数学史概论第四讲.ppt

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1、印度数学印度数学印度数学印度数学1 1 1 1 印度文明概述印度文明概述印度文明概述印度文明概述2 2 2 2 古代绳法经中的数学古代绳法经中的数学古代绳法经中的数学古代绳法经中的数学3 3 3 3 “巴克沙利手稿巴克沙利手稿巴克沙利手稿巴克沙利手稿”与零号与零号与零号与零号4 “4 “4 “4 “悉檀多悉檀多悉檀多悉檀多”时期的印度数学时期的印度数学时期的印度数学时期的印度数学（四）婆什迦罗(一）阿耶波多（三）马哈维拉（二）婆罗摩笈多第4讲.古代与中世纪的东方数学印度数学（公元印度数学（公元512世纪）世纪）史前时期：公元前史前时期：公元前23002300年前年前 哈拉帕文化：前哈拉帕文化：

2、前2300-2300-前前17501750年，印度河流域出现早期国家年，印度河流域出现早期国家 早期吠陀时代：前早期吠陀时代：前1500-1500-前前900900年，雅利安人侵入印度年，雅利安人侵入印度 后期吠陀时代：前后期吠陀时代：前900-900-前前600600年，雅利安人的国家形成，婆罗门教形成年，雅利安人的国家形成，婆罗门教形成 列国时代：前列国时代：前6-6-前前4 4世纪，摩揭陀国在恒河流域中部称霸，开始走上统一世纪，摩揭陀国在恒河流域中部称霸，开始走上统一北印度的道路，佛教产生北印度的道路，佛教产生 帝国时代：前帝国时代：前4-4-公元公元4 4世纪，从孔雀王朝到贵霜帝国世纪

3、，从孔雀王朝到贵霜帝国古印度简况强盛独立的王朝孔雀王朝（前324前187），笈多王朝（公元320540）、外族几乎不断的侵扰、文化受到宗教的影响l 吠陀印度雅利安人的作品，婆罗门教的经典l绳法经（前8前2世纪）：庙宇、祭坛的设计与测量，包含几何、代数知识，如毕达哥拉斯定理等l 印度数学印度数学 吠陀时期吠陀时期(公元前公元前10-10-前前3 3世纪世纪)悉檀多时期悉檀多时期(公元公元5-125-12世纪世纪)印度数学印度数学吠陀手稿吠陀手稿（毛里求斯，（毛里求斯，1980）古代绳法经中的数学古代绳法经中的数学古代绳法经中的数学古代绳法经中的数学吠陀吠陀测测绳绳的的法法规规：几几何何内内容容和

4、和建建筑筑中中的的代代数数计计算算问问题题。如如勾勾股股定定理理、矩矩形形对对角角线线的的性性质质、相相似似直直线线形形的的性性质质，以以及及一一些些作作图图法法等等，在在作作一一个个正正方方形形与与已已知知圆圆等等积积的的问题中，使用了圆周率的以下近似值：问题中，使用了圆周率的以下近似值：用到用到 =3.004=3.004和和关于正方形祭坛的计算中取关于正方形祭坛的计算中取圆周长圆周长 弧长弧长 “巴克沙利手稿巴克沙利手稿”与零号与零号巴巴克克沙沙利利(Bakhshali)(Bakhshali)手手稿稿:数数学学内内容容涉涉及及到到分分数数,平平方方根根,数数列列,收收支支与与利利润润计计算

5、算,比比例例算算法法,级级数数求求和和,代代数数方方程程等等,其其代代数数方方程程包包括括一一次次方方程程,联联立立方方程程组组,二二次次方方程程.该该书书使使用用了了一一些些数数学学符符号号,如如减减号号,将将“12“12 7 7”记记成成“12“12 7 7”,”,出出现现了了1010个完整的十进制数码个完整的十进制数码,用点表示用点表示0 0：印度人以印度人以“0”“0”表示表示“无无”概念与佛教的概念与佛教的“空空”(”(梵文梵文Snya)Snya)有关有关.用圆圈符号用圆圈符号“0”“0”表示零也是印度人的一项伟大发明表示零也是印度人的一项伟大发明,最早出现于最早出现于9 9世纪的瓜

