2023届高考专项练习数学圆锥曲线中的圆问题含答案.pdf

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1、2023届高考专项练习数学圆锥曲线中的圆问题2023届高考专项练习数学圆锥曲线中的圆问题【方法技巧与总结】【方法技巧与总结】1.曲线:x2a2+y2b2=1的两条互相垂直的切线的交点P的轨迹是圆：x2+y2=a2+b22.双曲线x2a2-y2b2=1(ab0)的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆x2+y2=a2-b23.抛物线y2=2px的两条互相垂直的切线的交点在该抛物线的准线上4.证明四点共圆的方法：方法一：方法一：从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，则可肯定这四点共圆方法二：方法二：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的

2、同侧，若能证明其顶角相等，则可肯定这四点共圆(根据圆的性质一一同弧所对的圆周角相等证)方法三：方法三：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其中一个外角等于其内对角时，则可肯定这四点共圆(根据圆的性质一一圆内接四边形的对角和为180，并且任何一个外角都等于它的内对角)方法四：方法四：证明被证共圆的四点到某一定点的距离都相等，或证明被证四点连成的四边形其中三边中垂线有交点)，则可肯定这四点共圆(根据圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹为圆)【题型归纳目录】题型一：蒙日圆问题题型二：内圆与外圆问题题型三：直径为圆问题题型四：四点共圆问题【典例例题】题型一：蒙日圆问题例1.

3、【题型归纳目录】题型一：蒙日圆问题题型二：内圆与外圆问题题型三：直径为圆问题题型四：四点共圆问题【典例例题】题型一：蒙日圆问题例1.在学习数学的过程中，我们通常运用类比猜想的方法研究问题(1)已知动点 P为圆O:x2+y2=r2外一点，过 P引圆O的两条切线 PA、PB，A、B为切点，若 PA PB=0，求动点P的轨迹方程；(2)若动点 Q为椭圆 M:x29+y24=1外一点，过 Q引椭圆 M的两条切线 QC、QD，C、D为切点，若 QC QD=0，求出动点Q的轨迹方程；(3)在(2)问中若椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0)，其余条件都不变，那么动点Q的轨迹方程是什么(直接写出答案即可

4、，无需过程)例例2.2.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的一个焦点为(3，0)，离心率为32()求椭圆C的标准方程；()若动点P(x0，y0)为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程例例3.3.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1(-3，0)，F2(3，0)，离心率为33(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程；(3)若过椭圆 C 上任意一点 Q 的切线与(2)中所求点 P 的轨迹方程交于 A，B 两点，求证：|QA|QB|=|QF1|QF2|变式变

5、式1.1.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为(5，0)，离心率为53(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程变式变式2.2.在学习过程中，我们通常遇到相似的问题(1)已知动点P为圆O:x2+y2=r2外一点，过P引圆O的两条切线PA、PBA、B为切点，若PA PB=0，求动点P的轨迹方程；(2)若动点Q为椭圆M:x24+y23=1外一点，过Q引椭圆M的两条切线QC、QDC、D为切点，若QC QD=0，猜想动点Q的轨迹是什么，请给出证明并求出动点Q的轨迹方程变式变式3.3.设椭圆C的中心在原点，焦

6、点F在x轴上，垂直x轴的直线与椭圆相交于A、B两点，当FAB的周长取最大值4 3 时，|AB|=2 33(1)求椭圆C的方程；(2)过圆D:x2+y2=4上任意一点P作椭圆C的两条切线m、n，直线m、n与圆D的另一交点分别为M、N:证明：mn；求MNP面积的最大值变式变式4.4.椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为63，并与直线y=x+2相切()求椭圆C的方程；()如图，过圆D:x2+y2=4上任意一点P作椭圆C的两条切线m，n求证：mn变式变式5.5.给定椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)，称圆心在原点O，半径为a2+b2的圆是椭圆C的“准圆”若椭圆C的一个焦点为F(3,0)，其

7、短轴上的一个端点到F的距离为6(1)求椭圆C的方程和其“准圆”方程；(2)点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线l1，l2的方程并证明l1l2；求证：线段MN的长为定值题型二：内圆与外圆问题题型二：内圆与外圆问题例例4.4.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)及圆O:x2+y2=a2，过点B(0,a)与椭圆相切的直线L交圆O于点A，若AOB=60，求椭圆的离心率例例5.5.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)和圆O:x2+y2=a2，F1(-1,0)，F2(1,0)分别是椭圆的左、右两焦点，过F1

