2019版高考数学大一轮复习 第十章 统计与统计案例 第1节 随机抽样学案 理 新人教B版.doc

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1、1第第 1 1 节节 随机抽样随机抽样最新考纲 1.理解随机抽样的必要性和重要性；2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法.会用随机抽样的基本方法解决一些简单的实际问题.知 识 梳 理1.简单随机抽样(1)定义：从元素个数为N的总体中不放回地抽取容量为n的样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫做简单随机抽样.(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法.(3)应用范围：总体中的个体数较少.2.系统抽样(1)定义：当总体数量很大时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本，这种

2、抽样方法叫做系统抽样.(2)系统抽样的操作步骤第一步编号：先将总体的N个个体编号；第二步分段：确定分段间隔k，对编号进行分段，当 (n是样本容量)是整数时，取k ；N nN n第三步确定首个个体：在第 1 段用简单随机抽样确定第一个个体编号s(sk)；第四步获取样本：按照一定的规则抽取样本，通常是将s加上间隔k得到第 2 个个体编号(sk)，再加k得到第 3 个个体编号(s2k)，依次进行下去，直到获取整个样本.(3)应用范围：总体中的个体数较多.3.分层抽样(1)定义：在抽样时，将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样

3、或系统抽样，这种抽样方法叫做分层抽样.(2)应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样.常用结论与微点提醒1.三种抽样方法的共同点都是等概率抽样，即抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，体现了这三种抽样方法的客观性和公平性.若样本容量为n，总体容量为N，每个个体被抽到2的概率是 .n N2.系统抽样抽取的个体编号从小到大成等差数列.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关.( )(2)系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样.( )(3)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.( )(4)要从 1

4、002 个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为 20 的样本，需要剔除 2 个学生，这样对被剔除者不公平.( )答案 (1) (2) (3) (4)2.(教材习题改编)在“世界读书日”前夕，为了了解某地 5 000 名居民某天的阅读时间，从中抽取了 200 名居民的阅读时间进行统计分析.在这个问题中，5 000 名居民的阅读时间的全体是( )A.总体 B.个体C.样本的容量 D.从总体中抽取的一个样本解析 由题目条件知，5 000 名居民的阅读时间的全体是总体；其中 1 名居民的阅读时间是个体；从 5 000 名居民某天的阅读时间中抽取的 200 名居民的阅读时间是从总体中抽取的一个样本，样本

5、容量是 200.答案 A3.某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( )A.抽签法 B.系统抽样法C.分层抽样法 D.随机数法解析 因为总体由有明显差异的几部分构成，所以用分层抽样法.故选 C.答案 C4.从 2 017 名学生中选取 50 名学生参加全国数学竞赛，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样法从 2 017 名学生中剔除 17 名学生，剩下的 2 000 名学生再按系统抽样的方法抽取，则每名学生入选的概率( )A.不全相等 B.均不相等3C.都相等，且为 D.都相等，且为50

6、2 0171 40解析 从N个个体中抽取M个个体，则每个个体被抽到的概率都等于 .M N答案 C5.从 300 名学生(其中男生 180 人，女生 120 人)中按性别用分层抽样的方法抽取 50 人参加比赛，则应该抽取男生人数为_.解析 因为男生与女生的比例为 18012032，所以应该抽取男生人数为 5030.3 32答案 30考点一 简单随机抽样及其应用【例 1】 (1)下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为( )从无限多个个体中抽取 100 个个体作为样本.盒子里共有 80 个零件，从中选出 5 个零件进行质量检验.在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里.从

7、 20 件玩具中一次性抽取 3 件进行质量检验.某班有 56 名同学，指定个子最高的 5 名同学参加学校组织的篮球赛.A.0 B.1 C.2 D.3(2)总体由编号为 01，02，19，20 的 20 个个体组成，利用下面的随机数表选取 5 个个体，选取方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第 5 个个体的编号为( )A.08 B.07 C.02 D.01解析 (1)不是简单随机抽样，因为被抽取样本的总体的个数是无限的，而不是有限的；不是简单随机抽样.因为它是有放回抽样；不是简单随机抽样.因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取；不是简