6、廖尔世纪的瓜廖尔(Gwalior)(Gwalior)地方的一块石碑上地方的一块石碑上,大约在大约在1111世纪世纪,10,10个完整印度数码臻于成熟个完整印度数码臻于成熟.印度人不印度人不仅把仅把“0”“0”视作记数法中的空位视作记数法中的空位,而且也视其为可施行运算的一个特殊的数而且也视其为可施行运算的一个特殊的数.公元公元773773年年,印度数码传入阿拉伯国家印度数码传入阿拉伯国家,后来通过阿拉伯人传到欧洲后来通过阿拉伯人传到欧洲,成为今天国际通用的所谓成为今天国际通用的所谓阿拉伯数码。阿拉伯数码。“悉檀多”时期的印度数学阿耶波多阿耶波多(AryabhataI,476-(Aryabhat

7、aI,476-约约550550）婆罗摩笈多婆罗摩笈多(Brahmagupta,598-665(Brahmagupta,598-665）马哈维拉马哈维拉(Mahavira,9(Mahavira,9世纪世纪)婆什迦罗婆什迦罗(Bhaskara(Bhaskara，1114-1114-约约1185)1185)等。等。(一）阿耶波多一）阿耶波多现今所知有确切生年的印度最早数学家现今所知有确切生年的印度最早数学家天文数学著作天文数学著作:阿耶波多历数书阿耶波多历数书(499)(499)贡献：贡献：对希腊三角学的改进；对希腊三角学的改进；一次不定方程的解法。一次不定方程的解法。半弦与全弦所对弧的一半相对应半

8、弦与全弦所对弧的一半相对应BCA 以半径的以半径的1/34381/3438作为度量弧的单位给出了第一象限内间作为度量弧的单位给出了第一象限内间 隔为隔为3 3 4545的正弦差值表。的正弦差值表。印印度第一个正弦表度第一个正弦表:天文著作苏利耶历数全书天文著作苏利耶历数全书 (约约5 5世纪世纪)阿耶波多最大贡献是建立了丢番图方程求解的所谓阿耶波多最大贡献是建立了丢番图方程求解的所谓“库塔卡库塔卡”方法，采用辗转方法，采用辗转相除法的演算程序，接近于连分数算法。为求方程相除法的演算程序，接近于连分数算法。为求方程 整整数解，首先对数解，首先对a，b使用辗转相除法得到系列商使用辗转相除法得到系列

9、商 q1,q2,q3,qn ,以及以及相应的余数系列：相应的余数系列：r1,r2,r3,rn=0,依法则：依法则：计算计算,得到得到 的渐近分数序列：的渐近分数序列：有有，于是不定方程的特解为于是不定方程的特解为 （二）婆罗摩笈多（二）婆罗摩笈多著作著作:婆罗摩修正体系婆罗摩修正体系(628)(628)肯德卡迪亚格肯德卡迪亚格(约约665)665)贡献贡献:把把0 0作为一个数来处理作为一个数来处理 对负数有明确的认识，提出了正负数的乘除法则对负数有明确的认识，提出了正负数的乘除法则 给出二次方程的求根公式给出二次方程的求根公式 给出佩尔给出佩尔(Pell)(Pell)方程的一种特殊解法方程的

10、一种特殊解法:“:“瓦格布拉蒂瓦格布拉蒂”方法方法:首先选择适当的整数首先选择适当的整数k与与k，分别找出，分别找出ax2+k=y2和和ax2+k =y2的解的解(,)与与(,),再做所谓再做所谓“瑟马瑟马萨萨”的组合的组合,得到得到:,为为ax2+k k=y2的解的解.取取 k=k,若若a 2+k=2，则是，则是a x 2+k 2=y 2的解的解.这样就得到这样就得到a x 2+1=y 2的解：的解：婆罗摩笈多进一步指出，只要在婆罗摩笈多进一步指出，只要在k=1，2，4 的条件下，求得的条件下，求得a x2+k=y 2的一组解的一组解(,)，就可得出，就可得出a x2+1=y 2无穷组解。无

