2022-2023学年高二数学上学期期中期末常考题型重点突破（人教A版2019）常考题型05 求解直线的倾斜角、斜率与直线的方程问题含解析 - 副本.pdf

《2022-2023学年高二数学上学期期中期末常考题型重点突破（人教A版2019）常考题型05 求解直线的倾斜角、斜率与直线的方程问题含解析 - 副本.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022-2023学年高二数学上学期期中期末常考题型重点突破（人教A版2019）常考题型05 求解直线的倾斜角、斜率与直线的方程问题含解析 - 副本.pdf（53页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2022-20232022-2023 学年高二数学上学期期中期末常考题型重点突破学年高二数学上学期期中期末常考题型重点突破常常考题型考题型 0505 求解直线的倾斜角、斜率与直线的方程问题求解直线的倾斜角、斜率与直线的方程问题1.斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角(范围)009090900不存在k02.过两点的直线的斜率公式：过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为 ky2y1x2x1.3.两条直线(不重合)平行的判定类型斜率存在斜率不存在前提条件12901290对应关系l1l2k1k2l1l2两直线的斜率都不存在图示3.两条直线垂直的判定图示对应关系l1l2

2、(两直线的斜率都存在)k1k21l1的斜率不存在，l2的斜率为0l1l24.直线的五种形式的方程形式方程局限点斜式yy0k(xx0)不能表示斜率不存在的直线斜截式ykxb不能表示斜率不存在的直线两点式yy1y2y1xx1x2x1x1x2，y1y2截距式xayb1不能表示与坐标轴平行及过原点的直线一般式AxByC0无考法一：考法一：直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率1.在已知斜率表达式的情况下，研究倾斜角的范围，应首先求出斜率的取值范围.2.解决三点共线问题，若已知三个点中的两个点的坐标，可以先通过这两个已知点求出直线方程，然后将第三个点代入求解；也可利用斜率相等或向量共线求解.3.在解决与含

3、参数的直线方程有关的直线相交问题时，首先要考虑该直线是否过定点.考法二：考法二：求直线的方程求直线的方程1.直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程.2.待定系数法：(1)设:设出所求直线方程的某种形式.(2)列:由条件列出所求参数的方程(组).(3)解:解这个方程(组)求出参数.(4)代:把参数的值代入所设直线方程.考法三：考法三：利用直线的斜率判断两条直线的位置关系利用直线的斜率判断两条直线的位置关系1.判断平行先确定题中两条不重合的直线的斜率是否存在，若斜率均不存在，则两直线平行；若只有一条直线斜率存在，则两条直线不平行；若两条直线的斜率均存在，则利用斜率公式求出斜

4、率，再利用两条直线平行的条件判断它们是否平行.（1）判断两条直线是否平行，应首先看两条直线的斜率是否存在，即先看两点的横坐标是否相等，对于横坐标相等这种特殊情况，应特殊判断.（2）在证明两条直线平行时，要区分平行与重合，必须强调不共线才能确定平行.因为斜率相等也可以推出两条直线重合.2.判断垂直当两直线的斜率都存在时，求出斜率，利用垂直的条件（两直线的斜率之积等于1)判断.当一条直线的斜率不存在时，看另一条直线的斜率是否为 0，若为 0，则垂直；否则，不垂直。利用斜率公式来判定两直线垂直的步骤如下：一看：看所给两点的横坐标是否相等.若相等，则直线的斜率不存在，此时只需看另一条直线的两点的纵坐标

5、是否相等，若相等，则垂直.若所给两点的横坐标不相等，则进行第二步.二代：将点的坐标代入斜率公式.三求：计算斜率的值，进行判断.当点的坐标中含有参数时，应用斜率公式前要对参数进行讨论.考法四：考法四：利用直线的方程判断两直线的位置关系利用直线的方程判断两直线的位置关系1.根据斜截式方程判断已知直线1l：y=1kx+1b与直线2l：y=2kx+2b，若1l2l，则1k=2k，此时两直线与 y 轴的交点不同，即1b2b；反之当1k=2k，且1b2b时，1l2l.所以有1l2l1k=2k，且1b2b.若1l2l，则1k2k=-1；反之当1k2k=-1 时，1l2l.所以有1l2l1k2k=-1.2.根