8、单随机抽样.因为不是等可能抽样.故选 A.(2)从第 1 行第 5 列和第 6 列组成的数 65 开始由左到右依次选出的数为08，02，14，07，01，所以第 5 个个体编号为 01.答案 (1)A (2)D4规律方法 1.简单随机抽样是从含有N(有限)个个体的总体中，逐个不放回地抽取样本，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等.2.一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是号签是否易搅匀，一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法.而随机数表法适用于总体中个体数较多的情形：随机数表法的操作要点：编号，选起始数，读数，获取样本.【训练 1】 (1)下面的抽样方法

9、是简单随机抽样的是( )A.在某年明信片销售活动中，规定每 100 万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为 2709 的为三等奖B.某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔 30 分钟抽一包产品，称其重量是否合格C.某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取 2 人、14 人、4 人了解对学校机构改革的意见D.用抽签方法从 10 件产品中选取 3 件进行质量检验(2)利用简单随机抽样，从n个个体中抽取一个容量为 10 的样本.若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为 ，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为( )1 3A. B. C. D.1 41 35 1410

10、 27解析 (1)选项 A，B 是系统抽样，C 项是分层抽样，D 是简单随机抽样.(2)依题意，得 ，解之得n28.9 n11 3故每个个体在抽样过程中被抽到的概率P.10 285 14答案 (1)D (2)C考点二 系统抽样及其应用【例 2】 (1)(2018安徽皖北联考)某学校采用系统抽样方法，从该校高一年级全体 800名学生中抽 50 名学生做视力检查.现将 800 名学生从 1 到 800 进行编号.已知从 3348 这16 个数中抽到的数是 39，则在第 1 小组 116 中随机抽到的数是( )A.5 B.7 C.11 D.13(2)(2018长沙雅礼中学质检)在一次马拉松比赛中，3

11、5 名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示：5若将运动员按成绩由好到差编为 135 号，再用系统抽样方法从中抽取 7 人，则其中成绩在区间139，151上的运动员人数是_.解析 (1)把 800 名学生分成 50 组，每组 16 人，各小组抽到的数构成一个公差为 16 的等差数列，39 在第 3 组.所以第 1 组抽到的数为 39327.(2)依题意，可将编号为 135 号的 35 个数据分成 7 组，每组有 5 个数据，从每组中抽取一人.成绩在区间139，151上共有 20 个数据，分在 4 个小组内，每组抽取 1 人，共抽取 4 人.答案 (1)B (2)4规律方法 1.如果总体容量

12、N能被样本容量n整除，则抽样间隔为k ，否则，可随机地N n从总体中剔除余数，然后按系统抽样的方法抽样，特别注意，每个个体被抽到的机会均是 .n N2.系统抽样中依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列，首项就是第 1 组所抽取样本的号码，公差为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码.【训练 2】 (1)(2018郑州模拟)为规范学校办学，某省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查.抽到的班级一共有 52 名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为 4 的样本，已知 7 号、33 号、46 号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应是( )A.1

13、3 B.19 C.20 D.51(2)(2018湖北重点中学适应模拟)某校高三年级共有 30 个班，学校心理咨询室为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为 1 到 30，现用系统抽样的方法抽取 5 个班进行调查，若抽到的编号之和为 75，则抽到的最小的编号为_.解析 (1)由系统抽样的原理知，抽样的间隔为 52413，故抽取的样本的编号分别为7，713，7132，7133，即 7 号，20 号，33 号，46 号.样本中还有一位同学的编号为 20.6(2)系统抽样的抽取间隔为6.设抽到的最小编号为x，30 5则x(6x)(12x)(18x)(24x)75，所以x3.答案 (1)C (2)