11、穷组解。婆罗摩笈多在肯德卡迪亚格中利用二次插值法构造了间隔为婆罗摩笈多在肯德卡迪亚格中利用二次插值法构造了间隔为15 的正弦函数表，给出下面的插值公式：的正弦函数表，给出下面的插值公式：于是于是（其中（其中h=15,x 1，sin(h)与与 2sin(h)分别表示一、二阶差分别表示一、二阶差分）分）婆罗摩笈多正弦差分表婆罗摩笈多正弦差分表 角角度度 正正弦弦线线 一一阶阶差差 二二阶差阶差 0 0 39 -3 15 39 36 -5 30 75 31 -7 45 106 24 -9 60 130 15 -10 75 145 5 90 150几何方面几何方面:获得边长为获得边长为a，b，c，d的

12、四边形的面积公式：的四边形的面积公式：实实际际上上，这这一一公公式式仅仅适适合合于于圆圆内内接接四四边边形形，婆婆罗罗摩摩笈笈多多并并未未认认识识到到这这一一点点，后后来来马马哈哈维维拉拉由由这这一一公公式式出出发发，将将三三角角形形视视为为有有一一边边为为0的的四四边边形形，从从而而获获得得海海伦伦公公式式。12世世纪纪的的婆婆什什迦迦罗罗曾曾经经对对婆婆罗罗摩摩笈笈多多的的四四边边形形公公式式提提出出过质疑。过质疑。p=(a+b+c+d)/2.马哈维拉马哈维拉著作：著作：计算方法纲要计算方法纲要 内容：内容：九个部分（九个部分（1）算术术语，（）算术术语，（2）算术运算，（）算术运算，（3

13、）分数运算，）分数运算，（4）各种计算问题，（）各种计算问题，（5）三率法（即比例）问题，）三率法（即比例）问题，（6）混合运算，（）混合运算，（7）面积计算，（）面积计算，（8）土方工程计算；）土方工程计算；（9）测影计算。）测影计算。给出了一般性的组合数公式给出了一般性的组合数公式 给出椭圆周长近似公式：给出椭圆周长近似公式：受九章算术或中国其它算书的影响。受九章算术或中国其它算书的影响。施里德哈勒施里德哈勒(Sridhara,9世纪世纪):计算概要计算概要,日用数学著作。日用数学著作。印度古代和中世纪最伟大的数学家和天文学家印度古代和中世纪最伟大的数学家和天文学家数学著作：莉拉沃蒂（数学

14、著作：莉拉沃蒂（Llvat）和算法本源）和算法本源 代表印度古代数学最高水平的著作代表印度古代数学最高水平的著作天文著作：天球和天文系统之冠天文著作：天球和天文系统之冠 莉拉沃蒂莉拉沃蒂共有共有13章：第一章给出算学中的名词术语；第二章是关章：第一章给出算学中的名词术语；第二章是关于整数、分数的代数运算，包括加、减、乘、除、平方、开平方、立方、于整数、分数的代数运算，包括加、减、乘、除、平方、开平方、立方、开立方等；第三章论各种计算法则和技巧；第四章关于利率等方面的应开立方等；第三章论各种计算法则和技巧；第四章关于利率等方面的应用题；第五章数列计算问题，主要是等差数列和等比数列；第六章关于用题