6、据一般式方程判断由一般式方程判断两直线位置关系的方法直线方程1l：1Ax+1By+1C=0(21A+21B0)；2l：2Ax+2By+2C=0(22A+22B0)1l与2l垂直的条件1A2A+1B2B=01l与2l平行的条件212121CCBBAA(2A2B2C0)1l与2l相交的条件2121BBAA(2A2B0)1l与2l重合的条件212121CCBBAA(2A2B2C0)探究一：探究一：直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率已知直线l经过22 2,2,0,0AxBxx两点，则直线l的倾斜角的取值范围为（）A423,B3,24C,2D3,4思路分析：思路分析：分0 x 和0 x 两种情况，分别

7、求出直线l的倾斜角范围，即可得到答案。【变式练习】【变式练习】1已知点2,1A，3,Bm，若31,313m，则直线AB的倾斜角的取值范围为（）A60150B060或150180C6090 或90150 D6090 或150180 2已知1,3A，3,1B两点，若直线:l ykx与线段AB恒有交点，则k的取值范围是（）A3,33B3,33C3,3,3D3,3,3探究二：探究二：求直线的方程求直线的方程直线 l 过点（1，2），且纵截距为横截距的两倍，则直线 l 的方程是_.思路分析：思路分析：根据题意，分 2 种情况讨论：直线过原点，又由直线经过点1,2，由点斜式方程即可得出答案.直线不过原点，

8、设其方程为12xyaa，又由直线经过点1,2，代入求出a，即可求出直线 l 的方程。【变式练习】【变式练习】1直线l过点1,0，且与直线3240 xy平行，则直线l的一般式方程为_2直线 l 经过点2,4B，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则 l 的点斜式方程为_探究三：探究三：利用直线的斜率判断两条直线的位置关系利用直线的斜率判断两条直线的位置关系2m 是直线1l：130mxmy与直线2l：1210mxy 平行的（）条件A充分不必要B必要不充分C充要D既不充分也不必要思路分析：思路分析：根据两条直线平行的条件，建立关于m的关系式，再利用充分条件和必要条件的定义进行判断。【变式练习】【变式

9、练习】1已知直线1:20lmxy，2:6(21)60lxmy，若12ll/，则实数 m 的值是（）A32B2C32或 2D32或22某菱形的一组对边所在的直线方程分别为210 xy 和230 xy，另一组对边所在的直线方程分别为1340 xyc和2340 xyc，则12cc（）A2 3B2 5C2D4探究四：探究四：利用直线的方程判断两直线的位置关系利用直线的方程判断两直线的位置关系已知直线1:(1)0lxmym，2:210lmxy，则“12ll/”的必要不充分条件是（）A2m B1m C2m 或1m D2m 思路分析：思路分析：直线1:(1)0lxmym，2:210lmxy平行的充要条件是“

10、2m ”，进而可得答案。【变式练习】【变式练习】1已知两条直线1l：131ykx，2l：232ykx，则下列说法正确的是（）A1l与2l一定相交B1l与2l一定平行C1l与2l一定相交或平行D以上均不对2过点2,1A且与直线:2430lxy平行的直线方程是（）A20 xyB250 xyC230 xyD240 xy一、单选题一、单选题1直线5cossin0,0,6xy的斜率的取值范围为（）A,3B2,C,00,3D,22已知点(1,0)M，(0,1)P，(2,3)Q，过M的直线l（不垂直于x轴）与线段PQ相交，则直线l斜率的取值范围是（）A13，B1,03,C13,，D10,3，3直线sin30

11、,xybbR的倾斜角的取值范围是（）A0,B2,6625,C50,66D5,664已知直线 ymx2 与直线 x+ny0 平行，则 m，n 的关系为（）Amn1Bmn+10Cmn0Dmn+105某直线 l 过点(3,4)B，且在 x 轴上的截距是在 y 轴上截距的 2 倍，则该直线的斜率是（）A43B12C43或12D43或126 设mR，过定点A的动直线0 xmy和过定点B的动直线30mxym交于点(,)P x y，则PA PB的最大值是（）A4B10C5D107已知直线 l 与直线1l：3470 xy，2l：12560 xy的夹角相等，且直线 l 过点1,3，则直线 l的方程为（）A792

12、00 xyB97300 xyC97200 xyD97300 xy或79200 xy8已知点00,Pxy，又,na b、k分别为过点P的直线l的法向量和斜率，有下列直线方程：000a xxb yy；00yyk xx；0mxtys（220mt，且000mxtys）其中能表示所有过点P的直线方程的个数是（）A0B1C2D3二、多选题二、多选题9已知点0,0O，0,Ab，3,B a a若OAB为直角三角形，则可能有（）A3baB31baaC90AOBD3310babaa10下列说法中，正确的是（）A直线230 xy在y轴上的截距是 3B直线10 xy 的倾斜角为135C(1,4),(2,7),(3,8