14、3考点三 分层抽样及其应用【例 3】 (1)(2017江苏卷)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为 200，400，300，100 件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取_件.(2)某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位：人).篮球组书画组乐器组高一4530a高二151020学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样的方法，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取 30 人，结果篮球组被抽出 12 人，则a的值为_.解析 (1)因为样本容量n60，样本总体N200400

15、3001001 000，所以抽取比例为 .n N60 10003 50因此应从丙种型号的产品中抽取 30018(件).3 50(2)由分层抽样得，解得a30.12 451530 120a答案 (1)18 (2)30规律方法 1.分层抽样中分多少层，如何分层要视具体情况而定，总的原则是：层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠.2.进行分层抽样的相关计算时，常用到的两个关系(1)；样本容量n 总体的个数N该层抽取的个体数 该层的个体数(2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比.【训练 3】 (1)(2015北京卷)某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽

16、样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有 320 人，则该样本中的老年教师人数为( )类别人数老年教师9007中年教师1 800青年教师1 600合计4 300A.90 B.100 C.180 D.300(2)(2018唐山调研)甲、乙两套设备生产的同类型产品共 4 800 件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 80 的样本进行质量检测.若样本中有 50 件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为_件.解析 (1)设该样本中的老年教师人数为x，由题意及分层抽样的特点得，故x 900320 1 600x180.(2)由题设，抽样比为.80 4 8001 60设甲设备生产的产品

17、为x件，则50，x3 000.x 60故乙设备生产的产品总数为 4 8003 0001 800.答案 (1)C (2)1 8008基础巩固题组(建议用时：25 分钟)一、选择题1.为了了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )A.简单随机抽样 B.按性别分层抽样C.按学段分层抽样 D.系统抽样解析 不同的学段在视力状况上有所差异，所以应该按照学段分层抽样.答案 C2.(2018呼和浩特质检)为了解 1 000 名学生的学习情况

18、，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为 40 的样本，则分段的间隔为( )A.50 B.40 C.25 D.20解析 根据系统抽样的特点分段间隔为25.1 000 40答案 C3.下列抽样试验中，适合用抽签法的为( )A.从某厂生产的 5 000 件产品中抽取 600 件进行质量检验B.从某厂生产的两箱(每箱 18 件)产品中抽取 6 件进行质量检验C.从甲、乙两厂生产的两箱(每箱 18 件)产品中抽取 6 件进行质量检验D.从某厂生产的 5 000 件产品中抽取 10 件进行质量检验解析 因为 A，D 中总体的个体数较大，不适合用抽签法；C 中甲、乙两厂生产的产品质量可能差别较大，因此未达到搅

19、拌均匀的条件，也不适合用抽签法；B 中总体容量和样本容量都较小，且同厂生产的产品可视为搅拌均匀了.答案 B4.(一题多解)(2018青岛测试)某中学有高中生 3 500 人，初中生 1 500 人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取 70 人，则n为( )A.100 B.150 C.200 D.2509解析 法一 由题意可得，解得n100.70 n703 500 1 500法二 由题意，抽样比为，总体容量为 3 5001 5005 000，故n70 3 5001 505 000100.1 50答案 A5.在一个容量为N的总体中抽取容量为

20、n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则( )A.p1p2p3 B.p2p3p1C.p1p3p2 D.p1p2p3解析 由随机抽样的知识知，三种抽样中，每个个体被抽到的概率都相等，故选 D.答案 D6.我国古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为( )A.134 石 B.169 石C.338 石 D.1 365 石解析 由随机抽样的含义，该批米内夹谷约为1 534169(石).28 254答案

21、B7.将参加英语口语测试的 1 000 名学生编号为 000，001，002，999，从中抽取一个容量为 50 的样本，按系统抽样的方法分为 50 组，如果第一组编号为000，001，002，019，且第一组随机抽取的编号为 015，则抽取的第 35 个编号为( )A.700 B.669C.695 D.676解析 由题意可知，第一组随机抽取的编号l15，分段间隔数k 20，由题意知抽出的这些号码是以 15 为首项，20 为公差的等差N n1 000 50数列，则抽取的第 35 个编号为 15(351)20695.答案 C8.交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲

