讨论的结果是竖式算法为主，横式算法为辅来说明算理，再加上各种各样的简便、制造性的一些计算方法，使得“算法多样化”真正成为中国数学教育的一个特色。唐：刚刚张老师讲起来从低位算起仍然从高位算起，让我也想起了张天孝老师特别提到的对算法多样化的一种理

30、解，他认为起算点不同也是我们算法多样的一种不同，有的从低位算起有的从高位算起。横式算法在对位的过程中比拟容易出现错误，而竖式算法是一种通性通法，从后续学习当中来看，即便我们以后学习多项式的乘法，也是符合如此的道理的。张：对，往常降幂陈列，升幂陈列都是按照竖式计算的方法。唐：也确实是说，竖式计算不仅适用于小学，也是后续学习当中都要用到的方法。唐：说起计算，张老师在你编著的中国数学双基教学中，提到双基的一个维度是速度。关于学生的计算，我们是不是要提出一些速度的要求？张：从国内外的调查来看，中国学生的计算才能特别是心算的才能是被国际公认的。新加坡一个代表团在调查后认为中国学生的心算才能要强于新加坡，

31、因而比美国就更好，这种计算的才能对我们成人后的生活也是特别重要的，因而我们一定要保持中国学生在心算领域的优势。但要留意的是，我们说的心算主要是指100以内或者两位数的加减乘除，过多的则没有必要。速度是我国双基的一个维度。但是关于计算来说，随着计算器的普及，不需要对计算有过高的要求，尤其不要用一些大数目的繁杂的计算来调查学生计算才能。这种机械的劳动仍然让机器来做比拟好。但是，两位数的加减运算，一位数乘两位数等的心算才能，仍然特别重要的，属于“双基”范畴。唐：我想是不是能够如此理解，我们作为老师去调查学生的计算才能的时候，不要用那种繁杂的、特别大数字的计算题来增加学生计算的难度，而学生关于计算根本

32、的方法是否掌握，是我们所更要关注的。记得往常张老师也请中西部的一位老师做过如此的调查，或许电视机前的老师会想，中国的计算那么好，是不是也是指我们那儿呢？张：如今小学生的计算才能，张晓霞老师做过一个特别详细的调查，我总的感受中国的计算才能确实比外国要强特别多，或许要求是高了一点。但是由于我们已经有了如此一个传统，丢掉一个传统特别容易，但保持一个传统特别困难，因而我们应该在保持一个合理的计算速度的根底上进展改革。唐：我想听了张老师刚刚如此的点评以后，我们中西部的老师内心一定会更加自信了，由于我们在计算方面的优势说不定就在你们班里。7什么是代数？唐：刚刚我们讨论了数和计算，事实上有一个名词或许老师也

33、和我一样有疑征询的，叫做“数与代数”，新课标设置了“数与代数”的学习领域。过去的小学里，关于数的认识我们比拟熟悉。至于代数，相对来说比拟生疏一些。如何理解代数？张：代数学的西文名称是algebra，是9世纪阿拉伯数学家花拉子米的一部著作的名称。原意是“复原与对消的科学”。什么叫做对消，大家明白的有正负对消，确实是解方程时所谓的移项，所谓复原，确实是把本来吞没在方程中的把它暴露出来，复原了的本来面目，因而方程是和代数严密联络的，因而我们一说到代数，就会联络到解方程。【PPT】唐：一般在学习方程之前，我们都要先学习“用字母表示数”，方程理论确实是“用字母代表数”吗？它们之间到底以一种如何样的关系。

34、张：单单用文字代表数， 还不是代数。例如加法交换率写为： a+b = b+a , 尽管也用文字代表数，却和代数思想方法没有关系。用文字代表数，即设某量为x如此的做法, 只是运用代数方法的第一步。它后面进一步的是“式”的运算，有“式”参与运算确实是代数。因而所谓代数，确实是把文字代表数往前推一步，能够进展“式”的运算，最后把征询题数找出来如此一个过程全部叫做代数。代数思想方法的核心是基于含有x的“式”的运算来求得未知数，最后处理数学征询题。从数的运算到“式”的运算， 是算术与代数的根本区别。 唐：听得出来确实是从“数的运算”到“式的运算”，才是算术与代数的根本区别。这确实是说，所谓代数，需要和方

35、程联络在一起。代数的主要内容确实是通过文字和数的运算，把方程中的未知数求出来。【PPT】唐：小学数学的“代数”内容确实是能够部分地解出一元一次方程；ax+b=c。至于ax+b=cxd如此的方程小学里解起来仍然有些困难。张：解一般的一元一次方程的通性通法，需要使用负数，没有了负数解方程就不能够完好的表达出来。但是从我们国家的教学情况来看，小学生学习负数仍然比拟困难的，我们如今的课标也没有把负数放到小学教学的内容里面，那我们应该如何样解方程呢？那确实是逆向思维的方法。而逆向思维的方法本质上又是一种算式思维的方法。用逆向思维解方程，是如今小学数学里应该掌握的一部分，接下来确实是在中学里进展负数的学习

36、，然后把方程的全部都解出来。在逆向思维解方程中，要做到适可而止，学生能通过一些简单的逆向思维把方程解出来即可，不要搞一些繁难的逆向思维，结果等到今后这些逆向思维都没有用。而且当学习负数之后，解方程确实是程式化的，一步步做下来确实是了，根本不需要逆向思维，逆向思维太多了，反而会干扰负数的学习，因而，我们逆向思维的要求应该是适可而止、不要太高。唐：张老师屡次提到适可而止，刚刚也讲到负数的概念，事实上小学里只是一个简单的涉及，但是不参与运算，因而解方程是就不能运用这方面的知识了。事实上对方程的概念我们也常有争论，关于方程概念的争论也特别多。如：x=1。是不是方程？尽管我们说要防止如此的争论，但是老师

37、当看到试卷上有如此的征询题时，仍然会为此争论不休。张老师你如何看如此的争论。张：方程的本意确实是要求未知数，假设=1，未知数也求出来了，也就没有方程的征询题了，因而我们也就不需要去争论这些征询题，比方说是不是方程？是不是方程？如此的征询题还有特别多，但对我们学习方程知识是没有关系的，因而要把这些方式的征询题淡化掉，不要在这些无意义的征询题上面进展争论，数学上不可能把所有的征询题按照逻辑的关系一一写出来，由于那样做的话过于繁琐，我们只有抓住方程确实是一个从等式的关系求未知数这一主要关系，其它一些枝节征询题，一些过于方式化的征询题则不必过分的关注。正如西南师范大学的老校长陈重穆先生所说需要“淡化方式，注重本质”。【PPT】唐：也确实是说，关于我们教学来说，我们不要过度的争论是不是方程，而是要讨论如何样解、会不会解如此的方程。我想我们大家一定要牢记刚刚张老师所讲的西南师范大学的老校长陈重穆所讲一句话：“淡化方式，注重本质”，这应该成为我们数学教学的追求。由于时间的关系，这一讲就讲到这里，感谢大家。