8、且倾斜角为 0,2的动直线l交椭圆C于A，B两点，交圆O于P，Q两点(如图所示，点A在x轴上方)当=4时，弦PQ的长为14(1)求圆O与椭圆C的方程；(2)若AF2，BF2，AB依次成等差数列，求直线PQ的方程例例6.6.如图，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)和圆O:x2+y2=b2(其中圆心O为原点)，过椭圆C上异于上、下顶点的一点P(x0，y0)引圆O的两条切线，切点分别为A，B(1)求直线AB的方程；(2)求三角形OAB面积的最大值变式变式6.6.如图，椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)和圆O:x2+y2=b2，已知椭圆C的离心率为2 23，直线2x-2y-6=0与圆O

9、相切()求椭圆C的标准方程；()椭圆C的上顶点为B，EF是圆O的一条直径，EF不与坐标轴重合，直线BE、BF与椭圆C的另一个交点分别为P、Q，求BPQ的面积的最大值及此时PQ所在的直线方程变式变式7.7.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)和圆 O:x2+y2=a2，F1(-1,0)，F2(1,0)分别是椭圆的左、右两焦点，过F1且倾斜角为 0,2的动直线l交椭圆C于A，B两点，交圆O于P，Q两点(如图所示，点A在x轴上方)当=4时，弦PQ的长为14(1)求圆O与椭圆C的方程；(2)若2|BF2|=|AF2|+|AB|，求直线PQ的方程变式变式8.8.已知椭圆x2a2+y2b2=

10、1(ab0)和圆O:x2+y2=b2，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B()若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e的值；()设直线AB与x、y轴分别交于点M，N，问当点P在椭圆上运动时，a2ON2+b2OM2是否为定值？请证明你的结论变式变式9.9.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)，其右焦点为F(3，0)，点M在圆x2+y2=b2上但不在y轴上，过点M作圆的切线交椭圆于P，Q两点，当点M在x轴上时，|PQ|=3(1)求椭圆C的标准方程；(2)当点M在圆上运动时，试探究FPQ周长的取值范围题型三：直径为圆问题题型三：直径为圆问题例例7.7.已知椭圆C:x2a2+y2b

11、2=1(ab0)的右焦点为F(1,0)，上下顶点分别为B1，B2，以点F为圆心FB1为半径作圆，与x轴交于点T(3,0)(1)求椭圆C的方程；(2)已知点P(2,0)，点A，B为椭圆C上异于点P且关于原点对称的两点，直线PA，PB与y轴分别交于点M，N，记以MN为直径的圆为K，试判断是否存在直线l截K的弦长为定值，若存在请求出该直线的方程，若不存在，请说明理由例例8.8.已知动圆Q过定点T(2,0)，且与y轴截得的弦MN长为4，设动圆圆心Q的轨迹为C(1)求轨迹C的方程(2)设P(1,2)，过F(1,0)作不与x轴垂直的直线l交轨迹C于A，B两点，直线PA，PB分别与直线x=-1相交于D，E两

12、点，以线段DE为直径的圆为G判断点F与圆G的位置关系，并说明理由例例9.9.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别向抛物线的准线作垂线，设交点分别为M，N，R为准线上一点()若ARFN，求|MR|MN|的值；()若点R为线段MN的中点，设以线段AB为直径的圆为圆E，判断点R与圆E的位置关系变式变式10.10.已知抛物线和双曲线都经过点M(1,2)，它们在x轴上有共同焦点，对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点(1)求抛物线和双曲线标准方程；(2)已知动直线m过点P(3,0)，交抛物线于A，B两点，记以线段AP为直径的圆为圆C，求证：存在垂直于x轴

13、的直线l被圆C截得的弦长为定值，并求出直线l的方程变式变式11.11.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，动直线l过F2且与椭圆C相交于A，B两点，且|AF1|+|BF1|的最大值为7a2(1)求椭圆C的离心率；(2)如图，已知P(x0，y0)(y00)为抛物线 E:x2=4by 上一点，l为抛物线 E在点P处的切线，I与椭圆C有两个不同的交点M，N，当以MN为直径的圆过原点O时，求ay0变式变式12.12.已知F1、F2分别为椭圆E:x24+y23=1的左、右焦点，过F1的直线l交椭圆E于A、B两点(1)当直线l垂直于x轴时，求弦长|AB|；(2)当O