13、)ABC 三点共线D直线3410 xy与4320 xy垂直11已知直线12:(1)20,:(1)10laxaylaxa y，则（）A1l恒过点(2,2)B若12/ll，则22a C若12ll，则1a D当01a时，2l不经过第三象限12已知直线1:0lxaya和直线2:(23)20laxaya，则（）A2l始终过定点1 2(,)3 3B若2l在 x 轴和 y 轴上的截距相等，则1a C若12ll，则0a 或 2D若12ll/，则1a 或3三、填空题三、填空题13已知两条直线1:lyx、2:lyax，其中aR，当这两条直线的夹角在0,12内变化时，a 的取值范围为_14已知2,Pm，,4Q m，

14、2,3M m，1,1N，若直线/PQ直线MN，则m _15已知直线20 xy k 与两坐标轴围成的三角形的面积不小于 5，则 k 的取值范围为_16已知直线1:20lxmy与直线2:2320lmxmym互相垂直，则实数m的值为_.四、解答题四、解答题17已知点23,Mmm、2,1N m(1)当1m 时，直线 MN 的倾斜角为何值？(2)当 m 取何值时，直线 MN 的倾斜角为锐角、直角、钝角？18（1）求过点(5,2)P且平行于直线:310lxy 的直线的方程；（2）求过点(2,1)P 且垂直于直线:340l xy的直线的方程19已知直线:230l kxyk经过定点 P(1)证明：无论 k 取

15、何值，直线 l 始终过第二象限；(2)若直线 l 交 x 轴负半轴于点 A，交 y 轴正半轴于点 B，当11|23PAPB取最小值时，求直线 l 的方程20在平面直角坐标系中，已知菱形ABCD的顶点0,2A和4,6,CAB所在直线的方程为240 xy.(1)求对角线BD所在直线方程；(2)已知直线l过点2,1P，与直线AB的夹角为5arccos5，求直线l的方程.（以上所求方程都以直线的一般式方程作答）常考题型常考题型 0505 求解直线的倾斜角、斜率与直线的方程问题求解直线的倾斜角、斜率与直线的方程问题1.斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角(范围)009090900不存在k时，直线MN的倾斜角

16、为锐角；当5m 时，直线MN的倾斜角为直角；当51m 时，直线MN的倾斜角为钝角【分析】（1）当 m=1 时，5,1M，1,1N，1 101 5MNk，倾斜角为 0.（2）当 2m+3=m-2，即 m=-5 时，倾斜角为直角；当5m 时，112235MNmmkmmm，当倾斜角为锐角时，0，解得5m 或1m，当倾斜角为钝角时，时，直线 MN 的倾斜角为锐角；当 m=-5 时，直线 MN 的倾斜角为直角；当51m 时，直线 MN 的倾斜角为钝角.18（1）求过点(5,2)P且平行于直线:310lxy 的直线的方程；（2）求过点(2,1)P 且垂直于直线:340l xy的直线的方程【答案】（1）31

17、30 xy（2）350 xy【解析】（1）由题意，直线:310lxy 的斜率为3k 由直线方程的点斜式有：23(5)3130yxxy即过点(5,2)P且平行于直线:310lxy 的直线的方程为：3130 xy（2）由题意，直线:340l xy的斜率为13k 故与直线垂直的直线斜率3k 由直线方程的点斜式有：13(2)350yxxy 即过点(2,1)P 且垂直于直线:340l xy的直线的方程为350 xy19已知直线:230l kxyk经过定点 P(1)证明：无论 k 取何值，直线 l 始终过第二象限；(2)若直线 l 交 x 轴负半轴于点 A，交 y 轴正半轴于点 B，当11|23PAPB取

18、最小值时，求直线 l 的方程【答案】(1)证明见解析(2)50 xy【解析】（1）证明：由230kxyk可得：(3)20k xy，由3020 xy可得32xy，所以 l 经过定点(3,2)P；即直线 l 过定点(3,2),且定点在第二象限，所以无论 k 取何值，直线 l 始终经过第二象限（2）设直线 l 的倾斜角为，则02，可得23|,|sincosPAPB，所以1111sincos|23sincossincosPAPB，令sincos2sin4t，因为02，可得32,sin144424，即2sin(1,24t，将sincost两边平方可得：22(sincos)12sincost，所以21si

