专题03 极值与最值问题(2月)(人教A版2019)(解析版).docx

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1、专题03极值与最值问题一、单选题1 .函数y = /(x)在区间。回上的最大值是最小值是加，若加=，则/(X)A.小于0B.等于0C.大于0D.以上都有可能【试题来源】甘肃省天水市2020-2021学年高二上学期期末考试(文)【答案】B【分析】由最大最小相等，可得y = /(x)是常数函数，即可得出结论.【解析】因为y = /(%)在区间可上的最大最小相等，所以y = /(x)是常数函数，所以/(司=。，故选b.2 .已知函数y = /(x)的导函数y = /(x)的图象如图所示，则函数y = /(x)在区间(。力) 内的极小值点的个数为C. 3D. 4【试题来源】陕西省延安市黄陵中学2020

2、-2021学年高二上学期期末(文)【答案】A【分析】通过读图由y = /(x)取值符号得出函数y = /(x)的单调区间，从而求出函数的 极值点，得出答案.【解析】由图象，设/(X)与1轴的两个交点横坐标分别为。、d其中C.皿同，,2(m2 -1)h(m) = m2 -2n m ,则”(加)=2W=m m当0相1时，方(加)1时，/(m) 0 ,所以%OUn =成1)= 1，即|MN|的最小值为1，故选B.【名师点睛】本题考查导数求解函数的最值运用求函数最值和值域的常用方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；

3、(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式 求出最值；(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.22.设函数/在火上可导，其导函数为尸(x),且函数“X)在x = 2处取得极小值, 则函数y = (x)的图象可能是【试题来源】宁夏固原市隆德县2020-2021学年高二上学期期末考试(文)【答案】C【分析】由题设条件知当0x2时，xfx) 0 ；当 = 2时，4。) =。；当x0 .由此观察叫个选项能够得到正确结果.【解析】,函数/。)在H上可

4、导，其导函数尸(x),且函数人幻在x = 2处取得极小值,当x2时，/X%) 0；当x = 2时，.广。)=0；当x2时，/Xx)0 .二.当一2c犬0时，0 ；当了=一2时，4(x) =。；当光0.当 x0H 寸，xfx) 0 .当 x = 0 时、xff(x) = O.故选 C.【名师点睛】本题考查利用导数研究函数的极值的应用，解题时要认真审题，注意导数性质 和函数极值的性质的合理运用.23.函数/(、)=工3 + 3办2+3( + 2)x+l既有极大值又有极小值，则。的取值范围是A. (-1, 2)B. (-2, 1)C. (-co, -2)U(1, +oo)D. (-oo, -1)U(

5、2, +oo)【试题来源】宁夏固原市隆德县2020-2021学年高二上学期期末考试(文)【答案】D【分析】函数/(%)有极大值又有极小值，可知/(%) = 0有两个不相等是实数根，因此0, 解出即可.【解析】因为/(x) = x3 + 3q解 + 3(a + 2)x + 1,所以/(%) = 3%2 + 6ax + 3(。+ 2), 因为函数/(%)有极大值又有极小值，所以(。)=0有两个不相等是实数根，所以/ = 36a2 - 36(q + 2) 0,化为小-a-2 0,解得a 2或a 0,即a1,则有两个极值.所以“。2 -1”是“ 了有极值”的必要不充分条件.故选B.25 .己知函数/(

6、x)的导函数为了(x),函数g(x) = (x l)/(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是A. 7。)在(一8,-2), (1,2)上为减函数/(x)在(一2,1),(2,+2 时，g(x)o,即(xl)/(x)0 = /(x)0,因此当 x2 时，函数/(X)单调 递增；当lx2时，g(x)0,即(-1)尸(幻/*(x)0,因此当 1cx2时，函数/(x) 单调递减，显然当x = 2,函数有极小值，极小值为了(2)；当一2尤0 ,即(九一1)/(x)0=/(x)0,因此当一2%1 时，函数 /(x)单调递减；当xv2时，g(x)O,即(xl)/(x)0,因此当xv2时，函数单 调递增，显