22、、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员 96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为 12，21，25，43，则这四个社10区驾驶员的总人数N为( )A.101 B.808C.1 212 D.2 012解析 甲社区每个个体被抽到的概率为 ，样本容量为 12212543101，所以四12 961 8个社区中驾驶员的总人数N808.101 1 8答案 B二、填空题9.某校高一年级有 900 名学生，其中女生 400 名.按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为 45 的样本，则应抽取的男生人数为_.解析 设男生抽取x人，则

23、有，解得x25.45 900x 900400答案 2510.(2018武汉调研)从编号为 0，1，2，79 的 80 件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是 5 的样本，若编号为 28 的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为_.解析 由系统抽样知，抽样间隔k16，80 5因为样本中含编号为 28 的产品，则与之相邻的产品编号为 12 和 44.故所取出的 5 个编号依次为 12，28，44，60，76，即最大编号为 76.答案 7611.在距离央视春晚直播不到 20 天的时候，某媒体报道，由六小龄童和郭富城合演的猴戏节目被毙，为此，某网站针对“是否支持该节目上春晚”对网民进行调查，得到如下

24、数据：网民态度支持反对无所谓人数(单位：人)8 0006 00010 000若采用分层抽样的方法从中抽取 48 人进行座谈，则持“支持”态度的网民抽取的人数为_.解析 持“支持”态度的网民抽取的人数为 4848 16.8 000 8 0006 00010 0001 311答案 1612.从编号为 001，002，500 的 500 个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为 007，032，则样本中最大的编号应该为_.解析 根据系统抽样的定义可知样本的编号成等差数列，令a17，a232，d25，所以725(n1)500，所以n20，最大编号为 72519482.答

25、案 482能力提升题组(建议用时：10 分钟)13.福利彩票“双色球”中红色球的号码由编号为 01，02，33 的 33 个个体组成，某彩民利用下面的随机数表选取 6 组数作为 6 个红色球的编号，选取方法是从随机数表第 1 行的第 6 列和第 7 列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第 6 个红色球的编号为( )A.23 B.09 C.02 D.17解析 从随机数表第 1 行的第 6 列和第 7 列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的 6 个红色球的编号依次为 21，32，09，16，17，02，故选出的第 6 个红色球的编号为 02.答案 C14.某工厂的三个车间在 12

26、月份共生产了 3 600 双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从第一、二、三车间抽取的产品数分别为a，b，c，且a，b，c构成等差数列，则第二车间生产的产品数为( )A.800 B.1 000C.1 200 D.1 500解析 因为a，b，c成等差数列，所以 2bac.所以b.所以第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的 .根据分层抽样的性质，可abc 31 3知第二车间生产的产品数占总数的 ，即为 3 6001 200.1 31 3答案 C15.采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查，为此将他们随机编号为121，2，960，分组后在第一组采用

27、简单随机抽样的方法抽到的号码为 9.抽到的 32 人中，编号落入区间1，450的人做问卷A，编号落入区间451，750的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为_.解析 由系统抽样的特点，知抽取号码的间隔为30，抽取的号码依次为960 329，39，69，939.落入区间451，750的有 459，489，729，这些数构成首项为459，公差为 30 的等差数列，设有n项，显然有 729459(n1)30，解得n10.所以做问卷B的有 10 人.答案 1016.一个总体中有 90 个个体，随机编号 0，1，2，89，依从小到大的编号顺序平均分成 9 个小组，组号依次为 1，2，3，9.现用系统抽样方法抽取一个容量为 9 的样本，规定：如果在第 1 组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与mk的个位数字相同，若m8，则在第 8 组中抽取的号码是_.解析 由题意知m8，k8，则mk16，也就是第 8 组抽取的号码个位数字为 6，十位数字为 817，故抽取的号码为 76.答案 76