山东省枣庄市第三中学2022-2023学年高三上学期期中考试数学试卷含答案.pdf

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1、数学试题第 1页（共 4页）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司枣庄三中20222023学年度第一学期高三年级期中考试数学试题数学试题本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。满分 150 分，考试用时 120 分钟。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡和答题纸规定的地方。第卷（选择题共 60 分）注意事项：第卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，1 到 8 题只有一项是符合题目要求，9 到 12 题为多项选择题。每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。一、

2、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)1.已知集合2320Ax xx，12log1Bxx则下列结论正确的是（）AABBABRCABDBA2.已知?=(2,1)，?=(1,2)，若向量?在向量?上的投影向量为?，则?=（）A.4 55,8 55B.4 55,8 55C.85,45D.45,853.已知复数 z 与(z2)28i 都是纯虚数，则 z（）A2B2C2iD2i4.如图是函数 f x的图象，则函数 f x的解析式可以为（）A()=elnxxB()=2eexxC()=21xxD()=21xx5.在ABC中，“tantan1BC”是“ABC为锐角三角形”的（）A.充分非

3、必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知函数 g(x)3sin(x)的图象上每一点的横坐标缩短到原来的12，得到f(x)的图象，f(x)的部分图象如图所示.若ABBC|AB|2，则（）A.12B.6C.4D.2数学试题第 2页（共 4页）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司7.已知0 x，0y，且2xy，则2221xyxy的最小值为（）A.52B.72C.722D.58.设实数 t0，若不等式 e2txln 2ln xt0 对 x0 恒成立，则 t 的取值范围为（）A.12e，B.1e，C.0，1eD.0，12e二、多项选择题(本题共 4 小题，每

4、题 5 分，共 20 分，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分)9.已知定义在 R 上的函数 f(x),对任意实数 x 满足 f(2x)f(x)，f(2x)f(x)，且 x0，1 时，f(x)x21，则下列说法中，正确的是（）A.2 是 f(x)的周期B.x1 不是 f(x)图象的对称轴C.f(2 021)2D.(1,0)是 f(x)图象的对称中心10.已知在ABC 中，D 为边 AC 上的一点，且满足AD13AC，若 P 为边 BD 上的一点，且满足APmABnAC(m0，n0)，则下列结论正确的是（）A.m2n1B.mn 的最大值为112C.mn1D.m29n2的

5、最小值为1211.等差数列an的前n项和记为Sn，若a10，S10S20，则正确的是（）A.d0B.a160C.SnS15D.当且仅当Sn0时n3212.已知 A，B 是双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)上关于原点对称的两点，点 P 是双曲线 C 的右支上位于第一象限的动点，记 PA，PB 的斜率分别为 k1，k2，且满足 k1k214，则下列说法正确的是()A.双曲线 C 的离心率为 2B.双曲线 C 的渐近线方程为 y12xC.若|AB|的最小值为 4，则双曲线 C 的方程为x24y21D.存在点 P，使得|k1|k2|22数学试题第 3页（共 4页）学科网（北京）股份有限公司学

6、科网（北京）股份有限公司第 II 卷（共 90 分）三、填空题(本题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分)13.函数 2ln1xf xax为奇函数，则实数a_.14.在平面直角坐标系 xOy 中，角的顶点是 O，始边是 x 轴的非负半轴，02，点1tan,1tan1212P是终边上一点，则的值是_.15.已知椭圆 C1：x2a2y2b21(ab0)的右顶点为 P，右焦点 F 与抛物线 C2的焦点重合，C2的顶点与 C1的中心 O 重合.若 C1与 C2相交于点 A，B，且四边形 OAPB 为菱形，则 C1的离心率为_.16.已知函数 12e,132,1xxf xxxx，若函数 2g xfx

7、k x有三个零点，则实数k的取值范围是_.四、解答题(本题共 6 小题，第 17 题 10 分，第 1822 小题各 12 分，共 70 分)17.(本小题满分 10 分)在(ab)(ab)(ac)c，2ac2bcos C，3(abcos C)csin B 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且满足_，b2 3.(1)若 ac4，求ABC 的面积；(2)求 ac 的取值范围.18.(本小题满分 12 分)已知数列 na满足11a，*1121nnaannN(1)求数列 na的通项公式；(2)求数列 na的前n项和19.