19、ncos2t，所以2211sincos22|1123sincos12ttPAPBtttt，因为1ytt 在(1,2上单调递增，所以1202tt，故121ytt，所以22 21tt，当且仅当2t 时取等号，此时2sin24t，可得4，所以tantan14k，所以直线的方程为50 xy20在平面直角坐标系中，已知菱形ABCD的顶点0,2A和4,6,CAB所在直线的方程为240 xy.(1)求对角线BD所在直线方程；(2)已知直线l过点2,1P，与直线AB的夹角为5arccos5，求直线l的方程.（以上所求方程都以直线的一般式方程作答）【答案】(1)60 xy(2)20 x或3420 xy【解析】(

20、1)由题意可知，AC的中点(2,4)在直线BD上，621,1,140ACACBDBDkkkk 对角线BD所在直线方程为4(2)yx，即60 xy(2)点2,1P在直线AB上，设直线AB的倾斜角为，直线l与直线AB的夹角为则直线l的倾斜角为或52 5cos,sin,tan255，1tan2当直线l的倾斜角为时，tantan1,90 ，即90故直线l的方程为：20 x当直线l的倾斜角为时，1232tan()14122，则直线l的方程为3(2)14yx，即3420 xy。常考题型常考题型 0606 直线的交点与距离问题直线的交点与距离问题1两直线的交点已知直线 l1：A1xB1yC10；l2：A2x

21、B2yC20.点 A(a，b)(1)若点 A 在直线 l1：A1xB1yC10 上，则有 A1aB1bC10.(2)若点 A 是直线 l1与 l2的交点，则有A1aB1bC10，A2aB2bC20.2两直线的位置关系方程组A1xB1yC10，A2xB2yC20的解一组无数组无解直线 l1与 l2的公共点的个数一个无数个零个直线 l1与 l2的位置关系相交重合平行3.两点间的距离公式：点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|x2x12y2y12.4.点到直线的距离、两条平行线间的距离点到直线的距离两条平行直线间的距离定义点到直线的垂线段的长度夹在两条平行直线间公垂线段的

22、长图示公式(或求法)点 P(x0，y0)到直线 l：AxByC0 的距离 d|Ax0By0C|A2B2两条平行直线 l1：AxByC10 与l2：AxByC20 之间的距离 d|C1C2|A2B2考法一：考法一：直线的交点问题直线的交点问题已知两直线1l：1Ax+1By+1C=0，2l：2Ax+2By+2C=0.若两直线方程组成的方程组00222111CyBxACyBxA，有唯一解00yyxx，则两直线相交，交点坐标为(0 x，0y).考法二：考法二：对称问题对称问题1.点关于点的对称若点 M(1x，1y)关于点 P(a，b)的对称点为 M(x，y)，则由中点坐标公式得1122ybyxax，即

23、 M(1x，1y)关于点 P(a，b)的对称点为 M(12xa，12yb).2.点关于线的对称(1)点关于特殊直线的对称点点 P(0 x，0y)关于 x 轴的对称点为 P(0 x，-0y)；点 P(0 x，0y)关于 y 轴的对称点为 P(-0 x，0y)；点 P(0 x，0y)关于直线 y=x 的对称点为 P(0y，0 x)；点 P(0 x，0y)关于直线 y=-x 的对称点为 P(-0y，-0 x)；点 P(0 x，0y)关于直线 y=x+b 的对称点为 P(by 0，bx 0)；点 P(0 x，0y)关于直线 y=-x+b 的对称点为 P(0yb，0 xb).(2)点关于一般直线的对称点

24、若两点1P(1x，1y)，2P(2x，2y)关于直线 l:Ax+By+C=0 对称，则由方程组,1,02212122121BAxxyyCyyBxxA可得到点1P关于直线 l 对称的点2P的坐标(2x，2y)(其中 B0，1x2x).3.线关于点的对称(1)在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点的对称点的坐标，再由两点式求出直线方程；(2)求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程.4.线关于线的对称(1)若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点的坐标，然后用点斜式求解（斜率存在）.(2)若直线与对称轴相交，则先求出交点坐标，然后取直线上一