15、；第五章数列计算问题，主要是等差数列和等比数列；第六章关于平面图形的度量计算；第七至十章关于立体几何的度量计算；第十一章平面图形的度量计算；第七至十章关于立体几何的度量计算；第十一章为测量问题；第十二章是一些代数问题，包括不定方程；第十三章是一为测量问题；第十二章是一些代数问题，包括不定方程；第十三章是一些组合问题。该书很多数学问题用歌谣的形式给出。些组合问题。该书很多数学问题用歌谣的形式给出。算法本源算法本源主要是算术和代数著作。主要是算术和代数著作。什迦罗对不定方程有特别的兴趣，除对什迦罗对不定方程有特别的兴趣，除对“库塔卡库塔卡”问题外，他把婆罗问题外，他把婆罗摩笈多关于佩尔方程的特殊解

16、法改造成一般性的解法。对摩笈多关于佩尔方程的特殊解法改造成一般性的解法。对ax 2+1=y 2，婆什迦罗首先选择适当的整数，婆什迦罗首先选择适当的整数k，找出，找出a x 2+k=y 2的一组特解的一组特解(,)，即，即a 2+k=2，另外再找一个整数，另外再找一个整数 m，使（，使（1，m）是）是a x 2+（m2-a）=y 2的一组特解，使用的一组特解，使用“瑟马萨瑟马萨”组合，得到组合，得到 婆什迦罗婆什迦罗最最后后根根据据“库库塔塔卡卡”方方法法，可可以以找找到到 m 使使 k m +,并并且且使使 m2 a 最小。计算最小。计算满足满足a x2+k(m2-a）=y 2,即即则（则（1

17、，1）是方程）是方程ax 2+k1=y2的解。用的解。用 1，1，k1代替代替 ，k，重复做上面的演算，若干次后就得到重复做上面的演算，若干次后就得到a x 2+p=y 2的特解（其中的特解（其中p=1，2，4），再根据婆罗摩笈多的方法得到），再根据婆罗摩笈多的方法得到ax 2+1=y2的无穷个解。的无穷个解。婆婆什什迦迦罗罗能能够够熟熟练练地地使使用用诸诸如如和和差差与与半半角角等等三三角角公公式式，在在解解二二次次方方程程中能够认识并广泛使用无理数，讨论了形如中能够认识并广泛使用无理数，讨论了形如 和和的无理数的平方根。的无理数的平方根。3.1 3.1 阿拉伯帝国的兴起阿拉伯帝国的兴起阿拉

18、伯帝国的兴起阿拉伯帝国的兴起 3.2 3.2 阿拉伯的代数阿拉伯的代数阿拉伯的代数阿拉伯的代数 3.3 3.3 阿拉伯的三角学与几何学阿拉伯的三角学与几何学阿拉伯的三角学与几何学阿拉伯的三角学与几何学阿阿拉拉伯伯国国家家指指以以阿阿拉拉伯伯民民族族为为主主体体的的国国家家，大大多多分分布布在在亚亚洲洲西西部部和和北北非非一一带带，一一般般使使用用阿阿拉拉伯伯语语，信信奉奉伊伊斯斯兰兰教教。然然而而“阿阿拉拉伯伯数数学学”并并非非指指阿阿拉拉伯伯国国家家的的数数学学，而而是是指指8-158-15世世纪纪阿阿拉拉伯伯帝帝国国统统治治下下的的中中亚亚西西亚亚地地区区的的数数学学，包包括括穆穆斯斯林林

19、、希希腊腊人人、波波斯斯人人和和基基督督徒徒等等所所写写的的阿阿拉拉伯伯文文数学著作。数学著作。阿拉伯数学阿拉伯数学阿拉伯数学伊斯坦布尔的天伊斯坦布尔的天文学家文学家（1971）消化希腊数学消化希腊数学,吸收印度数学吸收印度数学 文化中心文化中心:巴格达巴格达 9-159-15世纪繁荣世纪繁荣600600年年 对文艺复兴后欧洲数学的进步有深刻影响对文艺复兴后欧洲数学的进步有深刻影响希腊(公元前6世纪-公元6世纪)印度(公元5-12世纪)阿拉伯科学(公元9-15世纪)波斯(公元前6世纪-前3世纪)阿尔 花拉子米（乌兹别克,783850）（苏联,1983）l 早期阿拉伯数学早期阿拉伯数学:8:8世