14、A OB=-2时，求直线l的方程；(3)记椭圆的右顶点为 T，直线 AT、BT 分别交直线 x=6 于 C、D 两点，求证：以 CD 为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标变式变式13.13.已知动圆M与圆A:(x+5)2+y2=4及圆B:(x-5)2+y2=4中的一个外切，另一个内切()求动圆圆心M的轨迹C的方程；()若直线l与轨迹C相交于P、Q两点，以线段PQ为直径的圆经过轨迹C与x轴正半轴的交点D，证明直线l经过一个不在轨迹C上的定点，并求出该定点的坐标变式变式14.14.如图，已知椭圆C:x2a2+y2=1(a1)，其左、右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2且垂直于x轴的直线交椭圆于第一象

15、限的点P，且sinPF1F2=13(1)求椭圆C的方程；(2)过点S 0,-13且斜率为k的动直线l交椭圆于A，B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由题型四：四点共圆问题题型四：四点共圆问题例例10.10.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，左顶点为A(-2,0)，且离心率为22(1)求C的方程；(2)直线y=kx(k0)交C于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N，求证：M，F1，N，F2四点共圆例例11.11.已知椭圆 C:x2a2+y2=1(a 0)的右顶点为点 A，直线 l

16、 交 C 于 M，N 两点，O 为坐标原点当四边形AMON为菱形时，其面积为152(1)求C的方程；(2)若MAN=90，是否存在直线l，使得A，M，O，N四点共圆？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由例例12.12.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，左顶点为A(-2 2,0)，且过点(2,3)(1)求C的方程；(2)过原点O且与x轴不重合的直线交C于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N，求证：M，F1，N，F2四点共圆变式变式15.15.已知双曲线C:2x2-y2=2与点P(1,2)(1)是否存在过点P的弦AB，使得AB的中点为P

17、；(2)如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点，证明：A、B、C、D四点共圆变式变式16.16.已知抛物线 C:y2=2px(p 0)，A 是 C 上位于第一象限内的动点，它到点 B(3,0)距离的最小值为2 2直线AB与C交于另一点D，线段AD的垂直平分线交C于E，F两点(1)求p的值；(2)若中|AB|=2 2，证明A，D，E，F四点共圆，并求该圆的方程变式变式17.17.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12，且经过点-1,32(1)求椭圆E的标准方程；(2)设椭圆 E的右顶点为A，点O为坐标原点，点B为椭圆 E上异于左、右顶点的动点，直线 l:x=t(ta)

18、交 x 轴于点 P，直线 PB 交椭圆 E 于另一点 C，直线 BA 和 CA 分别交直线 l 于点 M 和 N，若 O、A、M、N四点共圆，求t的值变式变式18.18.在平面直角坐标系xOy中，双曲线C:y2a2-x2b2=1(a0,b0)的离心率为2，实轴长为4(1)求C的方程；(2)如图，点A为双曲线的下顶点，直线l过点P(0,t)且垂直于y轴(P位于原点与上顶点之间)，过P的直线交C于G，H两点，直线AG，AH分别与l交于M，N两点，若O，A，N，M四点共圆，求点P的坐标变式变式19.19.椭圆 E:x2a2+y2b2=1(a b 0)的离心率为12，右顶点为 A，设点 O 为坐标原点

19、，点 B 为椭圆 E 上异于左、右顶点的动点，OAB面积的最大值为3(1)求椭圆E的标准方程；(2)设直线 l:x=t 交 x 轴于点 P，其中 t a，直线 PB 交椭圆 E 于另一点 C，直线 BA 和 CA 分别交直线 l于点M和N，若O，A，M，N四点共圆，求t的值变式变式20.20.已知椭圆的两焦点F1，F2分别为(1,0)，椭圆上的动点M满足|MF1|+|MF2|=2|F1F2|，A，B分别为椭圆的左、右顶点，O为坐标原点()求椭圆的方程及离心率；()若直线l:x=6与AM交于点P，l与x轴交于点H，OP与BM的交点为S，求证：B，S，P，H四点共圆变式变式21.21.设动点P与定

