河北省衡水中学2023届高三上学期一调考试数学试卷含答案.pdf

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1、学科网（北京）股份有限公司1河北省衡水中学河北省衡水中学 2023 届上学期高三年级一调考试数学届上学期高三年级一调考试数学本试卷分第本试卷分第 I 卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。共卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。共 4 页，总分页，总分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟。分钟。第第 I 卷（选择题共卷（选择题共 60 分）分）一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合03|2xxxA，33|xx

2、B，则BAA21,0B3,21C)2,0(D(1，3)2若1.05a，3log212b，8.0log3c，则cba,的大小关系为AcbaBcabCabcDbac3设Rba,，则使ba 成立的一个充分不必要条件是A33ba B0)(log2baC22ba Dba114 我国古代数学家李善兰在 对数探源 中利用尖锥术理论来制作对数表，他通过“对数积”求得223.045ln,693.02ln，由此可知2.0ln的近似值为A-1.519B-1.726C-1.609D-1.3165已知y关于x的函数图象如图所示，则实数yx,满足的关系式可以是A01log|1|3yxByxx312C02|1|yxD1|l

3、n yx6已知函数)(xf是定义在 R 上的单调函数若对任意Rx，都有32)(xxff，则)4(f学科网（北京）股份有限公司2A9B15C17D337已知函数1|16)(xmxexfx的最大值为M，最小值为N，则 NMA3B4C6D与m值有关8已知正实数yx,满足yyxx)11)(142(22，则yx2的最小值为A1B2C4D23二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分

4、，有选错的得 0 分。分。9已知集合U为全集，集合CBA,均为U的子集若BA，CA，CB，则A)(CBCAUB)(BACCUCUCBADCBA10已知定义域为I的偶函数)(xf在区间),0(上单调递增，且Ix，使0)(xf，则下列函数中符合上述条件的是A3)(2 xxfBxxxf22)(C|log)(2xxfDxxxf1)(11记ABC的三边长分别为cba,，且2abc，则下列结论正确的是A222abbaB22baabC422cbaD22cba12某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限)0(rr、劳累程度、)10(TT劳动动机)1(bb相关，并建立了数学模型.101014.0rbTE

5、已知甲、乙为该公司的员工，下列结论正确的是A若甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长、劳累程度弱，则甲比乙工作效率高B若甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长、劳动动机高，则甲比乙工作效率低C若甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高、工作年限短，则甲比乙劳累程度弱D若甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高、劳动动机低，则甲比乙劳累程度强学科网（北京）股份有限公司3第卷（非选择题共第卷（非选择题共 90 分）分）三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题每小题小题每小题 5 分，共分，共 20 分。分。13若命题“01,3,1 2axxx”是假命题，则实数a的最大值为14高斯是德国著名的数学

6、家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名了“高斯函数”设Rx，用x表示不超过x的最大整数，则xy 称为高斯函数，也称取整函数，例如：23.1，.34.3已知31131)(xxf，则函数)(xfy 的值域为15已知)(xf是定义在 R 上的奇函数，)1(xf为偶函数，且当10 x时，)(xf)2(log2x，则)21(f=.16 已知函数).(,1,4)(2Raaxeaxxxfx若函数)1)()(xffxg有三个零点，则实数a的取值范围是.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明

7、过程或演算步骤。17（10 分）已知函数.|)(2xxxf(1)求不等式2)(xf的解集；(2)若对任意0 x，不等式02)(mxxf恒成立，求实数m的取值范围18（12 分）已知函数).2(log)2(log)(22xxxf(1)判断)(xf的奇偶性，并说明理由；(2)若关于x的方程)(log)(2xaxf有两个不同的实数根，求实数a的取值范围.19（12 分）设cba,为正实数，且1cba.证明：(1)29111accbba；学科网（北京）股份有限公司4(2).23333abccabcabcba20（12 分）已知函数).(121)(Rxxfx(1)已知)(xf的图象存在对称中心),(ba

8、的充要条件是baxfxg)()(的图象关于原点中心对称，证明：)(xf的图象存在对称中心，并求出该对称中心的坐标；(2)若对任意,1 1nx，都存在23,12x及实数m，使得1)()1(211xxfmxf，求实数n的最大值21（12 分）经过市场调研发现，某企业生产的某种时令商品在未来一个月（30 天）内的日销售量)(tm（单位：百件）与时间第t天的关系如下表所示：第t天131030日销售量)(tm百件236.516.5未来 30 天内，受市场因素影响，前 15 天此商品每天每件的利润)(1tf（单位：元）与时间第t天的函数关系式为151(883)(1tttf，且)Zt，而后 15 天此商品每