7、然当x = -2,函数有极大值，极大值为了(2),由上可以判断D是正确的.故选D.27.函数= ；在区间0,3上的最大值为A. 0B,e23C/D彳ee【试题来源】湖南省常德市2020-2021学年高二上学期期末（理）【答案】B【分析】求出导数，求出函数的单调区间，根据单调性判定最值.1 丫【解析】由题意可得了（司=丁当o,i）时,r（x）o；当i,3）时,r（x）o所以函数在（0,1）上单调递增，在（1,3）上单调递减，所以ra）max=l）=，故选B- e【名师点睛】求函数区间上的最值的步骤：（1）求导数/（X）,不要忘记函数“X）的定义域；（2）求方程/（%） =。的根；（3）检查在方程

8、的根的左右两侧f（x）的符号，确定函数的极值.（4）求函数区间端点函数值，将区间端点函数值与极值比较，取最大的为最大值，最小的 为最小值.1328.已知函数/。）=工工43工2+a+2其中加，为正整数，若函数/（X）有极大值,则小的值为A. 1B. 2C. 3D. 4【试题来源】江苏省镇江一中2019-2020学年高二下学期期末【答案】A【分析】对/（X）进行求导得/（x） = x3-3x + m,构造新函数。）=13一31+利1尺,利用导数研究函数力(力的单调性，结合题意，可知函数/(X)有极大值，则 求解不等式且结合加，及为正整数，即可得出结果.(xg/?),则/(工)=/3% + 机，1

9、Q【解析】由题可知，/(%) = x4X2 +mx + n42设h(x) = x3 -3x + m,XG R ,则 hr(x) = 3x2 -3 ，令(%) = 3炉3 = 0,解得则当 XV1 或 xl 时，hXx) 0 ；当1VXV1 时，hXx) 0 心J*24 + 24十哈故选B.二、多选题1.已知函数/(幻=以3+2+4(0)的导函数二/()的两个零点为1,2,则下列结论正确的有A. abcQB. /(%)在区间0, 3的最大值为0C. /(%)只有一个零点D. f(x)的极大值是正数【试题来源】江苏省泰州市2020-2021学年高三上学期期中【答案】BC【分析】求导/(同=3依2+

10、2区+c,根据y = /(%)的两个零点为1, 2,由/)=。,9/（2）= 0,求得匕=a , c = 6a ,再逐项验证.【解析】因为r(x) = 3加+3+c,且/=0, /(2)= 0,所以3a + 2h + c = Q12a + 4b + c = 09.化简得9。+ 2 = 0,解得匕=a ,c = 6a,因为0, c0, 2故A错误； 由”。，可知广(司=3以2+3+。为开口向下的二次函数，且零点为1, 2,则当 xvl或x2时,/。)0,当lx0,即/(幻在(-8,1)上单调递减, 在(1,2)上单调递增，在(2,+ 8)上单调递减，所以尸1为极小值点,尸2为极大值点，则（9 ）

11、故D错误;的极大值为了（2）= 84 + 4 + 2c = 8 + 4x a +2x6 = 2 0I 2 J由函数的单调性可知，函数在0,1单调递减，在(1,2)上单调递增，在(2,3上 单调递减，且/(0)= 0, 2)= 2。0,所以Ax)在区间0, 3的最大值为0,故选项B 正确；函数/(X)在(8,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增，在(2, + 8)上单调递减，且/(0)= 0, o A5/(1) = q + /? + c = i+ q + 6a a 0 , f(2)= 2a/(e)/(d)B.函数力在回上递增,在上蜀上递减C.函数/(X)的极值点为eD.函数/(%)的极大值为/

12、()【试题来源】湖南省娄底市冷水江市第一中学2020-2021学年高三上学期期中【答案】ABD【分析】对A, B由导数与函数单调性的关系，即可判断了()，/S), /(c)的大小以及/(X)的单调性，对C, D由极值的定义即可判断.【解析】由题图知可，当X(8,C)时，ff(x)o,当无6(c,e)时，/r(x)0,所以/(x)在上递增，在(c,e)上递减，在(&+)上递增，对A,故A错误；对B,函数/(X)在。回上递增，在也上递增，在c,d上递减，故B错误；对C,函数 X)的极值点为C, e ,故C正确；对D,函数/(X)的极大值为/(c),故D错误.故选ABD.2 .已知函数/(x) =

13、eInx 2,则下列说法正确的是A. 7。)有且仅有一个极值点B.，(x)有零点C.若/(x)的极小值点为,则D.若/(%)的极小值点为/,则L/(x0)l【试题来源】人教A版(2019)选择性必修第二册 过关斩将 全书综合测评【答案】AC【分析】利用导数知识对四个选项逐一分析即可得正确的选项.【解析】由题意得，/(九)的定义域为(。,+8)，且/(%) = X设/z(x) = /(x),则/(工)=产+!()，所以力(X)在(0,+8)上单调递增，X门、 -又 h - =42 = & -20,12 J所以/2(%)存在唯一零点，设为七,当0xx时、f(x)/n寸，f(x)0,/(x)单调递增