20、纪中叶世纪中叶9 9世纪世纪l 代数教科书的鼻祖：代数学代数教科书的鼻祖：代数学(820)(820)(复原与对消复原与对消)11401140年被罗伯特年被罗伯特(英英)译成拉丁文译成拉丁文l 欧洲延用几个世纪标准的代数学教科书欧洲延用几个世纪标准的代数学教科书阿拉伯数学阿拉伯数学l 印度计算法印度计算法花花拉拉子子米米(约约783850):还还原原与与对对消消计计算算概概要要(al-Kitb al-mukhta sar f hisb al-jabr wal-muqbala,约约820年年前前后后)简简称称代代数数学学 “Al-jabr”:还还原原移移项项;“al-muqbala”:对对消消.传

21、传入入欧欧洲洲后后，到到十十四四世世纪纪“Al-jabr”演演变变为为拉拉丁丁语语“Algebra”，也也就就成成了了今今天天的的英英文文“Algebra”。(i)用代数方式处理线性方程组和二次方程；用代数方式处理线性方程组和二次方程；(ii)第一次给出一元二次方程一般代数解法第一次给出一元二次方程一般代数解法 及几何证明及几何证明 (iii)引进移项、合并同类项等代数运算引进移项、合并同类项等代数运算代代数数学学首首先先指指出出，该该书书的的数数学学问问题题都都是是由由根根（x）、平方（）、平方（x2）和数（常数）这三者组成。）和数（常数）这三者组成。阿拉伯的代数学阿拉伯的代数学(一）花拉子

22、米代数学一）花拉子米代数学分六章叙述分六章叙述6种类型的一、二次方程求解问题。第一章讨论种类型的一、二次方程求解问题。第一章讨论 ax2=bx 型方程；型方程；第二章讨论第二章讨论 ax2=b 型方程；第三章讨论型方程；第三章讨论 一次方程一次方程 ax=b；第四、五、六章；第四、五、六章是关于三项二次方程求解问题，分别讨论三种类型的二次方程：是关于三项二次方程求解问题，分别讨论三种类型的二次方程：x2+px=q,x2+q=px,x2=px+q,都给出了相应的求根公式。这六种方程的系数都是正都给出了相应的求根公式。这六种方程的系数都是正数，可统一为以下一般形式数，可统一为以下一般形式 明确指出

23、明确指出,二次方程可能有两个正根二次方程可能有两个正根,也可能有负根也可能有负根,但他不取负根与零根。但他不取负根与零根。之之后后，花花拉拉子子米米又又以以几几何何方方式式证证明明上上述述各各种种解解法法的的合合理理性性。如如对对方方程程 x2+21=10 x 求解过程的证明如下：求解过程的证明如下：图1图2花拉子米分两种情形讨论。花拉子米分两种情形讨论。(1)当当x 5时时，以以x为为边边作作正正方方形形ABCD，在在边边BC上上截截取取BL=5，延延长长LC至至G，使使LG=5，以以LG为为边边长长作作正正方方形形LGNF，以以LC为为边边长长作作正正方方形形EFMD，(如如图图2),记记

24、矩矩形形FLCM、MCGN、EFMD、DMNP的的面面积积分分别别为为a、b、c、d，由图形可知，由图形可知，x2+b+d=10 x,这样这样 b+d=21。那么，那么，LC=FM=2，故，故花拉子米指出花拉子米指出:任何二次方程都可以通过任何二次方程都可以通过“还原还原”与与“对消对消”（即移项（即移项与合并同类项）的步骤化成他所讨论的六种类型方程。与合并同类项）的步骤化成他所讨论的六种类型方程。若记矩形若记矩形DCLE、ELPH、LFMN、MNPG的面积分别为的面积分别为a、b、c、d，由图，由图形可知，形可知，x2+a+b=10 x,这样这样 a+b=21。由于由于a=(5 x)x=d,