20、点F(3,0)的距离和P到定直线l:x=4 33的距离的比是32(1)求动点P的轨迹方程；(2)设动点P的轨迹为曲线C，不过原点O且斜率为12的直线l与曲线C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与曲线C交于C，D，证明：A，B，C，D四点共圆变式变式22.22.已知斜率为k的直线交椭圆3x2+y2=(0)于A，B两点，AB的垂直平分线与椭圆交于 C，D两点，点N(1,y0)是线段AB的中点(1)若y0=3，求直线AB的方程以及的取值范围；(2)不管怎么变化，都有A，B，C，D四点共圆，求y0的取值范围变式变式23.23.已知抛物线P:y2=2px(p0)上的点34，a到其焦点的距

21、离为1()求p和a的值；()若直线l:y=x+m交抛物线P于两点A、B，线段AB的垂直平分线交抛物线 P于两点C、D，求证：A、B、C、D四点共圆圆锥曲线中的圆问题圆锥曲线中的圆问题【方法技巧与总结】【方法技巧与总结】1.曲线:x2a2+y2b2=1的两条互相垂直的切线的交点P的轨迹是圆：x2+y2=a2+b22.双曲线x2a2-y2b2=1(ab0)的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆x2+y2=a2-b23.抛物线y2=2px的两条互相垂直的切线的交点在该抛物线的准线上4.证明四点共圆的方法：方法一：方法一：从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，则可

22、肯定这四点共圆方法二：方法二：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，则可肯定这四点共圆(根据圆的性质一一同弧所对的圆周角相等证)方法三：方法三：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其中一个外角等于其内对角时，则可肯定这四点共圆(根据圆的性质一一圆内接四边形的对角和为180，并且任何一个外角都等于它的内对角)方法四：方法四：证明被证共圆的四点到某一定点的距离都相等，或证明被证四点连成的四边形其中三边中垂线有交点)，则可肯定这四点共圆(根据圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹为圆)【题型归纳目录】【题型归纳目录】题型一

23、：蒙日圆问题题型一：蒙日圆问题题型二：内圆与外圆问题题型二：内圆与外圆问题题型三：直径为圆问题题型三：直径为圆问题题型四：四点共圆问题题型四：四点共圆问题【典例例题】【典例例题】题型一：蒙日圆问题题型一：蒙日圆问题例例1.1.在学习数学的过程中，我们通常运用类比猜想的方法研究问题(1)已知动点 P为圆O:x2+y2=r2外一点，过 P引圆O的两条切线 PA、PB，A、B为切点，若 PA PB=0，求动点P的轨迹方程；(2)若动点 Q为椭圆 M:x29+y24=1外一点，过 Q引椭圆 M的两条切线 QC、QD，C、D为切点，若 QC QD=0，求出动点Q的轨迹方程；(3)在(2)问中若椭圆方程为

24、x2a2+y2b2=1(ab0)，其余条件都不变，那么动点Q的轨迹方程是什么(直接写出答案即可，无需过程)【解析】解：(1)由切线的性质及PA PB=0可知，四边形OAPB为正方形，所以点P在以O为圆心，|OP|长为半径的圆上，且|OP|=2|OA|=2r，进而动点P的轨迹方程为x2+y2=2r2(3分)(2)设两切线为l1，l2，当l1与x轴不垂直且不平行时，设点Q的坐标为Q(x0，y0)则x03，设l1的斜率为k，则k0，l2的斜率为-1k，l1的方程为y-y0=k(x-x0)，联立x29+y24=1，得(4+9k2)x2+18k(y0-kx0)x+9(y0-kx0)2-36=0，(5分)

25、因为直线与椭圆相切，所以=0，得182k2(y0-kx0)2-4(4+9k2)9(y0-kx0)2-4=0，化简，9k2(y0-kx0)2-(4+9k2)(y0-kx0)2+(4+9k2)4=0，进而(y0-kx0)2-(4+9k2)=0，所以(x20-9)k2-2x0y0k+y20-4=0(7分)所以k是方程(x20-9)k2-2x0y0k+y20-4=0的一个根，同理-1k是方程(x20-9)k2-2x0y0k+y20-4=0的另一个根，k-1k=y20-4x20-9，得x20+y20=13，其中x03，(9分)当l1与x轴垂直或平行时，l2与x轴平行或垂直，可知：P点坐标为：(3,2)，