9、天每件的利润)(2tf（单位：元）与时间第t天的函数关系式为3016(2600)(2tttf，且).Zt(1)现给出以下两类函数模型：bkbkttm,()(为常数）；baabtmt,()(为常数，0a，且1 a）分析表格中的数据，请说明应选择哪类函数模型，并求出该函数模型的解析式；(2)若这 30 天内该企业此商品的日销售利润均未能超过 40 000 元，则考虑转型请判断该企业是否需要考虑转型，并说明理由学科网（北京）股份有限公司522（12 分）已知函数.1,)1(,10,11)(2xxxxxf(1)当ba 0，且)()(bfaf时，求22)1(1ba的取值范围；(2)是否存在正实数)(,b

10、aba，使得函数)(xfy 在区间,ba上的取值范围是,1 a 1b？若存在，则求出ba,的值；若不存在，请说明理由.数学参考答案数学参考答案一、选择题一、选择题1 B【解 析】【解 析】由 题 意 得 集 合30|xxA，21xxB，所 以.321xxBA2 A【解 析】【解 析】因 为15501.0a，3log02b14log2，01log8.0log33c，所以.cba3 B【解 析】【解 析】对 于baba33,A，故 A 不 符 合 题 意；对 于 B，bbababa110)(log2，故B符 合 题 意；对 于C，|22baba，不一定能推出ba，故 C 不符合题意；对于 D，ba

11、11，若0b，则ba，故 D 不符合题意4 C【解 析】【解 析】因 为223.045ln，所 以2ln25ln223.0，所 以223.0693.02223.02ln25ln609.1223.0386.1，所以.609.15ln2.0ln5A【解析】【解析】对于 A，由01log|1|3yx，得y1log3|1|x，所以|1|log3xy，学科网（北京）股份有限公司6即|1|log3xy，所以|1|1|313xxy 将函数|31xy0,3,0,31xxxx的图象向右平移 1 个单位长度得到题中所给图象，故 A 正确；对于 B，取1x，则由12y3)1(1，得12 y，与题中图象不符，故 B

12、错误；由02|1|yx，得|1|2xy，其图象是将函数y|2x的图象向右平移 1 个单位长度得到的，如图：与题中所给的图象不符，故 C 错误；由1|ln yx，得1|lnxy，该函数为偶函数，图象关于y轴对称，显然与题中图象不符，故 D 错误6C【解析】【解析】因为)(xf是 R 上的单调函数，所以存在唯一的Rt，使.3)(tf由方程32)(xxff，得xxft2)(，则txfx 2)(，所以.32)(ttft设xxgx 2)(，则)(xg在 R 上是增函数，且)1(g3，所以1t，所以12)(xxf，故.1712)4(4f7 C【解 析】【解 析】由 题 意 可 知31|16)(xmxexf

13、x1|1)1(3xmxeexx，令1|1)1(3)(xmxeexgxx，则)(xg的定义域为R，1)1(3)(xxeexg)(1|1)1(31|)(xgxmxeexxmxx，所以)(xg为奇函数，所以0)()(minmaxxgxg，故minmaxminmax)(3)()()(xgxgNMxfxf.638B【解析】【解析】因为yyxx)11()142(22，所以yyyyxx11111422221112yy令1)(2tttf，0t，易知1)(2tttf在区间),0(上单调递增，故yx12，即12xy又0,0yx，所以yx2222xy，当且仅当yx2，即1x，21y时等号成立，所以yx2的最小值为

14、2学科网（北京）股份有限公司7二、选择题二、选择题9AD【解析】【解析】如图所示：由图可得)(CBCAU，故 A 正确；，故 B 错误；UCBA)(，故 C 错误；CBAC，故 D 正确10 AC【解析】【解析】对于 A，3)(2 xxf的定义域为 R，)(33)()(22xfxxxf，所以)(xf为偶函数又)(,02)1(xff在区间),0(上单调递增，故 A 符合；对于 B，022)(xxxf恒成立，故 B 不符合；对于 C，|log)(2xxf的定义域为),0()0,(|log|log)(22xxxf)(xf，所以)(xf为偶函数 又0121f，)(xf在区间),0(上单调递增，故 C

