山东建筑大学概率论与数理统计期末考试复习题.docx

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1、概率论与数理统计一、选择题1、设 A, 3 是随机事件，P(A) = 0.7 , P(A3) = 0.2 ,则P(A-B)= ( A ) oA、0 1B、02C、03D、042、设随机变量x的概率密度为了(%),则/(x) 一定满足(C ) OA、o/(x) x) =J00C f f(x)dx = 1J00D、/(+oo) = 13、设随机变量x服从参数为3的泊松分布，y8(8),且X, y 相互独立，贝 |J O(X3Y-4)= ( C ) oA、0.78B、4.78C、1931、已知事件a, b, AU8的概率分别为05, 04, 06,则 p(通)=(B ) oA、0 1B、02C、0

2、3D、0 532、下列各函数是随机变量x的分布函数的是A、F(x)=-二，-GO X +001 +厂c、B、F(x) = ex -oo% +ooF(x) = - + arctan x, -oo x ）B、工（-=）D、与x（T35、设总体xn（23）,石,孙多为来自总体x的样本, 最为样本均值，则下列统计量中服从标准正态分布的是A、A、x 2TB、x-29C、工一23/JnD %一291G二、填空题1、假设患者从某种心脏外科手术中康复的概率是08,现有3位患者施行这种手术，其中恰恰有2人康复的概 率是（0.384 ） o2、设随机变量X服从参数为2（A0）的泊松分布，且 p（X=0）=P（X=

3、2）,则参数4= （ 2 ） o23、设二维随机变量（X,y）的概率密度为二。，则常数人二（2 ）。0, 其他4、设随机变量XN(2,4),且P(XC),则常数C 二(2 ) o5、已知 E(X) = -1, D(X) = 3,则 E(3X22)= ( 10 ) o6、设随机变量x服从参数为2的指数分布，则成6皿)=(0.5 ) o7、设总体XN(0,4),且,%,演为来自总体X的简单随机 样本，若。(k+后+后)/,则常数。=(0.25 ) o8、由来自正态总体xN30.09)、容量为16的简单随机 样本，得样本均值为2 88,则的置信度0 95的置信区间 是(2.733, 3.027)。(

4、其中/皿=L96, 005 = 1.645)9 、 已知 P(A) = 0.3, P(3) = 0.4,尸(A3) = 0.2 ,贝P(B A)=(2 )。310、掷两颗骰子，已知两颗骰子的点数之和为6,则其 中有一颗为1点的概率为(工)。11、 设 Q(X) = 4 ,。(丫) = 9 ,尺(X/) = 0.5 , 则 D(X-Y) = (7 ) o已知 X 5(10,0.6),丫尸(0.6), 7?(X,y)= -, 则 cov(X,y)= 4(0.3 ) o13、随机变量 X N(20,22),若 P(Xa) = -,则 (20 ) o14、设总体XN(OJ), XI, X2 , X3,

5、 X4是总体的一个样本，则 y = x； + x； + x； + x：服从(Z2(4)分布。15、设总体x3(i,p),(X, x?,x)是从总体x中抽取 的一个样本，则参数P的矩估计量为力=(又或) On/=116、从一批零件中抽取9个零件，算得其直径的样本 均值为1 = 20.01,设零件直径服从N(K),且已知b = 0.15,则 这批零件直径的均值的置信水平为0 95的置信区间为 (19.912, 20.108) ) o (已知%025 =1.96)17、设 AB 为随机事件，尸(A) = 0.5, P(B) = 0.6 , P(B A) = 0.8 则尸(Au3) = ( 0.7 )

6、 o18、 10把钥匙中有3把能打开门，今任取两把，则能 打开门的概率为(0.533 )。19、设随机变量x和y是相互独立的随机变量且都服从 正态分布，X N(3,4), y N(2,9),则。(3X + 4Y)= ( 180 ) o20、设随机变量X3(10000,0.8),试用切比雪夫不等式估P(7800 X ( 0.96 ) o21、设x和y为两个随机变量，且pX20,y20 = 5，PX 0) = P(Y0= ,贝|J Pmax(X,y)2 0= ( 1 ) o22、已知x的概率密度函数为/(%)=二-2A1,贝|以)=(1) O23、设总体x服从n(,ct2), Xi，X2,，x”是

