2.4 隐函数与参数方程的导数.ppt

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1、2.4 隐函数及由参数方程所确定隐函数及由参数方程所确定的函数的导数的函数的导数 相关变化率相关变化率第二章第二章 导数与微分导数与微分隐函数的导数隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数由参数方程所确定的函数的导数相关变化率相关变化率小结小结 思考题思考题 作业作业1定义定义1.隐函数的定义隐函数的定义所确定的函数所确定的函数一、隐函数的导数一、隐函数的导数称为称为隐函数隐函数(implicit function).的形式称为的形式称为显函数显函数.隐函数的隐函数的可确定显函数可确定显函数例例开普勒方程开普勒方程开普勒开普勒(J.Kepler)1571-1630)1571-1630德国数学家

2、德国数学家,天文学家天文学家.的隐函数客观存在的隐函数客观存在,但无法将但无法将表达成表达成的的显式显式表达式表达式.显化显化.22.隐函数求导法隐函数求导法隐函数求导法则隐函数求导法则 用用复合函数求导法则复合函数求导法则,并注意到其中并注意到其中将方程两边对将方程两边对x求导求导.变量变量y是是x的函数的函数.隐函数不易显化或不能显化隐函数不易显化或不能显化 如何求导如何求导3例例解解则得则得恒等式恒等式代入代入方程方程,将此将此恒等式两边同时对恒等式两边同时对x求导求导,得得因为因为y是是x的函数的函数,是是x的复合函数的复合函数,所以所以求导时要用复合函数求导法求导时要用复合函数求导法

3、,0=x0=y0=x0=y.1=4 虽然隐函数没解出来虽然隐函数没解出来,但它的导数求出来但它的导数求出来了了,当然结果中仍含有变量当然结果中仍含有变量y.允许在允许在 的表达式中含有变量的表达式中含有变量y.一般来说一般来说,隐函数隐函数求导求导,求求隐函数的导数时隐函数的导数时,只要记住只要记住x是自变量是自变量,将方程两边同时对将方程两边同时对x求导求导,就得到一个含有导数就得到一个含有导数从中解出即可从中解出即可.于是于是y的函数便是的函数便是x的复合函数的复合函数,的方程的方程.y是是x的函数的函数,5例例解解 法一法一利用利用隐函数求导法隐函数求导法.将将方程两边对方程两边对x求导

4、求导,得得解出解出得得法二法二 从原方程中解出从原方程中解出得得6先求先求x对对y的导数的导数,得得再利用再利用反函数求导法则反函数求导法则,得得7例例解解切线方程切线方程法线方程法线方程通过原点通过原点.8例例解解910例例解解将将上面方程两边再对上面方程两边再对11或解或解解得解得23)4(xy-)112(2-yy12例例 求证抛物线求证抛物线上任一点的切线上任一点的切线在两在两坐标轴上的截距之和等于坐标轴上的截距之和等于a证证故故曲线上任一点曲线上任一点处处切线的斜率为切线的斜率为13切线方程为切线方程为故在两故在两坐标轴上的截距之和为坐标轴上的截距之和为14解解确定确定,153.对数求

5、导法对数求导法作为隐函数求导法的一个简单应用作为隐函数求导法的一个简单应用,介绍介绍(1)许多因子相乘除、乘方、开方的函数许多因子相乘除、乘方、开方的函数.对数求导法对数求导法,它可以利用对数性质使某些函数的它可以利用对数性质使某些函数的求导变得更为简单求导变得更为简单.适适用用于于方方方方 法法法法先在方程两边取对数先在方程两边取对数,-对数求导法对数求导法 然后利用隐函数的然后利用隐函数的求导法求出导数求导法求出导数.16例例解解 等式两边取对数得等式两边取对数得 隐函数隐函数对这类型的题用取对数求导法很方便哦！17两边对两边对x求导得求导得等式两边取对数得等式两边取对数得)(ln)(xu