25、于是于是 c=52 b d=52 21，即，即 那么那么,LC=FM=2,故故于是于是c=52 b d=52 21，即，即由于由于a=c+d=5(x 5)，印度计算法印度计算法:（Algoritmi de numero indorum）系统介绍印度数码和十进制记数法，以及相应的计算方法。系统介绍印度数码和十进制记数法，以及相应的计算方法。拉丁文译本在欧洲传播，为欧洲近代数学的发生提供了科学基础。拉丁文译本在欧洲传播，为欧洲近代数学的发生提供了科学基础。该书在欧洲传播后，该书在欧洲传播后，“Algoritmi”也演变为也演变为“Algorithm”。艾布艾布卡米勒卡米勒:（Abu Kamil，约

26、，约850930）“埃及的计算家埃及的计算家”继承了花拉子米的数学工作为。继承了花拉子米的数学工作为。计算技巧珍本：许多数学问题也采自于花拉子米的书计算技巧珍本：许多数学问题也采自于花拉子米的书 论五边形和十边形：包括几何和代数两方面的内容，关于四次方论五边形和十边形：包括几何和代数两方面的内容，关于四次方 程解法和处理无理系数二次方程是其主要特色。程解法和处理无理系数二次方程是其主要特色。奥马奥马 海亚姆与三次方程海亚姆与三次方程 奥马奥马海亚姆（海亚姆（Omar Khayyam，1048?1131）：）：11世纪最著名且最世纪最著名且最富成就的数学家、天文学家和诗人富成就的数学家、天文学家

27、和诗人还原与对消问题的论证还原与对消问题的论证(简称代数学简称代数学):开平方、开立方算法开平方、开立方算法 该书对代数学发展的最杰出贡献是用圆锥曲线解三次方程。该书对代数学发展的最杰出贡献是用圆锥曲线解三次方程。门奈赫莫斯门奈赫莫斯(Menaechmus,约约BC360)为解决倍立方体问题而发现了圆锥为解决倍立方体问题而发现了圆锥曲线，它与三次方程曲线，它与三次方程 x3=2a2 相联系。阿基米德在考虑：平面截球，使所截相联系。阿基米德在考虑：平面截球，使所截得的两部分体积比为定值的问题时，导致三次方程：得的两部分体积比为定值的问题时，导致三次方程：x2(a x)=bc2。他利。他利用两条圆

28、锥曲线用两条圆锥曲线 y(a x)=ab和和 ax2=c2y 的交点来求解。阿基米德的传统的交点来求解。阿基米德的传统启发了阿拉伯数学家。启发了阿拉伯数学家。海亚姆将不高于三次的代数方程分为海亚姆将不高于三次的代数方程分为25类类(系数为正数系数为正数),其中其中14类三次类三次方程方程,对每类三次方程给出相应一种几何解法对每类三次方程给出相应一种几何解法,例如解例如解 x3+ax=b,首先将其首先将其化为化为x3+c2x=c2d,(这里这里c 2=a,c 2d=b,按照希腊人的数学传统按照希腊人的数学传统:a、b是是线段线段,c2为正方形为正方形,c2d 为长方体为长方体),方程方程 x3+

29、c 2x=c2d 的解就是抛物线的解就是抛物线 x2=c y与半圆与半圆y2=x(d x)交点的横坐标交点的横坐标x.他首先画出正焦弦为他首先画出正焦弦为c 的抛物线的抛物线,再画出直径为再画出直径为d 的半圆的半圆(如下图如下图),过它们的交点作垂线过它们的交点作垂线PS，则，则QS长度就是长度就是方程的解方程的解.Q x S d x RP高高次次方方程程的的数数值值解解法法：纳纳西西尔尔丁丁(Nasir-Eddin,12011274)和和阿阿尔尔卡西（卡西（Al-Kash,?1429）都给出了开高次方的一般性算法。）都给出了开高次方的一般性算法。阿尔阿尔卡西：卡西：撒马尔罕天文台负责人撒马