14、，所以有唯一极小值点七,故选项A正确.令/(X) = e-L =。，得靖。=-L,两边同时取对数可得x0=ln，= lnx.所以lnx02 =工+ 4-22 242 = 0 (当且仅当天 =1时等号成立), 玉)Y玉)又所以龙。)0,即(X)min，所以/(幻无零点，故选项B错误. 乙“1c 1I11由/(%) = 一 + 工0-2,7/1,可设冢工)=一 + 工一2,则/(1) = - + .%2xx1当7Vx1时，g(x)。，所以g(x)在-,1上单调递减. 271所以g(l)g(x)g -，即。/(/)片，故选项c正确，选项D借误，故选AC 1212【名师点睛】利用导数研究函数/(%)的

15、单调性和极值的步骤写定义域，对函数/(%)求导/(X)；在(c,d)上，/x) 0,则函单调递增，导函数则函数/(x)单调递减，极值点的两则函数的单调性相反，所以由图象可知极值点.【解析】函数有两个极值点： = 5和x = 2,但x = 3不是函数的极值点，所以A错误；函数在(一叫5)和(-2,口)上单调递增，在(-在-2)上单调递减,所以B错误,C正确；x = 0不是函数的极值点，所以D错误.故选C.4.函数/(x) = cs：一在x = 处取得极值,则 e27171A. a y且一为极大值点B. = 1,且一为极小值点22TT7TC. = 1,且一为极大值点D. q = 1,且一为极小值点

16、22【试题来源】重庆市南开中学2021届高三上学期第二次质量检测【答案】B【分析】先求导，再根据题意得了(彳)=0,由此求得4 = 1,再根据导数研究函数的极值.I-( 兀、刀1匚*巾4 4 、 cosx - a 匚匚，/ 、 -sinx-cosx + 0和/(x)v。写出单调区间，并判断极值点.4.已知函数/(x) =1V+x22在区间( 2, + 3)上存在最小值，则整数。可以取A. -2B. -1C. 0D. 1【试题来源】湖南省郴州市2020-2021学年高二上学期期末【答案】BCD【分析】首先先求函数的极值点，若函数在开区间(-2, + 3)取得最小值，则比较端点值， 建立不等式关系

17、，求。的取值范围.【解析】f(x) = x2+2x = x(x+2)9 /(x) = 0时、1 = 2或元=0,当xv2或x0时，/r(x)0,当一2cx0时，/r(x)0,所以函数的单调递增区间是(-8,2)和(0,+),函数的单调递减区间是(2,0),所以函数的极大值点是-2,极小值点是0,且/(0)= 2,那么当2 = 2,解得x = 0或x = 3 3所以函数在区间(。2, + 3)上存在最小值，3 V 2 0时，对 函数求导，判断其单调性，即可得出C正确；利用导数的方法求出函数在给定区间的极值 点，结合函数对称性，即可得出结果.【解析】A选项，因为#sin%+l,所以/(1+2乃)=

18、*叶2小所以/(1+2乃)=*叶2小in(x + 27r) + l =*sm因此2万不是f (%)的周期;即A错;B选项，令g(x) = /(x) l = e凶sinx,定义域为H，则 g(_x)2in(x) = g(x),所以=sinsinx图象关于原点对称;因为/(x) = g(x) + l，所以/(x)的图象关于点(0,1)对称，故B正确;C 选项，当x20时，,f(x) =，sinx+l,则 /(%) = e - sin x + ex - cos x, 八3兀因为0,717l=lex sin x H71(71A，所以sin x + 0,I 4j即 (1)=靖 sin x + 即 (1)

19、=靖 sin x + 之。，故/(%)在|o,丁上为增函数，即C正确;(7l7171令/(1)=行/sin x + =。可得了+。= %，所以x0,5同时,x) = esinx+l, /(x) = 42ex sin x + 4 1日 +n/古上衣3 711 15 19由xw0,5句可得，极值点为x 肛;肛肛-；-,下)l 4 4444当x-54,0时，工)=6一” sinx+l,则/(x) =v sin x + e x cos x 二及e( 乃)cos x + I 4,令 jT(x) = ylex cos可工 +工=工+攵不得，则工=2+ %,(左 Z),由xe-5肛0可得,_.37r 77r