15、符合；对于 D，因为xxxf1)(的定义域为),0()0,()(1)(xfxxxf，所以)(xf为奇函数，故 D 不符合.11ABC【解析】【解析】对于 A，abcbaabba2222)(2bcaabab，在ABC中，0ab，bca，则222abba成 立，故 A 正 确；对 于 B，baab222abccab，故B正确；对于C，2ba42222abcbcac，当且仅当1,2cba时等号成立，故 C 正确；对于 D，当2,1cba时，满足2abc，但22221cba，故 D 错误12AC【解析】【解析】设甲与乙的工作效率分别为21,EE，工作年限分别为21,rr，劳累程度分别为21,TT，劳动

16、动机分别为21,bb，对于 A，121 bb，021 rr，2T01T，所以1214.0114.02rrbb，则1211010TEE22114.02214.02214.01(10)1010(rrrbTbTb0)114.011rbT，所以21EE，即甲比乙工作效率高，故 A 正确；对于 B，021TT，021 rr，1b12b，所以1014.0214.01bb，所以214.02rb1214.0114.01rrbb，则114.011211010rbTEE0)(10)1010(12214.0114.02114.022rrrbbTbT，所以21EE，即甲比乙工作效率高，故 B 错误；对于 C，121

17、bb，21EE，21rr，又221(10 TEE0)1214.01114.02rrbTb，所 以114.0222TbTr114.01rb，所 以学科网（北京）股份有限公司81)(14.0114.0214.01122121rrrrbbbTT，所以2T1T，即甲比乙劳累程度弱，故 C 正确；对于 D，1r02r，21EE，211bb，则1021bb，又1E0)(101214.01114.0222rrbTbTE，所 以2T1214.01114.02rrbTb，所 以12114.02114.0214.0112rrrbbbbTT1，所以12TT，即甲比乙劳累程度弱，故 D 错误.三、填空题三、填空题13

18、310【解析】【解析】由题知命题的否定“2,3,1 xx01ax”是真命题令,1(1)(2xaxxxf)3，则,0103)3(,02)1(afaf解得310a，故实数a的最大值为.310140,1【解析】【解析】令03 xt，3111)(ttg32,31，即32,31)(xf，故)(xfy 的值域为.0,1151【解析】【解析】因为)(xf是定义在 R 上的奇函数，所以)()(xfxf又)1(xf为偶函数，所以xf()1()1()1xfxf，则)2()(xfxf)4()4(xfxf，故)(xf是以 4 为周期的函数，故.12log)1()21(2 ff163,0(2,5(【解析】【解析】令1)

19、(xft，则).()(tfxg因为)1)()(xffxg有三个零点，所以0)(tf有两个实数根21,tt，其中1)(1xft有两个实数根，1)(2xft有且仅有一个实数根.当2a时，)(xf的大致图象如图：学科网（北京）股份有限公司9令0)()(tfxg，得.2,221tt由)(1xft21，得3)(xf，由图可知直线3y与曲线)(xfy 有两个交点由21)(2xft，得)(xf1，此时要 使 直 线1y与 曲 线)(xfy 有 且 仅 有 一 个 交 点，则,14,112aea解 得,55,2lnaa所以25a；当02a时，)(xf的大致图象如图.)(xg0)(tf只有一个实数根2t，21)

20、(xft没有三个实数根；当20 a时，)(xf的大致图象如图：令0)()(tfxg，得21t，.02t由)(1xft21，得1)(xf，由图可知直线1y与曲线y)(xf有两个交点由01)(2xft，得1)(xf，此时要使 直 线1y与 曲 线)(xfy 有 且 仅 有 一 个 交 点，则142a，解 得,33a所以0;3a当2a时，)(xf的大致图象如图0)()(tfxg只有一个实数根0t，01)(xft没有三个实数根.学科网（北京）股份有限公司10综上，.3,0(2,5(a四、解答题四、解答题17解解：(1)由2)(xf，得2|2 xx，（1 分）所以222xx，即,02,0222xxxx解

21、得21x，（3 分）所以不等式2)(xf的解集为).2,1(（4 分）(2)由题知对任意0 x，mxxx2|2恒成立.令)0(2|)(2xxxxxg，当10 x时，0,2)(2xxxg；（6 分）当1x时，,493)(2xxxg，（7 分）所以)(xg的最小值为49，所以49m，即49m，（9 分）所以实数m的取值范围为.,49（10 分）18解解：(1)(xf为奇函数，理由如下：由题意得,02,02xx解得22x，即函数)(xf的定义域为（-2，2）（2 分）又)()2(log)2(log)(22xfxxxf，故)(xf为奇函数（4 分）(2)由)(log)(2xaxf，得)(log)2(l