8、(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=x+aln x+1)(Ra(1)求函数 f(x)的单调区间和极值;(2)若 f(x)在1,e上的最小值为-a+1,求实数 a 的值.数学试题第 4页（共 4页）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司20.(本小题满分 12 分)某市为应急处理突如其来的新冠疾病，防止疫情扩散，采取对疑似病人集中隔离观察.如图，征用了该市一半径为 2 百米的半圆形广场及其东边绿化带设立隔离观察服务区，现决定在圆心 O 处设立一个观察监测中心（大小忽略不计），在圆心 O 正东方向相距 4 百米的点 A 处安装一套监测设备，为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点

9、 B 以及圆弧外的点 C 处，再分别安装一套监测设备，且满足,90ABACBAC.定义：四边形 OACB 及其内部区域为“直接监测覆盖区域”;OC 的长为“最远直接监测距离”.设AOB.(1)当60o时，求“直接监测覆盖区域”的面积;(2)试确定的值，使得“最远直接监测距离”最大，并求出此时的最大值.21.(本小题满分 12 分)设中心在原点 O，焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点13,2A，F 为 C 的右焦点，圆 F 的方程为22112 304xyx(1)求 C 的方程；(2)若直线:(3)l yk x(0)k 与圆 O 相切，与圆 F 交于 M、N 两点，与椭圆 C 交于 P、Q 两点，其

10、中M、P 在第一象限，记圆 O 的面积为()S k，求(|)()NQMPS k取最大值时，直线 l 的方程.22.(本小题满分 12 分)(ln)(Raxaxxh已知函数(1)若 有两个零点，的取值范围；(2)若方程e ln+=0 有两个实根1、2，且1 2，证明：e1+2e212.数学试题参考答案第 1页（共 7页）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司枣庄三中20222023学年度第一学期高三年级期中考试数学试题参考答案数学试题参考答案一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)1B2.D3.C4.D5.C6.A7.C8.B二、多项选择题(本题共 4 小题

11、，每题 5 分，共 20 分，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分)9.AC10.BD11.ABC12.BC三、填空题(本题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分)13.114.615.1316.20,74 31,3eU四、解答题(本题共 6 小题，第 17 题 10 分，第 1822 小题各 12 分，共 70 分)17.(本小题满分 10 分)解：若选条件，由(ab)(ab)(ac)c 化简得，a2c2b2ac，.1 分由余弦定理得 cos Ba2c2b22ac，即 cos B12，因为 0B，所以 B3.3 分若选条件，由 2ac2bcos C 及正弦定理，得

12、 2sin Asin C2sin Bcos C，即 2sin(BC)sin C2sin Bcos C，化简得 2cos Bsin Csin C.1 分因为 0C，所以 sin C0，所以 cos B12，又 0B，所以 B3.3 分若选条件，由 3(abcos C)csin B 及正弦定理，得 3(sin Asin Bcos C)sin Csin B，即 3sin(BC)sin Bcos Csin Csin B，化简得3cos Bsin Csin Csin B，.1 分因为 0C，所以 sin C0，所以 tan B 3，又 0B，所以 B3.3 分(1)由余弦定理得 b2a2c22accos

13、 B(ac)22ac2accos B，即 12422ac2ac12，解得 ac43.4 分所以ABC 的面积 S12acsin B1243sin333.5 分数学试题参考答案第 2页（共 7页）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司(2)由正弦定理得asin Acsin Cbsin B2 3324，.6 分因为 ACB23，所以 ac4(sin Asin C)4 sin Asin23A4 312cos A32sin A4 3sinA6，.8 分因为 0A23，所以6A656，sinA6 12，1，所以 ac(2 3，4 3，即 ac 的取值范围为(2 3，4 3.10 分18.(

14、本小题满分 12 分)解：（1）由题知，11a，*1121nnaannN因为*11121nnnnaaannnN，所以1112nnaann，所以1112nnanan.2 分因为1101a，所以数列nan是首项为 1，公比为12的等比数列，.3 分所以1111122nnnan，所以12nnna.4 分（2）由（1）得12nnna，所以01221123122222nnnnnS，23111231222222nnnnnS，由错位相减得：211111122222nnnnS 11122212212nnnnnn所以11222nnnnS.12 分数学试题参考答案第 3页（共 7页）学科网（北京）股份有限公司学科

15、网（北京）股份有限公司19 解：(1)函数 f(x)的定义域为(0,+).1 分f(x)=1+=+.2 分当 a0 时,f(x)0 恒成立,f(x)的单调递增区间为(0,+),无单调递减区间,无极值;.3 分当 a0,得 x-a;令 f(x)0,得 0 x-af(x)的单调递增区间为(-a,+),单调递减区间为(0,-a),此时 f(x)有极小值 f(-a)=-a+aln(-a)+1,无极大值.4 分综上所述：当 a0 时 f(x)的单调递增区间为(0,+),无单调递减区间,无极值;当 a0 时 f(x)的单调递增区间为(-a,+),单调递减区间为(0,-a),f(x)有极小值-a+aln(-