26、P点坐标也满足x20+y20=13，综上所述，点P的轨迹方程为：x20+y20=13(10分)(3)动点Q的轨迹方程是x20+y20=a2+b2(12分)例例2.2.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的一个焦点为(3，0)，离心率为32()求椭圆C的标准方程；()若动点P(x0，y0)为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程【解析】解：()由题设，椭圆参数c=3 且e=ca=32，则a=2，所以b2=a2-c2=1，故椭圆C的标准方程：x24+y2=1()当切线不与坐标轴垂直时，切线为y-y0=k(x-x0)，则y=kx-kx0+y0，代入椭圆C整理得：(1+

27、4k2)x2+8k(y0-kx0)x+4(y0-kx0)2-4=0，所以=64k2(y0-kx0)2-16(1+4k2)(y0-kx0)2-1=0，整理得4k2+1-(y0-kx0)2=0，所以(4-x20)k2+2x0y0k+1-y20=0，若两条切线斜率分别为k1，k2，又P到椭圆C的两条切线相互垂直，即k1k2=1-y204-x20=-1，故x20+y20=5；当切线与坐标轴垂直时P(2,1)，也满足x20+y20=5；综上，P的轨迹方程为x2+y2=5例例3.3.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1(-3，0)，F2(3，0)，离心率为33(1)求椭圆C的

28、标准方程；(2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程；(3)若过椭圆 C 上任意一点 Q 的切线与(2)中所求点 P 的轨迹方程交于 A，B 两点，求证：|QA|QB|=|QF1|QF2|【解析】解：(1)由题意可得c=3，e=ca=33，则a=3，b=a2-c2=6，可得椭圆的方程为x29+y26=1；(2)可知切线的斜率存在，设为k，切线的方程设为y=kx+y0-kx0，联立椭圆方程2x2+3y2=18，可得(2+3k2)x2+6k(y0-kx0)x+3(y0-kx0)2-18=0，由直线和椭圆相切，可得=36k2(y0-kx0)2-4(

29、2+3k2)3(y0-kx0)2-18=0，化简可得(9-x20)k2+2x0y0k+6-y20=0，由两条切线相互垂直可得k1k2=-1，即6-y029-x02=-1，化为x20+y20=15，即为P的轨迹方程；(3)证明：设Q(m,n)，由椭圆的焦半径半径可得|QF1|QF2|=3+33m3+33m=9-13m2，设过Q的直线AB的参数方程为x=m+tcosy=n+tsin(t为参数)，代入P的方程x2+y2=15，可得t2+2(mcos+nsin)t+m2+n2-15=0，可得t1t2=m2+n2-15=m2+18-2m23-15=13m2-9，由A，B对应的参数为t1，t2，且t1t2

30、b0)的右焦点为(5，0)，离心率为53(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程【解析】解：(1)依题意知a2-b2=5ca=5a=53，求得a=3，b=2，椭圆的方程为x29+y24=1(2)当两条切线斜率均存在时，设过点P(x0，y0)的切线为y=k(x-x0)+y0，x29+y24=x29+k(x-x0)+y024=1，4x2+9k2(x-x0)2+y02+2ky0(x-x0)=364x2+9k2x2+k2x02-2kx0 x+y02+2ky0 x-2ky0 x0=36整理得(9k2+4)x2+18k(y0-

31、kx0)x+9(y0-kx0)2-4=0，=18k(y0-kx0)2-4(9k2+4)9(y0-kx0)2-4=0，整理得(x20-9)k2-2x0y0k+(y20-4)=0，-1=k1k2=y20-4x20-9=-1，x20+y20=13当两条切线中有一条斜率不存在时，即A、B两点分别位于椭圆长轴与短轴的端点，P的坐标为(3,2)，把点P(3,2)代入x20+y20=13亦成立，点P的轨迹方程为：x2+y2=13变式变式2.2.在学习过程中，我们通常遇到相似的问题(1)已知动点P为圆O:x2+y2=r2外一点，过P引圆O的两条切线PA、PBA、B为切点，若PA PB=0，求动点P的轨迹方程；

32、(2)若动点Q为椭圆M:x24+y23=1外一点，过Q引椭圆M的两条切线QC、QDC、D为切点，若QC QD=0，猜想动点Q的轨迹是什么，请给出证明并求出动点Q的轨迹方程【解析】解：(1)由切线的性质及PA PB=0可知，四边形OAPB为正方形所以点P在以O为圆心，|OP|长为半径的圆上，且|OP|=2|OA|=2r，动点P 的轨迹方程为x2+y2=2r2(2)动点Q的轨迹是一个圆，设两切线l1，l2，当l1与x轴不垂直且不平行时，设点Q的坐标为Q(x0，y0)，则x02，设l1的斜率为k，则k0，l2的斜率为-1k，l1的方程为y-y0=k(x-x0)，联立x24+y23=1，得(3+4k2