25、点，求该点关于对称轴的对称点坐标，最后由两点式求解（不包含与坐标轴平行的直线）.考法三：考法三：距离问题距离问题1.求两点间的距离：关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般用来判断三角形的形状等.2.求点到直线的距离：应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑用待定系数法，此时必须讨论斜率是否存在.3.求两条平行线间的距离：要先将直线方程中 x，y 的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解.也可以转化成点到直线的距离问题.探究一：探究一：直线的交点问题直线的交点问题已知111,P a b与222,P a b是直线1ykx（k为常数）上两个不同的点，则关于x和

26、y的方程组112211a xb ya xb y的解的情况是（）A无论k，1P，2P如何，方程组总有解B无论k，1P，2P如何，方程组总有唯一解C存在k，1P，2P，方程组无解D存在k，1P，2P，方程组无穷多解思路分析：思路分析：通过111,P a b与222,P a b是直线1ykx上，推出1212,a a b b的关系，然后解方程组即可。【变式练习】【变式练习】1经过两直线1:230lxy与2:210lxy 的交点，且平行于直线3270 xy的直线方程是（）A2350 xyB2310 xy+-=C3220 xyD3210 xy 2若直线1l：ax4y20 与直线2l：2x5yb0 垂直于点

27、(1，c)，则 abc()A2B4C2D4探究二：探究二：对称问题对称问题在直角坐标系中，已知(2,1)M和直线:0l xy，试在直线l上找一点P，在1yk x轴上找一点Q，使三角形MPQ的周长最小，最小值为_思路分析：思路分析：如图，作出(2,1)M关于直线:0l xy的对称点(1,2)N，作出(2,1)M关于1yk x轴的对称点(2,1)E-，则连结EN，交直线l于P，交1yk x轴于Q，则MPQ的周长的最小值等于NE。【变式练习】【变式练习】1 在直线:210lxy 上一点 P 到点 A（-3，0），B（1，4）两点距离之和最小，则点 P 的坐标为_.2 将一张坐标纸折叠一次，使点0,2

28、与点2,0重合，且点2022,2023与点,m n重合，则nm_探究三：探究三：距离问题距离问题过定点 A 的直线0 xmymR与过定点 B 的直线30mxymmR交于点,P x y，则22|PAPB的值为（）A10B10C2 5D20思路分析：思路分析：求 出 定点A，B的 坐 标，再 分0m 和0m 两 种 情况 讨 论，可判 断 两 直 线垂 直，由222|PAPBAB即可求解。【变式练习】【变式练习】1以2,1A，4,2B，8,5C为顶点的三角形的面积等于（）A1B45C65D22已知梯形 ABCD 中，ABCD，2CDAB，且对角线交于点 E，过点 E 作与 AB 所在直线的平行线

29、l.若 AB 和 CD 所在直线的方程分别是3460 xy与3490 xy，则直线 l 与 CD 所在直线的距离为（）A1B2C3D4一、单选题一、单选题1已知111,P a b与222,P a b是直线111,Pab（222,P ab为常数）上两个不同的点，则关于1l：1110a xb y 和2l：2210a xb y 的交点情况是（）A存在 222,P ab、1P、2P使之无交点B存在 222,P ab、1P、2P使之有无穷多交点C无论 222,P ab、1P、2P如何，总是无交点D无论 222,P ab、1P、2P如何，总是唯一交点2已知平面上三点坐标为2,1A、0,2B、1,0C，小明

30、在点B处休息，一只小狗沿AC所在直线来回跑动，则小狗距离小明最近时所在位置的坐标为（）A3 11,8 8B5 19,12 12C1 3,2 2D3 7,5 53点2,0P关于直线:10l xy 的对称点Q的坐标为（）A1,3 B1,4 C4,1D2,34直线2360 xy分别交x轴和y于点,A B，P为直线yx上一点，则PAPB的最大值是（）A1B2C3D45直线 l 的倾斜角为 135，且过点(1,1)，则这条直线被坐标轴所截得的线段长是（）A2B2C22D46已知直线1:10lxmy 过定点A，直线2:30lmxym过定点B，1l与2l相交于点P，则22PAPB（）A10B13C16D20

31、7已知4,0A，0,4B，从点2,0P射出的光线经直线AB反射后，再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（）A3 3B6C2 10D2 58 已知直线1l：20 xy，2l：20 xy，直线3l垂直于1l，2l，且垂足分别为 A，B，若4 0C ，4 0D，则CAABBD的最小值为（）A102 2B82C2 102 2D8二、多选题二、多选题9若直线 m 被两平行直线1l：xy10 与2l：xy30 所截得的线段长为2 2，则直线 m 的倾斜角可以是（）A15B30C60D7510已知平面上一点(4,0)M，若直线上存在点P，使|3PM，则称该直线为“点M相关直

