数学建模之模型解的分析与检验第三讲.ppt

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1、3.6模型解的分析和检验模型解的分析和检验始于现实世界并终于现实世界始于现实世界并终于现实世界数学建数学建模工作模工作最终要得到现最终要得到现实问题的解答实问题的解答求出模型的数学解以后，求出模型的数学解以后，必须对解的意义进行分析、检验必须对解的意义进行分析、检验需讨论以下类似问题：需讨论以下类似问题：1.这个解说明了什么问题？这个解说明了什么问题？2.是否达到了建模的目的？是否达到了建模的目的？3.模型的适用范围怎样？模型的适用范围怎样？格列佛游记中小人国的小人们为格列佛游记中小人国的小人们为估算格列佛的食量，利用身体的相似性，建立了估算格列佛的食量，利用身体的相似性，建立了一个数学模型一

2、个数学模型4.所建模型是否合理？是否合乎实际？是否有所建模型是否合理？是否合乎实际？是否有原理性错误、常识性错误？原理性错误、常识性错误？W=aH3W是人的体重是人的体重，H是人的身高是人的身高.a=W/H3=3/0.5=24,检验：检验：先确定参数先确定参数a，新生婴儿身长约新生婴儿身长约50厘米，厘米，重约重约3千克千克,代入模型得代入模型得得模型为得模型为W=24H3 这是一个适用于肥胖人群的体重身高模型。这是一个适用于肥胖人群的体重身高模型。据此可计算得据此可计算得 身高为身高为1.5米的儿童体重为米的儿童体重为W(1.5)=81(千克千克)；身高为身高为2米的运动员体重为米的运动员体

3、重为W(2)=192(千克千克).检验模型是数学建模工作的重要环节检验模型是数学建模工作的重要环节将一块石头扔进洞中估计洞的深度将一块石头扔进洞中估计洞的深度.一个学生建立了从扔下石头到听到声音的时间一个学生建立了从扔下石头到听到声音的时间t和洞深和洞深h的关系模型的关系模型：用到假设：用到假设：k为比例系数为比例系数.分析检验分析检验 1.检查模型的检查模型的量纲是否正确量纲是否正确?*1*1 石头下降时所受空气的阻力和速度成正比石头下降时所受空气的阻力和速度成正比;*2 *2 阻力产生的加速度也和速度正比阻力产生的加速度也和速度正比.根据比例系数根据比例系数k的定义有的定义有 LT2=kL

4、T1 k=T1 注意到注意到exp(kt)是无量纲量是无量纲量，可验证模型的可验证模型的量纲正确量纲正确.2.检验模型是否检验模型是否与物理定律相符与物理定律相符?若忽略空气阻力（即若忽略空气阻力（即k=0）,应有应有h=0.5gt2验证模型是否与此物理定律相符验证模型是否与此物理定律相符.能否将能否将k=0代入模型代入模型？参见讲义参见讲义p59.3.参数的灵敏度分析参数的灵敏度分析取参数取参数 k 的值为的值为0.05(克克/秒秒),可算得可算得即即,若回声在若回声在4秒听到，模型测算出洞深秒听到，模型测算出洞深73.50米米.又若参数又若参数k有微小变化，测算值会怎样变化？有微小变化，测

5、算值会怎样变化？令令 k=0.045,参数的相对变化幅度参数的相对变化幅度为为0.0450.05/0.05=10%，计算得计算得h2=h(4)73.98，洞深预测值相对洞深预测值相对变化幅度变化幅度为为？（73.573.89）/73.51%.说明模型说明模型对空气阻力比例系数对空气阻力比例系数k k不敏感不敏感,即对即对洞深预测影响不大洞深预测影响不大,可忽略空气阻力可忽略空气阻力.4.进一步进一步分析分析空气空气的影响的影响 若完全忽略空气的影响若完全忽略空气的影响,有有h1=h(4)=0.5gt2=0.59.814278.48(米米)，绝对误差为绝对误差为78.4873.505(米米)，？

6、结果分析结果分析说明被忽略的空气因素对模型产生较说明被忽略的空气因素对模型产生较明显的影响明显的影响.模型中用到模型中用到隐含假设隐含假设：石头撞击地面的声音：石头撞击地面的声音能立即听到能立即听到.相对误差为相对误差为（78.4873.50）/73.507%，未考虑声音在空气中的传播速度未考虑声音在空气中的传播速度.传播速度大约为传播速度大约为330米秒米秒,则石头着地声音则石头着地声音的传播时间大约为的传播时间大约为h33073.53300.223（秒秒）取修正时间为取修正时间为t=40.223=3.777（秒）（秒）可得可得h(3.777)65.77(米米)结论结论声速的影响远甚于空气阻

7、力的影响声速的影响远甚于空气阻力的影响.通过对模型的分析、检验，发现由于模型假通过对模型的分析、检验，发现由于模型假设不合理设不合理,考虑因素不合适考虑因素不合适,造成模型不合理造成模型不合理.需重新进行问题的前期分析工作需重新进行问题的前期分析工作l1.量纲一致性检验；量纲一致性检验；l2.假设的合理性检验；假设的合理性检验；l3.对模型参数的灵敏度分析；对模型参数的灵敏度分析；l4.模模型型及及模模型型解解的的误误差差分分析析，分分析析误误差差及误差的来源等；及误差的来源等；l5.参数或变量的临界值；参数或变量的临界值；模型与模型解的分析与检验，通常需要做模型与模型解的分析与检验，通常需要做以下几类工作：以下几类工作：