22、og)2(log222xaxx，所以xaxx22，所以2(242)2(422xxxxxxxa3)x，故方程)(log)(2xaxf有两个不同的实数根可转化为方程学科网（北京）股份有限公司113)2(24xxa在区间(-2，2)上有两个不同的实数根，即函数ay 与3)2(24xxy在区间（-2，2）上的图象有两个交点（7 分）设),2,2(,2xxt则).4,0(,34ttty作出函数)4,0(,34ttty的图象如图所示（9 分）当21 a时，函数ay 与)4,0(,34ttty的图象有两个交点，即关于x的方程)(log)(2xaxf有两个不同的实数根，故实数a的取值范围是(1，2)（12 分

23、）19证明证明：(1)accbba111accbbacba111)222(21accbbaaccbba111)()()(2129)63(21321acbabaacaccbcbacbacbcbba，当且仅当31cba时，等号成立（6 分）(2)abcabbababa)1()(2233，bcabccbcbcb)1()(2233，cabcaacacac)1()(2233，（10 分）三式相加，得abccabcabcba3)(2333，学科网（北京）股份有限公司12即23333abccabcabcba，当且仅当31cba时，等号成立（12 分）20解解：(1)假设)(xf的图象存在对称中心),(ba，

24、则bbaxfxgax121)()(的图象关于原点中心对称（1 分）因为)(xg的定义域为 R，所以)()(xgxg0121121bbaxax恒成立，即02222)22)(21(2aaxaxbbb恒成立，（4 分）所以,02222,0212abbb解得,21,0ba所以)(xf的图象存在对称中心21,0.（6 分）(2)因 为 对 任 意,1 1nx，都 存 在23,12x及 实 数m，使 得1)()1(211xxfmxf，所以11211212111xxmx，即,122111xxmx所以01211xxmx，即.111112xmxmxx（8 分）因为,1 1nx，所以.1,111nmmxm因为23

25、,12x，所以23,11,1nmm，所以,231,11nmm即,231,2mnm（10 分）所以21231min mn，所以.2n故实数n的最大值为 2（12 分）学科网（北京）股份有限公司1321解解：(1)若选择函数模型，将(1，2)，(3，3)分别代入，得,33,2bkbk解得,23,21bk则.232)(ttm经验证，符合题意（2 分）若选择模型，将(1，2)，(3，3)分别代入，得,3,23abab解得,362,26ba则.26362)(ttm当10t时，5.616681)10(m，故此函数模型不符合题意（4 分）综上，应选择函数模型，其解析式为232)(ttm).,301(Ztt且

26、（5 分）(2)该企业需要考虑转型理由如下：记该企业此商品的日销售利润为)(tf（单位：元），当151 t，且Zt时，)()(100)(1tftmtf)264793(50)883(2321002 tttt，当Rt时，函数)(tf的图象开口向下，对称轴679t6113，故当13t时，)(tf取得最大值，且最大值为 39 200；（8 分）当3016 t，且Zt时，)()(100)(2tftmtf 3039001002600232100tttt，当3016 t时，函数)(tf单调递减，故当16t时，)(tf取得最大值，且最大值为 37 525，（11 分）所以这 30 天内该企业此商品的日销售利润

27、均未能超过 40 000 元，该企业需要考虑转型（12 分）22解解：(1)由题知)(xf在区间(0，1)上单调递减，在区间),1(上单调递增，学科网（北京）股份有限公司14由ba 0，且)()(bfaf，得11,10aba2)1(b，（1 分）故.111)1(1222aaba令au1，则1u，函数12uuy在区间,1(）上单调递增，所以1y，即22)1(1ba的取值范围是).,1(（4 分）(2)存在满足条件的实数ba,，且.2,1ba当)1,0(,ba时，11)(xxf在区间(0，1)上单调递减，则,1)(,1)(abfbaf即,111,111abba解得.1ab因为)1,0(,ba，故此时不存在符合条件的正实数.,ba（7 分）当),1,ba时，2)1()(xxf在区间,1)上单调递增，则,1)(,1)(bbfaaf即,1)1(,1)1(22bbaa所以ba,是方程0232 xx的两个实数根所以此时存在符合条件的正实数.2,1ba（10 分）当)1,0(a，),1 b时，由于01a，而10)(axf，故此时不存在符合条件的正实数.,ba（11 分）综上，存在符合条件的正实数ba,，且.2,1ba（12 分）