32、线”，下列直线中是“点M相关直线”的是（）A2y B430 xyC3450 xyD210 xy 11已知直线1l：20 xay，2l：20axy，aR，以下结论正确的是（）A不论a为何值时，1l与2l都互相垂直B当a变化时，1l与2l分别经过定点(2,0)A 和(0,2)BC不论a为何值时，1l与2l都关于直线0 xy对称D设O为坐标原点，如果1l与2l交于点M，则MO的最大值是2 212若P，Q分别为1:3450lxy，2:80laxyc上的动点，且1l/2l，下面说法正确的有（）A直线2l的斜率为定值B当25c 时，|PQ的最小值为32C当|PQ的最小值为 1 时，20c D10c 三、填

33、空题三、填空题13已知直线1:230lmxym，2:10lmxym，则直线1l与2l之间的距离最大值为_.14直线:23l yx关于点2,3P对称的直线的方程是_15已知直线:1l yx与 x 轴的交点为 F，A，B 是直线 l 上的两个动点，点 P 是线段 AB 上的任意一点，点 P 到直线1x 的距离为 d.若dPF恒成立，则线段 AB 的最大长度为_.16在直角坐标系中，若2,1A、1,2B、0,RCyy，则ACBC的最小值是_四、解答题四、解答题17已知点(3,5)A 和(2,15)B，P 为直线10 xy 上的动点.(1)求(3,5)A 关于直线10 xy 的对称点0(A x，0)y

34、，(2)求PAPB的最小值.18求适合下列条件的直线方程：(1)求经过点2,2并且和直线210 xy 垂直的 l 直线方程；(2)已知直线 l 经过点3,2A，且原点到直线 l 的距离等于 3 的直线方程19直线:310lxy，在:0lx y 上求一点l，使得(1)l到(4,1)A和(0,4)B的距离之差的绝对值最大；(2)l到(4,1)A，(3,4)C的距离之和最小20已知点2 0A，点 B(2 3,0)，直线:0lx y ：3140(xy其中)R（1）求直线:0lx y 所经过的定点 P 的坐标；（2）若分别过 A，B 且斜率为3的两条平行直线截直线:0lx y 所得线段的长为4 3，求直

35、线:0lx y 的方程常考题型常考题型 0606 直线的交点与距离问题直线的交点与距离问题1两直线的交点已知直线 l1：A1xB1yC10；l2：A2xB2yC20.点 A(a，b)(1)若点 A 在直线 l1：A1xB1yC10 上，则有 A1aB1bC10.(2)若点 A 是直线 l1与 l2的交点，则有A1aB1bC10，A2aB2bC20.2两直线的位置关系方程组A1xB1yC10，A2xB2yC20的解一组无数组无解直线 l1与 l2的公共点的个数一个无数个零个直线 l1与 l2的位置关系相交重合平行3.两点间的距离公式：点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P

36、2|x2x12y2y12.4.点到直线的距离、两条平行线间的距离点到直线的距离两条平行直线间的距离定义点到直线的垂线段的长度夹在两条平行直线间公垂线段的长图示公式(或求法)点 P(x0，y0)到直线 l：AxByC0 的距离 d|Ax0By0C|A2B2两条平行直线 l1：AxByC10 与l2：AxByC20 之间的距离 d|C1C2|A2B2考法一：考法一：直线的交点问题直线的交点问题已知两直线1l：1Ax+1By+1C=0，2l：2Ax+2By+2C=0.若两直线方程组成的方程组00222111CyBxACyBxA，有唯一解00yyxx，则两直线相交，交点坐标为(0 x，0y).考法二：

37、考法二：对称问题对称问题1.点关于点的对称若点 M(1x，1y)关于点 P(a，b)的对称点为 M(x，y)，则由中点坐标公式得1122ybyxax，即 M(1x，1y)关于点 P(a，b)的对称点为 M(12xa，12yb).2.点关于线的对称(1)点关于特殊直线的对称点点 P(0 x，0y)关于 x 轴的对称点为 P(0 x，-0y)；点 P(0 x，0y)关于 y 轴的对称点为 P(-0 x，0y)；点 P(0 x，0y)关于直线 y=x 的对称点为 P(0y，0 x)；点 P(0 x，0y)关于直线 y=-x 的对称点为 P(-0y，-0 x)；点 P(0 x，0y)关于直线 y=x+