33、)x2+8k(y0-kx0)x+4(y0-kx0)2-12=0，直线与椭圆相切，=64k2(y0-kx0)2-4(3+4k2)4(y0-kx0)2-3=0，化简4k2(y0-kx0)2-(3+4k2)(y0-kx0)2+(3+4k2)-3=0，进而(y0-kx0)2-(3+4k2)=0，(x02-4)k2-2x0y0k+y20-3=0，k是方程(x02-4)k2-2x0y0k+y20-3=0的一个根同理-1k是方程(x02-4)k2-2x0y0k+y02-3=0的另一个根k-1k=y02-3x02-4，得x02+y02=7，其中x02当l1x轴或l1x轴时，对应l2x轴或l2x轴，可知P(2,

34、3)，满足上式，综上知：点P的轨迹方程为x2+y2=7变式变式3.3.设椭圆C的中心在原点，焦点F在x轴上，垂直x轴的直线与椭圆相交于A、B两点，当FAB的周长取最大值4 3 时，|AB|=2 33(1)求椭圆C的方程；(2)过圆D:x2+y2=4上任意一点P作椭圆C的两条切线m、n，直线m、n与圆D的另一交点分别为M、N:证明：mn；求MNP面积的最大值【解析】解：(1)设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(ab1)，由题意知当直线过椭圆的另一焦点时周长最大，所以把x=-c代入椭圆的方程可得y=b2a，2b2a=2 33，F2AB的周长为4 3，4a=4 3，解得a=3，b2=1，椭圆C

35、的方程为x23+y2=1(2)设P(x0，y0)，则x02+y02=4当切线的斜率都存在时，设切线的方程为：y-y0=k(x-x0)，代入椭圆的方程可得：(1+3k2)x2+6k(y0-kx0)x+3(y0-kx0)2-3=0，=36k2(y0-kx0)2-12(1+3k2)(y0-kx0)2-1=0，化为(x02-3)k2-2kx0y0+y02-1=0当x02-30时，k1k2=y02-1x02-3=4-x02-1x02-3=-1，mn当x02-3=0时，也有mn综上可得：mn由可得：mn，MN为D的直径，因此MN过圆心即原点O当OPMN时，MNP面积取得最大值1224=4变式变式4.4.椭

36、圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为63，并与直线y=x+2相切()求椭圆C的方程；()如图，过圆D:x2+y2=4上任意一点P作椭圆C的两条切线m，n求证：mn【解析】解：()由e=63知a2=3b2，椭圆方程可设为x23b2+y2b2=1又直线 y=x+2 与椭圆相切，代入后方程 4x2+12x+12-3b2=0满足=0由此得b2=1故椭圆C的方程为x23+y2=1-(6分)()设P(x0，y0)当x0=3 时，有一条切线斜率不存在，此时，刚好y0=1，可见，另一条切线平行于x轴，mn；-(7分)设x0 3，则两条切线斜率存在设直线m的斜率为k，则其方程为y-y0=k(x-x0)即y=

37、kx+y0-kx0代入x23+y2=1并整理得：(1+3k2)x2+6k(y0-kx0)x+3(y0-kx0)2-3=0-(9分)由=0可得：(3-x20)k2+2x0y0k+1-y20=0-(11分)注意到直线 n 的斜率也适合这个关系，所以 m，n 的斜率 k1，k2就是上述方程的两根，由韦达定理，k1k2=1-y203-x20-(13分)由于点P在圆D:x2+y2=4上，3-x20=-(1-y20)，所以k1k2=-1这就证明了mn综上所述，过圆D上任意一点P作椭圆C的两条切线m，n，总有mn-(15分)变式变式5.5.给定椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)，称圆心在原点O，半径为

38、a2+b2的圆是椭圆C的“准圆”若椭圆C的一个焦点为F(3,0)，其短轴上的一个端点到F的距离为6(1)求椭圆C的方程和其“准圆”方程；(2)点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线l1，l2的方程并证明l1l2；求证：线段MN的长为定值【解析】(1)解：c=3,a=6,b=3，椭圆方程为x26+y23=1，准圆方程为x2+y2=9(2)证明：()因为准圆x2+y2=9与y轴正半轴的交点为P(0,3)，设过点P(0,3)且与椭圆相切的直线为y=kx+3，所以由得(1+2k2)x2+12kx+12=0因为直线y=