30、尔罕天文台负责人 算术之钥：给出用于开方的二项式系数表，与算术之钥：给出用于开方的二项式系数表，与11世纪中国贾宪的世纪中国贾宪的 “开方作法本源图开方作法本源图”十分相似，所介绍的两种造表方法之一，与杨辉十分相似，所介绍的两种造表方法之一，与杨辉 算算书书所所录录贾贾宪宪“增增乘乘方方法法求求廉廉草草”完完全全一一致致.算算术术之之钥钥中中还还有有“契丹契丹 算算法法”（即即盈盈不不足足术术,当当时时的的历历史史学学家家称称中中国国为为契契丹丹al-Khataayn）和和 “百鸡问题百鸡问题”，后来传入欧洲。，后来传入欧洲。高精度三角函数表的编造高精度三角函数表的编造海拜什海拜什哈西卜哈西卜

31、(Al-Hasb,764?870?)制定间隔为制定间隔为15的的60进制正弦表，还编制了间隔进制正弦表，还编制了间隔 为为1 的正切表。的正切表。艾布艾布瓦法瓦法(Abl-Waf,940997?)编制出间隔为编制出间隔为10的正弦表和正余弦表的正弦表和正余弦表 引入正割、余割引入正割、余割比鲁尼比鲁尼(Al-Brn,9731050)利用二次插值法制定了正弦、正切函数表。利用二次插值法制定了正弦、正切函数表。马拉盖天文台马拉盖天文台阿拉伯的三角学与几何学阿尔阿尔巴塔尼巴塔尼(al-Battn,858?929)天文论著天文论著,又名星的科学又名星的科学 对希腊三角学加以系统化对希腊三角学加以系统化

32、 创立了系统的三角学术语，如正弦、余弦、正切创立了系统的三角学术语，如正弦、余弦、正切 余切。他称正弦为余切。他称正弦为jba，来源于阿耶波多的印度，来源于阿耶波多的印度 语术语语术语jva,拉丁语译作拉丁语译作sinus,后来演变为英语后来演变为英语 sine；称正切为；称正切为umbra versa,意即反阴影；余切意即反阴影；余切 为为umbra recta,意即直阴影；后来演变拉丁语分别意即直阴影；后来演变拉丁语分别 为为tangent和和cotangent发现了一些等价于下列公发现了一些等价于下列公式的三角函数关系式：式的三角函数关系式：巴塔尼（巴塔尼（858?-929）,，,。以及

33、球面三角形的余弦定理：以及球面三角形的余弦定理：cosa=cosb cosc+sinb sinc cosA.艾布艾布瓦法瓦法天文学大全天文学大全 继承并发展了托勒玫的大汇编继承并发展了托勒玫的大汇编 编制精细的三角函数表编制精细的三角函数表 证明了与两角和、差、倍角和半角证明了与两角和、差、倍角和半角 的正弦公式等价的关于弦的一些定的正弦公式等价的关于弦的一些定 理理,证明了平面和球面三角形的正证明了平面和球面三角形的正 弦定理。弦定理。比鲁尼比鲁尼(Al-Brn,9731050)146余部著作余部著作 马苏德规律：在三角学方面有马苏德规律：在三角学方面有 一些创造性的工作一些创造性的工作 正

34、弦公式、和差化积公式、倍角正弦公式、和差化积公式、倍角 公式和半角公式。公式和半角公式。给出一种测量地球半径的方法给出一种测量地球半径的方法,首先用边长带有刻度的正方形首先用边长带有刻度的正方形ABCD(如图如图4.4a)测出一座山高测出一座山高(其中其中 )，再于山顶，再于山顶T处悬一直径处悬一直径SP可以可以转动的圆环转动的圆环MPNS,从山顶从山顶T 观测地平线上一点观测地平线上一点I，测得俯角，测得俯角 OTI=，由于，由于 ，得得 到到 ，从而算出，从而算出地球半径地球半径 。，比鲁尼算得比鲁尼算得1 子午线长为子午线长为106.4-124.2公里。公里。TGC EBDAFMSTPN

