数学分析课件第5章导数和微分.ppt

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1、返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页 一、导数的四则运算2 求导法则 导数很有用，但全凭定义来计算导 四、基本求导法则与公式 三、复合函数的导数 二、反函数的导数求导法则,使导数运算变得较为简便.数是不方便的.为此要建立一些有效的返回返回返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页一、导数的四则运算在点在点 x0 也可导也可导,且且推论推论 若若 u(x)在点在点 x0 可导可导,c 是常数是常数，则则 在点在点 x0 也可导也可导,且且定理定理 5.6 若函数若函数 在点在点 x0 可导可导,则函数则函数定理定理 5.5 若函数若函数 在点在点 x0 可导可导,则函数

2、则函数返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理定理 5.6 可推广到任意有限个函数相乘的情形可推广到任意有限个函数相乘的情形,如如 下面证明乘积公式下面证明乘积公式(2),请读者自行证明公式请读者自行证明公式(1).证证(2)按定义可得按定义可得 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页注意注意:,:,千万不要把导数乘积公式千万不要把导数乘积公式(2)记错了记错了.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例1 解解 因此因此,对于多项式对于多项式 f 而言而言,总是比总是比 f 低一个幂次低一个幂次.例例2 解解 由公式由公式 (2)，得，得 返回返回返回返回后页

3、后页后页后页前页前页前页前页 在点在点 x0 也可导也可导，且且定理定理5.7 若函数若函数 在点在点 x0 可导可导,返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证证由于由于 在点在点 x0 可导可导,因此因此返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页对对 应用公式应用公式(2)和和(5),得得(5)返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例3 求下列函数的导数：求下列函数的导数：解解返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页同理可得同理可得 同理可得同理可得返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证证 定理定理 5.8 设设 为为 的反函数，在的反函数，在

4、 由由假设假设,在点在点的某邻域内连续的某邻域内连续,且严格且严格二、反函数的导数 则则 在点在点 可导可导,且且 点点 的某邻域内连续，严格单调的某邻域内连续，严格单调,且且返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例4 求下列函数的导数：求下列函数的导数：便可证得便可证得注意到注意到单调单调,从而有从而有返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页解解上的反函数，故上的反函数，故返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页同理有同理有 的反函数，故的反函数，故上上返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理定理 5.9在点在点 x0 可可这个定理一般用有限增量公式来

5、证明这个定理一般用有限增量公式来证明，但为了与但为了与导，导，且且三、复合函数的导数证法证法,为此需要先证明一个引理为此需要先证明一个引理.今后学习向量函数相联系今后学习向量函数相联系，这里采用另一种新的这里采用另一种新的返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页引理引理 f 在点在点 x0 可导的充要条件是可导的充要条件是:在在 x0 的的某邻某邻证证 设设 f(x)在点在点 x0 可导可导,且令且令返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页得得 f(x)在点在点 x0 可导可导,下面证明定理下面证明定理 5.9(公式公式(7).根据极限根据极限返回返回返回返回后页后页后页后页前

6、页前页前页前页同理，同理，则存在一个在点则存在一个在点 x0于是当于是当 有有由引理的必要性由引理的必要性知存在一知存在一且且连续的函数连续的函数返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页公式公式(7)改写改写为为连续，连续，根据引根据引 理的充分性理的充分性,这样就容易理解这样就容易理解“链链”的的复合函数求导公式复合函数求导公式(7)又称为又称为“链式法则链式法则”.若将若将返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例5在链式法则中一定要区分在链式法则中一定要区分意义了意义了.解解分解成分解成 这两个这两个于是由链式法则于是由链式法则,有有基本初等函数的复合，基本初等函数的复

7、合，返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例6解解复合而成复合而成,例例7求下列函数的导数求下列函数的导数:返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页解解 运用复合求导法则运用复合求导法则,分别计算如下分别计算如下:返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例8 8 求下列函数的导数求下列函数的导数:解解返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页所以所以 在在 处不可导处不可导.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页化某些连乘、连除式的求导化某些连乘、连除式的求导.例例9对数求导法对数求导法 均可导均可导,则则对数求导法不仅对幂指函数对数求导法不仅对幂指函数有效有效,也能简也能简返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页解解 先对函数两边取对数先对函数两边取对数,得得再对上式两边求导再对上式两边求导,又得又得于是得到于是得到返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页求导法则：求导法则：四、基本求导法则与公式返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页基本初等函数的导数公式：基本初等函数的导数公式：返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页