20、 1 ti 157r 197r极值点为了=-, 44444由B选项，可知=1,即 /(x) + .f (x) = 2,所以/ (x)在区间-5匹5句上所有的极值之和为+ f 71 +U J+ f 71 +U J7 714/3 A+ f 丁(4 )117，(3、71 + f 71 + f 71 + f4)1915 )714 )= 5/(-x) + /(x) = 10,即 D 正确；故选 BCD.【名师点睛】利用导数的方法研究函数单调性求极值时，需要先对函数求导，求解导函数对应的不等式，判断出单调性，进而可得出极值，即可求解.三、填空题1.函数/(x) = (x + De,的最小值是.【试题来源】

21、江苏省连云港市2020-2021学年高二上学期期末【答案】 7【解析】/ (x) =(X + 1)产= f (x) = (x + 2)ex ,当x2时，(x)0,/(x)单调递增，当xv2时，f(x)0,/(x)单调递减，9 1 1因此当x = 2时，函数有最小值，最小值为了(2) = (2 + 1)6一2=-故答案为r be2 .已知x=i是函数的极值点，则实数。的值为. X【试题来源】宁夏平罗中学2020-2021学年高二上学期期末考试(理)【答案】2【分析】由已知条件可得出了(1) = 0,可求得4的值，然后分析导数在I = 1附近的符号变化，由此可求得实数。的值.【解析】由力=3 +炉

22、,得/(%)=一彳+ 2%. XJC因为x = l是/(X)的极值点，所以/=。，即一q + 2 = 0,所以 =2.此时/(%) = 2(*2 1)，当1 时，/,(x)1 时，/f(x)0.因此x = l是函数/(X)的极小值点，即。=2符合题意.故答案为2.【名师点睛】已知极值点求参数的值，先计算/(%) = 0,求得的值，再验证极值点.由 于导数为。的点不一定是极值点，因此解题时要防止遗漏验证导致错误.3 .已知x) = d-2+02工在工=2处有极小值，则常数c的值为.【试题来源】四川省成都市华阳中学2019-2020学年高二下学期期中(文)【答案】2【分析】先求函数的导数，由已知可

23、知/(2) = 0,求c后，再验证是否能在x = 2处有极 小值.【解析】由 2cX?+/工知，/z(x) = 3x2-4cx+c2 ,因为/(x)在x = 2处取极小值，所以/(2) = 128。+。2=0,解得。=2或。=6,当 c = 2 时二 f(x) = 3%2 - 8% + 4 = (3%- 2)(%- 2), / (%)在 x = 2 处取极小值，符合题意， 当。=6时，f(x) = 3x2 -24x + 36 = 3(%-2)(%-6), /(x)在x = 2处取极大值，不符合 题意，综上知，c = 2.故答案为2.“、 sinx.函数/。)= 7 的值域是.V5 + 4COS

24、%【试题来源】【新东方】421【答案】一2，12 2【分析】先将函数两边平方，转化为关于cos龙的函数，再利用换元法令cosx = r,将式子 转化为关于1的函数，设其为g),利用导数求出g(。得的值域，进而得出函数7(%)的 值域.【解析】令cosx = r,则，./2(x) = 2i2sin x 1-cos x5 + 4cosx 5 + 4cosx-2r（5 + 4z）-4（l-r2）_ -2（r + 2）（2r + l）（5 + 4/）(5 +旬由得由得1W/W ,所以函数g”)在-上为增函数，在-上为减函数，(1 A 11且g(-1) = 0,= g(l) = 0, /.0g(r)-,

25、 BP0/2(x)0； xe(O,2)0t, /r(x)o,故/(%)在=2处取得极小值.故答案为2.6 .函数/(x)=!f+_L的极小值是.【试题来源】2020-2021学年【补习教材寒假作业】高二数学(苏教版)3【答案】-21 Y3 -1Y3 - J【解析】函数的/(x)的导数/ (x) = x 7=厂，令一丁=，解得x=l,由X1可得/(X)0,函数单调递增，由XVI,可得/(X)0 , ff(x) 0=0xl, ff(x) 1,x x则函数/(%)在(。,1)上单调递增，在(1,+?)上单调递减，即,f (1)max = /=E 1 - 1 = -1 ,故答案为-1.8 . /(x)