38、b 的对称点为 P(by 0，bx 0)；点 P(0 x，0y)关于直线 y=-x+b 的对称点为 P(0yb，0 xb).(2)点关于一般直线的对称点若两点1P(1x，1y)，2P(2x，2y)关于直线 l:Ax+By+C=0 对称，则由方程组,1,02212122121BAxxyyCyyBxxA可得到点1P关于直线 l 对称的点2P的坐标(2x，2y)(其中 B0，1x2x).3.线关于点的对称(1)在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点的对称点的坐标，再由两点式求出直线方程；(2)求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程.4.线关于线的对称(1)若直

39、线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点的坐标，然后用点斜式求解（斜率存在）.(2)若直线与对称轴相交，则先求出交点坐标，然后取直线上一点，求该点关于对称轴的对称点坐标，最后由两点式求解（不包含与坐标轴平行的直线）.考法三：考法三：距离问题距离问题1.求两点间的距离：关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般用来判断三角形的形状等.2.求点到直线的距离：应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑用待定系数法，此时必须讨论斜率是否存在.3.求两条平行线间的距离：要先将直线方程中 x，y 的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解.也可以转化成点到直

40、线的距离问题.探究一：探究一：直线的交点问题直线的交点问题已知111,P a b与222,P a b是直线1ykx（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组112211a xb ya xb y的解的情况是（）A无论k，1P，2P如何，方程组总有解B无论k，1P，2P如何，方程组总有唯一解C存在k，1P，2P，方程组无解D存在k，1P，2P，方程组无穷多解思路分析：思路分析：通过111,P a b与222,P a b是直线1ykx上，推出1212,a a b b的关系，然后解方程组即可。【解析】已知111,P a b与222,P a b是直线1ykx（k为常数）上两个不同的点，所以2112

41、bbkaa,即12aa,并且11221,1bkabka，2 11 212122121 a ba bka aka aaaaa.所以112211a xb ya xb y21bb得：1 22 121a ba bxbb即1221aaxbb,所以方程组有唯一解.故选：B【答案】B【变式练习】【变式练习】1经过两直线1:230lxy与2:210lxy 的交点，且平行于直线3270 xy的直线方程是（）A2350 xyB2310 xy+-=C3220 xyD3210 xy【答案】D【解析】解：由230210 xyxy，解得11xy，所以直线1:230lxy与2:210lxy 的交点为1,1，设与直线3270

42、 xy平行的直线为3207xymm，所以312 10m 解得1m，所以直线方程为3210 xy；故选：D2若直线1l：ax4y20 与直线2l：2x5yb0 垂直于点(1，c)，则 abc()A2B4C2D4【答案】D【解析】直线 ax4y20 与直线 2x5yb0 垂直，245a1，a10，直线 ax4y20 的方程即为 5x2y10将点(1，c)的坐标代入上式，可得 52c10，解得 c2将点(1，2)的坐标代入方程 2x5yb0，得 25(2)b0，解得 b12故 abc101224故选：D.探究二：探究二：对称问题对称问题在直角坐标系中，已知(2,1)M和直线:0l xy，试在直线l上

43、找一点P，在1yk x轴上找一点Q，使三角形MPQ的周长最小，最小值为_思路分析：思路分析：如图，作出(2,1)M关于直线:0l xy的对称点(1,2)N，作出(2,1)M关于1yk x轴的对称点(2,1)E-，则连结EN，交直线l于P，交1yk x轴于Q，则MPQ的周长的最小值等于NE。【解析】解：如图，作出(2,1)M关于直线(2,1)M的对称点(1,2)N，作出(2,1)M关于x轴的对称点(2,1)E-，连结(2,1)E-，交直线:0lx y 于l，交x轴于Q，MPPN，MQQE，三角形MPQ的周长为线段NE的长，由两点间线段最短得此时三角形MPQ的周长最小，三角形MPQ的周长最小时，最

44、小值为：22|(12)(21)10NE 故答案为：10【答案】10【变式练习】【变式练习】1 在直线:210lxy 上一点 P 到点 A（-3，0），B（1，4）两点距离之和最小，则点 P 的坐标为_.【答案】1,3【解析】设A关于直线210 xy 的对称点为1,A m n，连接1PA，则11PAPBPAPBAB，当且仅当1,A P B三点共线时等号成立.而132321022nmmn ，解得12mn，故11,2A，故直线1:1A B x，故当PAPB取最小值时，l的横坐标为 1，故其纵坐标为 3，即1,3P.故答案为：1,3.2 将一张坐标纸折叠一次，使点0,2与点2,0重合，且点2022,2