39、kx+3与椭圆相切，所以=144k2-412(1+2k2)=0，解得k=1，所以l1，l2方程为y=x+3，y=-x+3kl1kl2=-1，l1l2()当直线l1，l2中有一条斜率不存在时，不妨设直线l1斜率不存在，则l1:x=6，当l1:x=6 时，l1与准圆交于点(6,3),(6,-3)，此时l2为y=3(或y=-3)，显然直线l1，l2垂直；同理可证当l1:x=-3 时，直线l1，l2垂直，当l1，l2斜率存在时，设点P(x0，y0)，其中x20+y20=9设经过点P(x0，y0)与椭圆相切的直线为y=t(x-x0)+y0，所以由y=t(x-x0)+y0,x26+y23=1,，得(1+2

40、t2)x2+4t(y0-tx0)x+2(y0-tx0)2-6=0，由=0化简整理得(6-x20)t2+2x0y0t+3-y20=0因为x20+y20=9，所以有(6-x20)t2+2x0y0t+(x20-6)=0设l1，l2的斜率分别为t1，t2，因为l1，l2与椭圆相切，所以t1，t2满足上述方程(6-x20)t2+2x0y0t+(x20-6)=0，所以t1t2=x20-66-x20=-1，即l1，l2垂直综合知：因为l1，l2经过点P(x0，y0)，又分别交其准圆于点M，N，且l1，l2垂直所以线段MN为准圆x2+y2=9的直径，|MN|=6，所以线段MN的长为定值6题型二：内圆与外圆问题

41、题型二：内圆与外圆问题例例4.4.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)及圆O:x2+y2=a2，过点B(0,a)与椭圆相切的直线L交圆O于点A，若AOB=60，求椭圆的离心率【解析】解：由AOB=60，可得ABO为等边三角形，即|AB|=a，设直线AB的方程为y=kx+a(k0)，圆心到直线的距离为d=|a|1+k2，弦长|AB|=a=2a2-a21+k2，解得k=33，可得直线y=33x+a，代入椭圆方程b2x2+a2y2=a2b2，可得 b2+13a2x2+2 33a3x+a4-a2b2=0，由直线和椭圆相切，可得：=43a6-4 b2+13a2(a4-a2b2)=0，化简可得b2=2

42、3a2，由b2=a2-c2，可得c2=13a2，即有e=33例例5.5.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)和圆O:x2+y2=a2，F1(-1,0)，F2(1,0)分别是椭圆的左、右两焦点，过F1且倾斜角为 0,2的动直线l交椭圆C于A，B两点，交圆O于P，Q两点(如图所示，点A在x轴上方)当=4时，弦PQ的长为14(1)求圆O与椭圆C的方程；(2)若AF2，BF2，AB依次成等差数列，求直线PQ的方程【解析】解：(1)F1(-1,0)，直线l的倾斜角为4，直线l的方程为x-y+1=0，则O到直线的距离OD=22PQ=14，OQ2=PQ24+OD2=4，即a2=4，c=1，从而b2=

43、3，椭圆C的方程为：x24+y23=1，圆O的方程为x2+y2=4；(2)设AF2=s，BF2=t，AF1+AF2=2a=4，BF1+BF2=2a=4，又AF2，BF2，AB依次成等差数列，2t=s+8-s-t，则t=83设B(x0，y0)，由(x0-1)2+y02=649x024+y023=1 ，解得x0=-43y0=-153，即B-43，-153，kPQ=kBF1=-153-43+1=15，则PQ:y=15x+15例例6.6.如图，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)和圆O:x2+y2=b2(其中圆心O为原点)，过椭圆C上异于上、下顶点的一点P(x0，y0)引圆O的两条切线，切点分

44、别为A，B(1)求直线AB的方程；(2)求三角形OAB面积的最大值【解析】解：(1)因为PA2=OP2-OA2=x20+y20-b2，所以以点P为圆心，|PA|为半径的圆P的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=x20+y20-b2因为圆O与圆P两圆的公共弦所在的直线即为直线AB，所以联立方程组x2+y2=b2(x-x0)2+(y-y0)2=x02+y02-b2，消去x2，y2，即得直线AB的方程为x0 x+y0y=b2(2)直线AB的方程为x0 x+y0y=b2，所以点O到直线AB的距离为d=b2x02+y02因为|AB|=2|OA|2-d2=2b2-b4x02+y02=2b x02+y02