26、 = Y 3/ +2X + 1在区间0J上的最大值为.【试题来源】2020-2021学年【补习教材寒假作业】高二数学(苏教版)【答案】 +正9【分析】先求导，得到函数的单调性，从而得到函数/(幻在01且上单调递增, 3在口_3,1上单调递减，可得函数/(%)在0,1上的最大值.【解析】/(x) = 3x2-6x + 2,令/。) = 0得，x = l土豆 3X 1 一 或1 +-,33X 2【分析】计算了(),然后转化为r(x)=o有解，可得。的范围，最后进行简单检验可得 结果.【解析】由题可知r(x)=炉+20,则2,当4 = 1或 =2时，函数y = /(x)与R轴只有一个交点,即广(力之

27、0,所以函数/(x)在(-*+单调递增，没有极值点，故舍去，所以2,即。|一1或2,故答案为|2.11 .已知函数在/(x) = d +3mx2 +ra:+m2(m,A：e 7?), x = -l时取得极小值0,则加+ =【试题来源】安徽省宿州市十三所省重点中学2020-2021学年高二上学期期末(文)【答案】11【分析】对函数进行求导，根据函数/。)在x = 1有极值0,可以得到/(-1) = 0,/(1) =。, 代入求解即可【解析】/(x) = 1+3/m：2+zu: + /722, /. fx) = 3%2 + 6nu + n ,f (-1) = 0f-l + 3m-7i + 77t2

28、 =0 m = 2依题意可得“八八即L , 八 ，解得八或(1) = 0 3-6m + n = 0n = 9 = 3当相=1,几=3时函数/(x) = 丁 + 3x2 + 3x + 1 , ff(x) = 3f + 6x + 3 = 3(x +1)?.0 ,fm = 2函数在R上单调递增，函数无极值，故舍去；所以 八，所以m+ = 11,故答案为11.n = 9【名师点睛】本题主要考查函数在某点取得极值的性质：若函数在取得极值= /(%) =。.反 之结论不成立，即函数有广(%) =(),函数在该点不一定是极值点，(还得加上在两侧有单调 性的改变).12 .已知/(x) = (f+2x+a)e

29、若/(存在极小值，则的取值范围是.【试题来源】河南省郑州市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测(理)【答案】(,2)【分析】求出函数/(%)的导数，根据%)存在极小值，可得对应的二次方程有两个不等 的实根，由A0即可求解.【解析】析(尤)=(2x+2)X + (x + 2x+a)e = cx+ 4x+a + 2),若存在极小值，则/(x)存在极小值，所以方程d+4x + Q + 2 = 0有两个不等的实根, 所以A = 164(a + 2)。，解得a2,所以。的取值范围是(,2),故答案为(一8,2).【名师点睛】本题解题的关键是根据函数有极值点可知导函数有变号零点，由于导函数的符

30、号由y = /+4x + a + 2决定，因此抛物线应与x轴有两个交点，这是解题的突破点.1门、.若函数/(x) =(2-) (x-2)ex-ax2 +ax (a w R)在-,1 上有最大值，则 q 的 2 J7取值范围是.【试题来源】陕西省西安市铁一中学2020-2021学年高二上学期期末(理)【答案】(6,2)【分析】先通过/(%) = 0有根在上求得参数范围，再验证其左右的导数符号，以保 证取得极大值，即得结果.【解析】依题意，在开区间(对上，函数八)有最大值，即说明/(%)在上有极 大值，故(X)=依+ a =) = 0在,1 上有根, 乙 /易见，导函数的一个根x = le易见，导

31、函数的一个根x = le（ 故e = 0有根，且在不上, y故。0,x = lnci ,1 ,即In五 Ini Ine，故/,此时%） =（2-）（-1乂炉一力=0有两个根,要使 = lna为极大值点,则需光（-oona）时，/（x）0, x（ln/）时，/z（x）0,故2 40,即42.综上，。的取值范围是（&,2）.故答案为（&,2）.【名师点睛】,尸（%）=。是尤=/为极值点的必要条件，利用其求得参数值（或范围）后 必须验证了（X）在 =玉）左右的符号，也进而能确定了 = 不是极大值点还是极小值点，这 是这类题的易错点.13 .已知函数/（x） = V3%在x5m2,m1）的值域为七可9），则实数机的取 值范围为.【试题来源】江苏省镇江市2020-2021学年高三上学期期中【答案