45、023与点,m n重合，则nm_【答案】1【解析】0,2A与2,0B 的中点坐标为02 20,22，即1,1，0,2A与2,0B 连线的斜率为20102ABk，所以线段AB的垂直平分线的斜率为-1，所以线段AB的垂直平分线方程为11yx ，即yx，因为2022,2023关于yx的对称点为,m n，所以2023120222023202222nmnm，解得：20232022mn ，故202220231nm 故答案为：1探究三：探究三：距离问题距离问题过定点 A 的直线0 xmymR与过定点 B 的直线30mxymmR交于点,P x y，则22|PAPB的值为（）A10B10C2 5D20思路分析：

46、思路分析：求 出 定点A，B的 坐 标，再 分0m 和0m 两 种 情况 讨 论，可判 断 两 直 线垂 直，由222|PAPBAB即可求解。【解析】直线0 xmy过定点(0,0)A，直线30mxym可化为(1)30m xy，由1030 xy 可得13xy，所以定点(1,3)B，当0m 时，直线方程为0 x，30y，此时两直线垂直，当0m 时，由两直线的斜率之积为121()1k kmm 可知两直线垂直，所以PAPB，所以22222|0 10310PAPBAB，故选：B.【答案】B【变式练习】【变式练习】1以2,1A，4,2B，8,5C为顶点的三角形的面积等于（）A1B45C65D2【答案】A【

47、解析】由题意知：2224(12)5AB，直线AB的方程为2 11(2)42yx，即20 xy，则C到直线AB的距离为2282 52 551(2)，故三角形的面积为12 55125.故选：A.2已知梯形 ABCD 中，ABCD，2CDAB，且对角线交于点 E，过点 E 作与 AB 所在直线的平行线 l.若 AB 和 CD 所在直线的方程分别是3460 xy与3490 xy，则直线 l 与 CD 所在直线的距离为（）A1B2C3D4【答案】B【解析】梯形 ABCD 中，ABCD，2CDAB，且对角线交于点 E，则有ABE与CDE相似，相似比为1:2，则:1:2AE EC，点 E 到 CD 所在直线

48、的距离为 AB 和 CD 所在直线距离的23又 AB 和 CD 所在直线的距离为229(6)334，则直线 l 与 CD 所在直线的距离为 2故选：B一、单选题一、单选题1已知111,P a b与222,P a b是直线111,Pab（222,P ab为常数）上两个不同的点，则关于1l：1110a xb y 和2l：2210a xb y 的交点情况是（）A存在 222,P ab、1P、2P使之无交点B存在 222,P ab、1P、2P使之有无穷多交点C无论 222,P ab、1P、2P如何，总是无交点D无论 222,P ab、1P、2P如何，总是唯一交点【答案】D【解析】解：因为111,P a

49、 b与222,P a b是直线111,Pab上两个不同的点，直线斜率存在，所以2121bbkaa，即12aa，并且11221,1bkabka，则2 11 212212121a ba bka aaka aaaa，联立11221010a xb ya xb y ，消y得1 22 121a ba bxbb，即1221aaxbb，所以2112bbxaa，所以方程组11221010a xb ya xb y 有唯一解，即无论 222,P ab、1P、2P如何，总是唯一交点.故选：D.2已知平面上三点坐标为2,1A、0,2B、1,0C，小明在点B处休息，一只小狗沿AC所在直线来回跑动，则小狗距离小明最近时所在

50、位置的坐标为（）A3 11,8 8B5 19,12 12C1 3,2 2D3 7,5 5【答案】C【解析】因为112 1ACk，所以，直线AC的方程为1yx，即1yx ，设小狗的位置为点P，当BPAC时，小狗距离小明最近，此时直线BP的方程为2yx，联立21yxyx ，解得1232xy，因此，小狗距离小明最近时所在位置的坐标为1 3,2 2.故选：C.3点2,0P关于直线:10l xy 的对称点Q的坐标为（）A1,3 B1,4 C4,1D2,3【答案】A【解析】设点2,0P关于直线10 xy 的对称点的坐标为,a b，则011221022baab ，解得13ab .所以点Q的坐标为1,3 故选