2019年中考数学复习 第四单元 图形的初步认识与三角形 第19讲 解直角三角形练习.doc

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1、1第第 1919 讲讲 解直角三角形解直角三角形重难点 1 1 解直角三角形(2018眉山)如图，在边长为 1 的小正方形网格中，点 A，B，C，D 都在这些小正方形的顶点上，AB，CD 相交于点 O，则tanAOD2【思路点拨】 设以 BC 为顶点的小正方形为 EKBC，连接 BE，BE 与 CD 相交于点 F.由题意易得 BFCF， ACOBKO.由相似三角形的对应边成比例，易得 KOCO13，即可得 OFCFOFBF12.在RtOBF 中， 即可求得tanBOF 的值，继而求得答案 在网格中求某个角的锐角三角函数值，如果这个角是以格点为顶点的直角三角形的一个内角，可利方法指导用锐角三角函

2、数的定义直接求解；若不是，则可利用相等的角转化或通过添加辅助线的方法，使这个角成为直角 三角形的内角，再利用勾股定理和相似算出直角三角形的边长或对应边的比值，最后根据锐角三角函数的定义求 解(2018上海)如图，在ABC 中，ABBC5，tanABC .3 4(1)求边 AC 的长；(2)设边 BC 的垂直平分线与边 AB 的交点为 D，求的值AD BD【思路点拨】 (1)过点 A 作 AEBC，解RtABE 求出 AE，BE，再根据勾股定理，即可在RtAEC 中求出 AC的长；(2)作 DF 垂直平分 BC，则 BF BC，解RtBDF 求出 DF，再利用勾股定理求出 BD，进而求出 AD，

3、则的值1 2AD BD即可求出【自主解答】 解：(1)过点 A 作 AEBC 于点 E.在RtABE 中，tanABC ，AB5.AE BE3 4AE3，BE4， CEBCBE541. 在RtAEC中，根据勾股定理，得 AC.321210(2)作 DF 垂直平分 BC，垂足为 F，则 BDCD，BFCF .5 2tanDBF ，DF BF3 4DF.15 82在RtBFD 中，根据勾股定理，得 BD.（52）2（15 8）225 8AD5.25 815 8则 .AD BD3 5解直角三角形的问题时，通常都是根据图形将已知条件在图形中表示出来，再根据要求的边或角并方法指导结合已知条件，寻找与之对

4、应的边角关系来解题重难点 2 2 解直角三角形的实际应用(2018广安)据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，小强用所学知识对一条笔直公路上的车 辆进行测速如图，观测点 C 到公路的距离 CD200 m，检测路段的起点 A 位于点 C 的南偏东 60方向，终点 B 位于点 C 的南偏东 45方向上，一辆轿车由东向西匀速行驶，测得此车由 A 处行驶到 B 处的时间为 10 s，问此车 是否超过了该路段 16 m/s的限制速度？(观测点 C 离地面的距离忽略不计参考数据：1.41，1.73)23【思路点拨】 根据速度，而时间已知，故要求速度，则需要求出 A 到 B 的距离解RtCDA 和R

5、t路程 时间CDB 分别求出 DA 和 BD，则 AB 即可求出，进而可以求出 AB 的速度，与 16 m/s比较大小即可得出结论【自主解答】 解：由题意，得DCA60，DCB45.在RtCDB 中，tanDCB1.DB DCDB 200解得 DB200.在RtCDA 中，tanDCA，DA DCDA 2003解得 DA200.3ABDADB200200146(m)3骑车速度 v14.6(m/s)16(m/s)AB t146 10答：此车没有超过该路段 16 m/s的限制速度(2018遂宁)如图，某测量小组为了测量山 BC 的高度，在地面 A 处测得山顶 B 的仰角 45，然后沿着坡 度 i1