45、-b2x02+y02，所以三角形OAB的面积S=12|AB|d=b3x02+y02-b2x02+y02(因为点P(x0，y0)在椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)上，所以x02a2+y02b2=1，即y02=b21-x02a2(x20a2)设x02+y02-b2=x02-b2x02a2=cx0，所以S=b3c|x0|x02+b21-x02a2=b3cc2a2|x0|+b2|x0|b3c2c2a2|x0|b2|x0|=12ab2当且仅当x0=abc时，三角形的面积取得最大值12ab2(12分)变式变式6.6.如图，椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)和圆O:x2+y2=b2，已知椭圆C

46、的离心率为2 23，直线2x-2y-6=0与圆O相切()求椭圆C的标准方程；()椭圆C的上顶点为B，EF是圆O的一条直径，EF不与坐标轴重合，直线BE、BF与椭圆C的另一个交点分别为P、Q，求BPQ的面积的最大值及此时PQ所在的直线方程【解析】解：(1)直线2x-2y-6=0 与圆 O 相切，则 b=r=|2 0-20-6|(2)2+(-2)2=1，由椭圆的离心率e=ca=1-b2a2=2 23，解得：a2=9，椭圆的标准方程：x29+y2=1；()由题意知直线BP，BQ的斜率存在且不为0，BPBQ，不妨设直线BP的斜率为k(k0)，则PE:y=kx+1由y=kx+1x29+y2=1，得x=-

47、18k9k2+1y=-9k2+19k2+1，或x=0y=-1，P-18k9k2+1，-9k2-19k2+1用-1k代替k，Q18kk2+9，-9-k2k2+9，则|PB|=0+18k9k2+12+1+9k2-19k2+12=18k9k2+11+k2，|BQ|0-18kk2+92+1+9-k2k2+92=189+k21+k2，SBPQ=12|PB|BQ|=1218k9k2+11+k2189+k21+k2，=162k(1+k2)(9+k2)(1+9k2)，=162(k+k3)9k4+82k2+9=1621k+k9k2+82+9k2，设k+1k=，则SBPQ=16282+9(2-2)=1629+64

48、1622964=278当且仅当9=64即k+1k=83时取等号，即 k-1k2=k+1k-4=289，k-1k=2 73直线PQ的斜率k=9k2-19k2+1-9-k2k2+918k9k2+1+18kk2+9=k2-110k=715，变式变式7.7.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)和圆 O:x2+y2=a2，F1(-1,0)，F2(1,0)分别是椭圆的左、右两焦点，过F1且倾斜角为 0,2的动直线l交椭圆C于A，B两点，交圆O于P，Q两点(如图所示，点A在x轴上方)当=4时，弦PQ的长为14(1)求圆O与椭圆C的方程；(2)若2|BF2|=|AF2|+|AB|，求直线PQ的方

49、程【解析】解：(1)取PQ的中点D，连接OD，OP，由=4，c=1，可得OD=22，弦PQ的长为14，OQ2=PQ24+OD2=4，a2=4，b2=a2-c2=3，圆O的方程为x2+y2=4，椭圆C的方程为x24+y23=1；(2)由(1)知，a=2，e=12，又2|BF2|=|AF2|+|AB|，得2|BF2|=|AF2|+|AF1|+|BF1|，2|BF2|=4+|BF1|，设B(x0，y0)，则|BF2|=2-12x0，|BF1|=2+12x0，代入2|BF2|=4+|BF1|，得2 2-12x0=4+2+12x0，解得x0=-43，代入x24+y23=1，得y0=-153B-43,-1

50、53，则直线PQ的方程为：y-153=x+1-43+1，即15x-y+15=0变式变式8.8.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)和圆O:x2+y2=b2，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B()若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e的值；()设直线AB与x、y轴分别交于点M，N，问当点P在椭圆上运动时，a2ON2+b2OM2是否为定值？请证明你的结论【解析】解：()圆O过椭圆的焦点，圆O:x2+y2=b2，b=c，b2=a2-c2，a2=2c2，e=22()设P(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)则y0-y1x0-x1=-x1y1，整理得x0 x1+y0y1=