7、它的一个简 单随机样本，则统计量出乎服从()分布。24、设 P(A) = 0.7 , P(3) = 0.5 ,贝P(A5)的最大值为(0.5 )。25、事件A在4次独立实验中至少成功一次的概率为瑞，则事件A在一次实验中成功的概率为（|）。26、设随机变量x有密度/4V 0VH ,则使 0 其它1P（Xa） = P（Xi = j , 贝U py =/ 19 、35、某射手射击的命中率为o.6,在4次射击中有且仅 有3次命中的概率是（0.3456 ）。三、计算题1、甲、乙两人从装有6个白球4个黑球的盒子中取 球，甲先从中任取一个球，不放回，而后乙再从盒中任取 两个球，求（1）甲取到黑球的概率；（2

8、）乙取到的都是 黑球的概率。解：（1）设a表示甲取到黑球，则尸=2（2）设8表示乙取到的都是黑球，则人” +社2 C2 3 C2P(B) = P(A)P(B | A) + P(A)P(B | A) = - - -4- + - - -J V/9。 Lg2152、设X的密度函数为人(%)=产：片，求Y = X2 + 0 具他的密度函数。解：FY(y) = P(X2y-)01lyi= 2xdxy2I i2所以,所以,fy=ly2其他3、设连续型随机变量x的分布函数为0,x 0,F(x)=F(x)=Ax j_ P(fi2)P(A|B2) = Jx2 P(A) 53 120,0 x 1,Ax,1 x 2

9、.（3） p（ox-）o（1）由于F（x）在 = 2处连续，得:（1）由于F（x）在 = 2处连续，得:解:A2x, 0xl,（2）x的概率密度函数为人九）=尸（x）=y,o,其他.（3） P0x- = F（-）-F（0） = -0 = - 22444、三个箱子，第一个箱子中有4个黑球，1个白球 第 二个箱子中有3个黑球，3个白球第三个箱子中有3个黑 球，5个白球。（1）现随机地抽取一个箱子，再从这个箱 子中任取一球，求这个球为白球的概率；（2）已知取出的 球是白球，求此球属于第二个箱子的概率。解：设纥.表示“取出第i个箱子”，i = 1,2,3 A表示“取到 白球“，则尸（用）=Q F(x)

10、= 1)；( 3 )求E(e* o解：，/、 x0/(%) / (%) = ； 0 其它(2) P(|X|1) = P(X1)=1-尸=2(3 ) E(ex) = j； xelxdx =；6、设随机变量xn(o,i),求y = 2x2+i的概率密度。解：随机变量x的概率密度为2f(x) = F=e 2(- oo x +00)而设随机变量y的分布函数为43，则有FY(y) = PYy = p2X2+y=px2i时，8)= +耳= J苫意5 一生1211 口fr(y) = Fy(y) = Je 4 厂 /=/=e 4V 兀2行Jy -1 2”(y -1)所以：/y(y)= 10, yX=PX=O,

11、Y = 1+ 尸x =0,Y = 3+PX=l,Y = 3+ 尸X =2,7 = 38、有两个口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑球，乙 袋中盛有一个白球和两个黑球。由甲袋中任取一个球放入 乙袋，再从乙袋中取出一个球，求取到白球的概率。若发 现从乙袋中取出的是白球，请问从甲袋中取出放入乙袋的 球，黑白哪种颜色可能性大？解：（1）设3 = 从乙袋中取出的球为白球, 4=从甲 袋中放入乙袋的是白球,从甲袋中放入乙袋的是黑 球,p（5）= p（4）.p（3ia）+ p（4）p（5i4）=-xf x=3 2 3 4 12p(AB) p(A)p(8ia)/3_ = f 笫一 2 1115P(4B) P(4)