6、xv.18 对数求导法常用来求一些对数求导法常用来求一些复杂的乘除式、根式、幂指函数复杂的乘除式、根式、幂指函数等的导数等的导数.19例例解解 等式两边取对数得等式两边取对数得20例例解解两边取对数得两边取对数得两边对两边对 x 求导得求导得21注注复合函数复合函数改写成改写成如上例如上例则则只要将只要将幂指函数也可以利用对数性质化为幂指函数也可以利用对数性质化为:再求导再求导,22有些显函数用对数求导法很方便有些显函数用对数求导法很方便.例如例如,两边取对数两边取对数两边对两边对x求导求导xb+2324解答解答 等式两边取对数等式两边取对数25解答解答26二、由参数方程所确定的函数的导数二、

7、由参数方程所确定的函数的导数如如 称此为由称此为由参数方程所确定的函数参数方程所确定的函数.消参数困难或无法消参数消参数困难或无法消参数 如何求导如何求导.消去参数消去参数,间的函数关系间的函数关系与与确定确定xy27所以所以,单调连续的单调连续的反函数反函数由由复合函数及反函数的求导法则复合函数及反函数的求导法则得得28 星形线是一种圆内摆线例例29解解30例例解解 所求切线方程为所求切线方程为31若曲线由极坐标方程若曲线由极坐标方程给出给出,利用利用因此曲线因此曲线切线的斜率为切线的斜率为,cos)(q qq qrx=q qq qsin)(ry=q qq qsin)(r-可化为极角可化为极

8、角 参数方程参数方程,q q32例例解解 将曲线的极坐标方程转换成将曲线的极坐标方程转换成则曲线的切线斜率为则曲线的切线斜率为所以法线斜率为所以法线斜率为又切点为又切点为故法线方程为故法线方程为即即参数方程参数方程 这种将极坐标方程化为参数方程这种将极坐标方程化为参数方程,借助借助参数方程处理问题的方法参数方程处理问题的方法,在高等数学中将在高等数学中将多次遇到多次遇到.33例例.证证34容易漏掉容易漏掉35如如:注注求二阶导数不必死套公式求二阶导数不必死套公式,只要理解其含义只要理解其含义,这样对求更高阶的导数也容易处理这样对求更高阶的导数也容易处理.36例例解解37为两可导函数为两可导函数

9、之间有联系之间有联系之间也有联系之间也有联系称为称为相关变化率解法三步骤相关变化率解法三步骤找出相关变量的关系式找出相关变量的关系式对对t 求导求导相关变化率相关变化率求出未知的相关变化率求出未知的相关变化率三、相关变化率三、相关变化率相关变化率相关变化率之间的关系式之间的关系式 代入指定时刻的变量值及已知变化率代入指定时刻的变量值及已知变化率,(1)(2)(3)38例例解解(1)(2)仰角增加率仰角增加率(3)a aa a22tan1sec+=500,1tan,500=a a时时当当h39四、小结四、小结隐函数求导法则隐函数求导法则工具工具:复合函数复合函数链导法则链导法则;对数求导法对数求

10、导法对方程两边取对数对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导按隐函数的求导法则求导.参数方程求导参数方程求导注意注意:变量变量y是是x的函数的函数.将方程两边对将方程两边对x求导求导.工具工具:复合函数复合函数链导法则链导法则、反函数的求导法则、反函数的求导法则.相关变化率相关变化率 通过函数关系确定两个变化率通过函数关系确定两个变化率之间的之间的解法解法:三个步骤三个步骤.关系关系,从其中一个变化率从其中一个变化率(已知已知)求出一个变化率求出一个变化率;40思考与练习思考与练习求其反函数的导数求其反函数的导数.1.1.设设由由方程方程确定确定 ,求求2.设设3.4.已知已知 ，求，求41思考与练习思考与练习求其反函数的导数求其反函数的导数.解解:方法方法1 1方法方法2 2 等式两边同时对等式两边同时对 求导求导1.1.设设42由由方程方程确定确定 ,解解:方程两边对方程两边对 x x 求导求导,得得再再求导求导,得得当当时时,故由故由 得得再再代入代入 得得 求求2.设设43运用取对数求导法两边关于 x 求导：解解 3.44整理得45 4.已知已知 ，求，求解：解：46作业作业习题习题2-4(1102-4(110页页)1.(1)(3)2.3.(1)(3)4.(1)(3)5.(1)6.7.(2)8.(2)(4)47