6、的坡面 AD 走了 200 米到达 D 处，此时在D 处测得山顶 B 的仰角为 60，求山高 BC.(结果保留根号)3【思路点拨】 过点 D 作 DFAC，则 DFEC，BCBEDF.解RtBDE 和RtDAF 分别求出 BE，DF 即可求 解【自主解答】 解：过点 D 作 DFAC，垂足为 F. 坡面 AD 的坡 i1且 AD200，33tanDAF.DF AF1333DAF30.DF AD 200100.1 21 2DECBCADFC90，四边形 DECF 是矩形 ECDF100. 又BAC45，BCAC，ABC45. BDE60，DEBC， DBE90BDE906030. ABDABCD

7、BE453015， BADBACDAF453015. ABDBAD. ADBD200.在RtBDE 中，sinBDE.BE BDBEBDsinBDE200sin60200100.323BCBEEC100100.3山高 BC 为(100100)米3方法指导 1 1对于解直角三角形的实际应用题，要灵活运用转化思想，通常是根据以下方法和步骤解决： (1)有图的要先将题干中的已知量在图中表示出来，找与已知量和未知量相关联的三角形，画出平面几何图形， 弄清已知条件中各量之间的关系； (2)若三角形是直角三角形，根据边角关系进行计算若三角形不是直角三角形，可通过添加辅助线构造直角 三角形来解决，其中作某边

8、上的高是常用的辅助线 总的来说，解直角三角形的实际应用问题，关键是要根据实际情况建立数学模型，正确画出图形或作出辅助 线并找准直角三角形 2 2解直角三角形的实际应用题常见图形类型及辅助线作法如图所示：在利用锐角三角函数求解变形时，易把分子和分母的位置颠倒，从而产生错误易错提示考点 1 1 锐角三角函数的定义 1 1(2018云南)在RtABC 中，C90，AC1，BC3，则A 的正切值为(A)A3 B. C. D.1 310103 10102 2(2018孝感)如图，在RtABC 中，C90，AB10，AC8，则sinA 等于(A)4A. B. C. D.3 54 53 44 33 3(20

9、18滨州)在ABC 中，C90，若tanA ，则sinB1 22 55考点 2 2 特殊角的三角函数值 4 4(2018大庆)2cos60(A)A1 B. C. D.321 25 5(2018烟台)计算：(3.14)0tan60136 6(2018白银)计算：2sin30(1)2 018( )101 2考点 3 3 解直角三角形 7 7(2018贵阳)如图，A，B，C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为 1，则tanBAC 的值为(B)A. B1 C. D.1 23338 8(2018湖州)如图，已知菱形 ABCD 对角线 AC，BD 相交于点 O.若tanBAC ，AC6，则 BD 的

10、长是 21 39 9(2018自贡)如图，在ABC 中，BC12，tanA ，B30，求 AC 和 AB 的长3 4解：过点 C 作 CHAB 于点 H. 在RtBCH 中， BC12，B30，CH BC6，BH6.1 2BC2CH23在RtACH 中，tanA .3 4CH AHAH8. ABAHBH86，AC10.3AH2CH2考点 4 4 解直角三角形的实际应用 1010(2018宜昌)如图，要测量小河两岸相对的两点 P，A 的距离，可以在小河边取 PA 的垂线 PB 上的一点 C，测 得 PC100 米，PCA35，则小河宽 PA 等于(C)5A100sin35米 B100sin55米

11、 C100tan35米 D100tan55米1111(2018咸宁)如图，航拍无人机从 A 处测得一幢建筑物顶部 B 的仰角为 45，测得底部 C 的俯角为 60，此 时航拍无人机与该建筑物的水平距离 AD 为 110 m，那么该建筑物的高度 BC 约为 300m.(结果保留整数，1.73)31212(2018襄阳)为了保证端午龙舟赛在我市汉江水域顺利举办，某部门工作人员乘快艇到汉江水域考察水情， 以每秒 10 米的速度沿平行于岸边的赛道 AB 由西向东行驶在 A 处测得岸边一建筑物 P 在北偏东 30方向上，继 续行驶 40 秒到达 B 处时，测得建筑物 P 在北偏西 60方向上，如图所示求