12、P(3|4) %2 1P(B)9、设随机变量X的概率密度为/（%） =9、设随机变量X的概率密度为/（%） =Aex - go x +oo ,求（1）系数A； （2） X落在区间（。）内的概率；（3） X的解:解:+00_ex dx分布函数。(1) v rf(x)dx=Aredx=2A(J00J00Jo=-2Ae-x4-oo.= 2A = 1oA 2分2(2) P(0 X 1) = - J exdx = = 1 (1 - e-1) =0.316-exdx = -ex-exdx = -exx 0(3 ) F(x) = J edx = Q2 J。2D、234、设随机变量X的方差D(X)存在，且D(

13、X)O,令 y = 2X,则夕xy= ( A ) oA、-1B、oC、iD、-25、设%厂,是来自总体x阳,/)的一个简单随机样 本，是样本均值，S2是样本方差，则有(D )。A、Ex -52) =-72B、E(x +52) = /2 +(72C、 E(x-s2) = /j + cr2D、E(x + s2) = ju + a6、设%”孙%3是来自总体xn(m02)的一个样本，要使 =L + ax2 +x3是未知参数的无偏估计，则常数” 36(C ) 0A、!6B. 13C、, 2D、17、对于任意两事件A、B,与= B不等价的是!1!、应用题1、设二维随机变量（x,y）的概率分布为YX-101

14、-10a0.10 b0.20.2100.1C其中a,b,c为常数，且X的数学期望EX=-0.2 , Py0|X0 = 0.5 , 1Ez = X + Y f 求（I ） a,6,c 的值；（II） Z 的 概率分布；（III） PX = ZO解： （I ）由概率分布的性质知ci + 0.2 + 0.1 + Z? + 0.2 + 0.1 + c* 1即a+b+c=0AEX = (a + 0.2) + (c + 0.1) = -0.2 , a-c = 0A又因PX0a + b + 0.5PX 0,y 0 cl + b + QA o.5 = proix o = 1(即 a + b = 0.3联立解方

15、程组得a = 0.2, Z? = 0.1,c = 0.1（ID故Z的概率分布为Z-2-1012P0.20.10.30.30.1(III) PX =Z = PX = X + Y = PY = Q = 0 + 0A + QA = Q.22、设二维随机变量（x,y）的概率密度为 | 一y 0）=f0谥求 随机变量X和y的边缘密度函数。 （2）概率尸（X+ K 00 x0 0 0（2） P（X + y 1） = eydy2= l + el - 2e L（0）= YI（0+M/=3+1）力H两边取对数：in f = in（e+1）+叱）/=13、设总体x的概率密度为/二+:一3、设总体x的概率密度为/二

16、+:一0% + 100 + 2（1） E（x）=j（e+i）f=llf+2 o0 + 2dlnLg) dO-dlnLg) dO-111(七)二0i=l0 = -1Elnx/i=4、设二维连续型随机变量(x,y)的联合概率密度为:1+孙,x 1, y 1其他(1)求随机变量x和y的边缘概率密度，并讨论x和y是否 独立；(2)求ex,ey； (3)求p(x + yi)。解：(1)当国1时，人(%)=匚%，y)6=匕宁办=;则人(%)=N1o,其他同理人31(W)，所以x和y不独立。(2 ) EX = j xfx (x)dx = j dx = O 1同理：EY = (+XyfY ydy = 0J00

17、(3) P(x + Y)= jj /(x, y)dxdyx+y0,60 ,o , xe,%,%2,，%为来自总体的一个样本，求。的极大似然估计。 解：似然函数L(Xj x;6) = e /=,，七8,i = l,2，取对数得In Lg) = -2之(xz- 6), 1=1求导得四=2心0,dO所以单调递增，而0xi9故取X,x最小者，L(6)最大,所以极大似然估计为3 = min%,%6、设二维随机变量(X,Y)的密度函数为 一 、AeQ+3y) xO,y() AQ。x。或 y 0, y 0,2% + 3y6 内的概率。解：由密度函数的性质:f0r7(%,y)Wy = l可知 J8 J00松(