16、a)+1,无极大值.6 分(2)f(x)=1+=+,x1,e,由 f(x)=0 得 x=-a,.7分若 a-1,则 x+a0,即 f(x)0 在1,e上恒成立,此时 f(x)在1,e上单调递增,f(x)min=f(1)=-a+1,即2=-a+1,则a=-1,符合条件.8分若 a-e,则 x+a0,即 f(x)0 在1,e上恒成立,此时 f(x)在1,e上单调递减,f(x)min=f(e)=-a+1,即 e+a+1=-a+1,则 a=-e2,不符合条件.9 分若-ea-1,当 1x-a 时,f(x)0,f(x)在1,-a)上单调递减;当-a0,f(x)在(-a,e上单调递增.f(x)min=f(

17、-a)=-a+1,即-a+aln(-a)+1=-a+1,则 a=0(舍)或 a=-1,均不符合条件.11 分综上所述,a=-1.12 分20.(本小题满分 12 分)数学试题参考答案第 4页（共 7页）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司解：（1）在OAB中,2,4AOBOBOA2222cosABOBOAOB OAAOB,即20 16 cosAB.1 分211sin22OAO BCBAABCSSSOA OBAB4sin8cos10OACBS.3 分当60o时，2 36OACBS“直接监测覆盖区域”的面积:2 36.4 分（2）以O点为坐标原点,以 OA 方向为x轴正方向,以垂直

18、于OA的正北方向为y轴正方向,建立直角坐标系如图:则0,0O,2cos,2sinB,4,0A，.5 分设点,C x y,由题意有:1ABACABACkk，.6 分即2222442cos4sin2sin14 2cos4xyyx 解得:42sin42cosxy，.8 分2242sin42cos36 16sin16cos36 16 2sin4OC.10 分当sin14，即34时,OC取得最大值:max|36 16 224 2OC，当34时,使得最远直接监测距离最大为:4 22.12 分21.(本小题满分 12 分)（1）解：设 C 的方程为22221xyab(0)ab.数学试题参考答案第 5页（共

19、7页）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司由题设知223114ab.1 分因为F 的标准方程为221(3)4xy，所以F的坐标为(3,0)，半径12r.设左焦点为1F，则1F的坐标为(3,0).2 分由椭圆定义，可得12|aAFAF222211 3(3)0(33)022 4由解得2,a 1b.所以 C 的方程为2214xy.4 分（2）由题设可知，M 在 C 外，N 在 C 内，P 在F 内，Q 在F 外，在直线 l 上的四点满足|,MPMNNP|NQPQNP.由2214(3)xyyk x消去y得2222148 31240kxk xk因为直线 l 过椭圆 C 内的右焦点 F，所

20、以该方程的判别式0 恒成立.设11,P x y22,Q xy由韦达定理，得21228 3,14kxxk212212414kx xk.6 分221212|14PQkxxx x224441kk又因为F 的直径|1MN,所以|(|)NQMPPQNPMNNP|PQMN|1PQ2341k.8 分(3)yk x可化为30kxyk.数学试题参考答案第 6页（共 7页）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司因为 l 与O 相切，所以O 的半径231kRk，所以2()S kR2231kk.9 分所以2229(|)()411kNQMPS kkk2429451kkk22229911452 45kkkk

21、.11 分当且仅当2214kk，即22k 时等号成立.因此，直线 l 的方程为2(3)2yx.12 分22.(本小题满分 12 分)(1)解：函数 的定义域为 0,+.1 分当=0 时，函数 =无零点，不合乎题意，所以，0，.2 分由 =ln=0 可得1=ln，构造函数 =ln，其中 0，所以，直线=1与函数 的图象有两个交点，=1ln2，由=0 可得=e，列表如下：0,eee,+0 增极大值1e减所以，函数 的极大值为 e=1e，如下图所示：数学试题参考答案第 7页（共 7页）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司且当 1 时，=ln 0，由图可知，当 0 1 e 时，直线=1

22、与函数 的图象有两个交点，故实数的取值范围是 e,+.4 分(2)证明：因为e ln+=0，则e ln e=0，令=e 0，其中 0，则有 ln=0，=+1 e 0，所以，函数=e在 0,+上单调递增，.6 分因为方程e ln+=0 有两个实根1、2，令1=1e1，2=2e2，则关于的方程 ln=0 也有两个实根1、2，且1 2，要证e1+2e212，即证1e1 e2 e2，即证12 e2，即证 ln1+ln2 2，.8 分由已知1=ln12=ln2，所以，1 2=ln1 ln21+2=ln1+ln2，整理可得1+212=ln1+ln2ln1ln2，不妨设1 2 0，即证ln1+ln2=1+212ln12 2，即证 ln122 121+2=212112+1，.10 分令=12 1，即证 ln 2 1+1，其中 1，构造函数 =ln 2 1+1，其中 1，=14+12=12+12 0，所以，函数 在 1,+上单调递增，当 1 时，1=0，故原不等式成立.12 分