12、建筑物 P 到赛道 AB 的距离(结果保 留根号)解：过点 P 作 PCAB 于点 C，由题意知PAC60，PBC30.在RtPAC 中，tanPAC，PC ACACPC.33在RtPBC 中，tanPBC，BCPC.PC BC3ABACBCPCPC1040400.PC100.3333答：建筑物 P 到赛道 AB 的距离为 100米31313(2018荆州)如图，在平面直角坐标系中，P 经过三点 A(8，0)，O(0，0)，B(0，6)，点 D 是P 上的一动 点当点 D 到弦 OB 的距离最大时，tanBOD 的值是(B) A2 B3 C4 D561414(2018娄底)如图，由四个全等的直

13、角三角形围成的大正方形的面积是 169，小正方形的面积是 49，则 sincos(D)A. B C. D5 135 137 137 131515(2018广西六市)如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB4，BC3，点 P 在 BC 边上，将CDP 沿 DP 折叠，点 C 落 在点 E 处，PE，DE 分别交 AB 于点 O，F，且 OPOF，则cosADF 的值为(C)A. B. C. D.11 1313 1515 1717 191616(2018齐齐哈尔)在四边形 ABCD 中，BD 是对角线，ABC90，tanABD ，AB20，BC10，AD13，3 4则线段 CD或 17891717(2

14、018荆门)数学实践活动小组借助载有测角仪的无人机测量象山岚光阁与文明湖湖心亭之间的距离如图， 无人机所在位置 P 与岚光阁阁顶 A、湖心亭 B 在同一铅垂面内，P 与 B 的垂直距离为 300 米，A 与 B 的垂直距离为150 米，在 P 处测得 A，B 两点的俯角分别为 ，且tan ，tan1，试求岚光阁与湖心亭之间的距1 22离 AB.(计算结果若含有根号，请保留根号)解：过点 P 作 PDQB 于点 D，过点 A 作 AEPD 于点 E. 由题意得，PBD，PAE，AC150，PD300.在RtPBD 中，BD300(1)PD tanPBD300 tan300212AEDBDCACD

15、90， 四边形 EDCA 为矩形 DCEA，EDAC150.7PEPDED300150150.在RtPEA 中，EA300.PE tanPAE150 tan150 1 2BCBDCDBDEA300(1)300300.22在RtACB 中，AB450.AC2BC21502（300 2）2答：岚光阁与湖心亭之间的距离 AB 为 450 米1818(2018赤峰)阅读下列材料： 如图 1，在ABC 中，A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，可以得到：图 1SABC absinC acsinB bcsinA.1 21 21 2证明：过点 A 作 ADBC，垂足为 D.在RtABD 中，sinB，AD

16、 cADcsinB.SABC aAD acsinB.1 21 2同理：SABC absinC，1 2SABC bcsinA.1 2SABC absinC acsinB bcsinA.1 21 21 2(1)通过上述证明：；a sinAb sinBc sinC (2)运用(1)中的结论解决问题： 如图 2，在ABC 中，B15，C60，AB20，求 AC 的长度；3(3)如图 3，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择 A，B，C 三个测量点，在 B 点测得 A 在北偏东 7 5方 向上，沿笔直公路向正东方向行驶 18 km到达 C 点，测得 A 在北偏西 45方向上根据以上信息，求 A，B，C

17、 三 点围成的三角形的面积 (本题参考数值：sin150.3，sin1200.9，1.4，结果保留整数)2图 2 图 3 解：(1)证明：由题意可知：absinC acsinB， acsinB bcsinA.1 21 21 21 28，.b sinBc sinCa sinAb sinB.a sinAb sinBc sinC(2)由(1)可知：，AC12.AC sinBAB sinCABsinB sinC20 3sin15sin6020 3 0.332(3)由(1)可知：，AC6.AC sinABCBC sinABCsinABC sinA18sin15 sin12018 0.3 0.9SABC ACBCsinACB 618sin45542738.1 21 2222故 A，B，C 三点围成的三角积的面积约为 38.