18、2混广二、办二=2 = 1 ,则A = 6(2)由分布函数与密度函数的关系，我们可以知道尸(x，V)=f (x, y)dxdyJ-Q0 J-00_ 16e-2x+3y)dxdy = (e-2x - l)(e3y-1) x0, y00其它（3） P（X,y）wR） =JJ,f（x,y）dxdyR2六 6（2+3y）dy= 7/6+1 = 0.9837、设二维随机变量（x,y）的联合密度函数为21 99.f(x, y)= .f(x, y)= 二厂y x- y 140 其它 、求：（1） E（x）,E（y）及E（xr）；（2） x与y的边缘密度函数；(3) x与y是否相互独立？解：(1)E(X)=

19、f X+ xf(x,y)dxdy =dxydy = 0J-oo J-coJ-l Jx2 4石(Y)=匚彼(尤,y)心过y = f2 x2y2dy =1E(XY) =y)dxdy = 时：-x3y2dy = 0P 212n21 2/14 11(2) A (幻= J-00(2) A (幻= J-00x ydy x (1 x ) 1 x 1J480其它p+8/y(y) = /( y)dx = lJ-cop+8/y(y) = /( y)dx = lJ-co2必=/0yl0其它（3）由于/（x）“x（x）/y（y）,则X与y不相互独立。8、设总体x服从泊松分布p乂0为未知参数，如果取得样本观测值为和,%

20、”，求参数4的矩估计值和X的最 大似然估计值。解：（1）矩估计法，.X = 2,令；l = x,. n ,=l参数的矩估计值为力=元4分(2)最大似然估计，由于P(X = x)=勺e xn似然函数为由)=在Z=1 l 勺为T *匕ns)i=/. lnL(/l) = In 2 -ln(xz!)- nA.Z=1i=l 7令也磬二舟一。则最大似然估计为：夕,玉二元n ,=19、 服从柯西分布的随机变量X的分布函数是 F(x)=A+B arctanx ,求(1 )系数 A, B; (2) X 落在区间(-1,1) 内的概率；(3) X的概率密度。解：由方(-oo)=0,得 A+Barctg(-()=

21、a-b = o再由厂(+oo)=l,得 A + 8arctg(+oo) = A += 1综和(1),(2)两式解得a = !，b =， 271口口1艮口 F(x) = Harctg x271P(| X | 1) = P(-1 1) =F(-l) = arctg- -arctg-I =7171- = 0.5 2/(=/(幻=17111 + x210、设二维随机变量(X,Y)的概率密度为/(%) =磊 xy, 0 x 2,0 y 0一0其他（3）因/（%,） =人（%）加y），所以X, Y是独立的12、设总体x的密度函数为：/(x)= (Q + 1)X“0 X 10 其他设K，,X”是X的样本，求

22、4的矩估计量和极大似然估计。解：矩估计为:E(X)= lx-(a + l)xadx = 产2*a+ 2样本的一阶原点矩为：X=tXi 几日所以有：1=歹=近=这二。+ 21 X极大似然估计:一/（七,元2,，七,）= n+ l）xi = （。+ 1） Yz=lz=l两边取对数：In /（X,x）= nn（a + 1） + 区） i=两边对。求偏导数：誓:上+才.七产。oa a + l T7所以有：6 =力 n（） i=l13、设随机变量X, Y相互独立，且概率密度分别为=,血）=,o,其它，0，丁求（X, Y）的联合概率密度；（2）求概率P（Xy）o 解：（1） /（x,y） = /x（x）/

23、（y）0xQ其他1 7= /xQ)/(y)= , 2e ，o(2) P(X(y)= J：dr；ef2 1 =h(Q)f2 1 =h(Q)+00dx = x2 1-e-xdx。214、假设二维随机变量（x,y）在矩形G = （尤,y）0x2,0yl上服从均匀分布，记0X 2/0X Y9 V = Y求（1）。和v的联合分布；（2）。和v的相关系数。解：（1） U和V的联合分布(2) E(U)(2) E(U)E(V) = - , E(UV)2cov(t/,V) = i , 89301M (V )-3uV010011/2D(U) = ”， loR(U,V) = =15、设总体X的密度函数为0, x1,