35、HIOG图4.4a图4.4b阿尔阿尔卡西卡西计计 算算 sin1 的的 值值：首首 先先 求求 出出 sin72 和和 sin60 的的 值值,以以 求求sin12=sin(7260)的的值值,再再用用半半角角公公式式求求sin3 的的值值,由由三三倍倍角角公公式式得出得出 sin3=3sin1 4sin31，即即sin1 是三次方程是三次方程 sin3=3x 4x3 的解，阿尔的解，阿尔卡西用牛顿迭代卡西用牛顿迭代法：法：，（，（x1=sin3）求出）求出sin1 的近的近似值。似值。纳西尔纳西尔丁丁 伊儿汗天文表伊儿汗天文表(1271):测算出岁差测算出岁差51“/每年每年 天文宝库天文宝

36、库 对托勒玫的宇宙体系加以评注，并提出新的宇宙模型对托勒玫的宇宙体系加以评注，并提出新的宇宙模型 论完全四边形论完全四边形 脱离天文学的系统的三角学专著，系统阐述了平面三角学，明确给脱离天文学的系统的三角学专著，系统阐述了平面三角学，明确给 出正弦定理。讨论球面完全四边形，对球面三角形进行分类，指出出正弦定理。讨论球面完全四边形，对球面三角形进行分类，指出 球面直角三角形的球面直角三角形的6种边角关系种边角关系(C为直角为直角)：cosc=cosa cosb;cosc=ctgA ctgB;cosA=cosa sinB;cosA=tgb ctgC;sinb=sincsinB;sinb=tga c

37、tgB.讨讨论论了了解解平平面面和和球球面面斜斜三三角角形形的的一一些些方方法法，引引入入极极三三角角形形的的概概念念以以 解解斜斜三三角角形形。指指出出在在球球面面三三角角形形中中，由由三三边边可可以以求求三三角角，反反之之，由由三三角角可可以以求三边，这是球面三角与平面三角的一个重要标志。求三边，这是球面三角与平面三角的一个重要标志。与与阿阿拉拉伯伯人人的的代代数数成成就就和和三三角角学学成成就就相相比比，他他们们的的几几何何学学工工作作显显得得薄薄弱弱，阿阿拉拉伯伯人人在在几几何何方方面面的的工工作作主主要要是是对对希希腊腊几几何何的的翻翻译译与与保保存存，并并传传给给了了欧欧洲洲。他他

38、们们主主要要受受欧欧几几里里得得、阿阿基基米米德德、阿阿波波罗罗尼尼乌乌斯斯、海海伦伦和和托托勒勒玫玫等等人人的的影影响响，希希腊腊几几何何学学对对阿阿拉拉伯伯数数学学的的严严格格性性产产生生一一定定的的作作用用。他他们们曾曾经经对对几几何何原原本本作作过过评评注注，其其中中第第五五公公设设引引起起了了他他们们的的注注意意，不不少少人人试试图图证证明明这这条条公公设设，如如焦焦赫赫里里(ai-Jawhari，约约830)、著著名名学学者者塔塔比比伊伊本本库库拉拉(Thabit ibn Qurra,约约826901)、伊伊本本海海塞塞姆姆(Ibn al-Haytham,9651040?)、奥奥马马海亚姆以及纳西尔海亚姆以及纳西尔丁等人。丁等人。阿阿拉拉伯伯人人关关于于第第五五公公设设的的这这种种兴兴趣趣与与尝尝试试，诱诱发发了了后后世世欧欧洲洲学学者者在在这这方方面面的兴趣，对非欧几何的诞生有一定的影响。的兴趣，对非欧几何的诞生有一定的影响。