24、 X-X2,X”为取自总体X的简单随机样 本，求参数力的矩估计量和极大似然估计量。解：E(X)= J -00J 1即当=总得参数月的矩估计量为似然函数为 L(/3) = fl =i=In L(p) = In，- (，+ 1)Z In xii=也更/一力”。dp 得参数万的极大似然估计值为p=E In再 i=A、 AuBB、BAC、AB 0D、AB =（/）8、事件A与5互不相容，且p（a）o,p（g）o,则下列关 系成立的是（B ） oA、A,3相互独立B、 A3不相互独立C、互为对立事件D、A5不互为对立事件9、设月（%）是Xj的分布函数，1 = 1,2 ,为使尸（%）=明（%）-妈（%）

25、是分布函数，则下列给定的各组值中应取（A ）。A、B、C、D、 10、某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为P（OP1）,则此人第4次射击恰好第2次命中目标 的概率为（c ）。A、3p(l p)2B、6P(1 - p)2C、3P2(1 p)2D、6P2(1 p)2n、将一枚硬币重复掷次，以X和y分别表示正面向 上和反面向上的次数，则X与y的相关系数等于（A ） oA、-iB、0C、1/2D、112、设随机变量xN（l,2）, yN（2,4）,且x与y相互独 立，贝U （ B ） oB、B、2X-Y273C、2X-Y + 1 N(l,9)D、D、2x y + i2V313、设x与y

26、为任意二个随机变量，若已知cov(x9y)= o,则必有(C ) oA、D(XY) = D(X)D(Y)B、x与y相互独立C、E(XY) = E(X)E(Y)D、x与y不独立14、设随机变量y = 3,则(C ) oXA、y比2(小B、Y - z2(h)-1C、Y - F(h,1)D、y-F(i,；i)15、设A、5为两随机事件，且BuA,则下列式子正确 的是(B )。A、P(AB) = P(A)B、尸(AU 3)=尸(A)C、P(B | A) = P(B)D、P(B-A) = P(B) - P(A)16、设A3为任意的两事件，则下列各选项中错误的选 项是(D )oA、若AS,则比一可能不相容

27、B、若A3W0,则耳目也可能相容C、若AB = g则瓦8也可能相容D、若则瓦3一定不相容17、设x尸，且仇(X i)(x 2) = 1,则:=( A ) oA、1B、2C、3D、018、在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从 中任取2件，那么以07为概率的事件是(D )。A、都不是一等品B、恰有1件一等品C、至少有1件一等品D、至多有1件一等品19、设随机变量x服从正态分布Ng/),则随的增 大，概率P(|x ”切是(C ) oA、单调增大B、单调减少C、保持不变D、增减不定20、设随机变量x和y服从二维正态分布，且x与y不 相关，fx。), 4(y)分别表示x、y的概率密度，则在丫的 条

28、件下，X的条件概率密度A(x|y)= ( A ) oA、fxkx)B、fY(y)C、A(X)人(y)D A(%)、fy(y)21、一盒产品中有。只正品，方只次品，有放回地任取两次，第二次取到正品的概率为(CA、Cl + 一 1B、 1)(a + b)(a + Z7 1)D、22、设X的分布函数为尸，则y = 3X + l的分布函数G（y）A、1 1Ay33JB、尸(3) + 1)C、3F(y) + lD、23、设A、B均为概率非零的事件，且AuB,则成立A、P(AuB) = P(A) + P(B)B、P(AB) = P(4)P(3)c、D、P(A -B) = P一P(B)24、设两个相互独立的随机变量x与y分别服从正态分布 N（0,l）和 则（B ） oA、p(x + ro)=1B、p(x + yi) = 1C、p(x-yo)=!D、p(x-yi)=g25、对任意随机变量X,若EX存在，则仇石(EX)等于 (C ) OA、oB、xC、EXD、(EX)326、有人打靶击中的概率为0.8,求他打了 10枪，直到 第十枪才击中的概率为(B )。A、B、C、D、C：o x 0.2 X 0.8927、设随机变量X的概率密度为4)=+a%2 -b1C、N(Q4 + 0,D、N (ajLt - b,a2cyj.