安徽省皖江名校联盟2022-2023学年高三上学期12月第四次联考数学试题含答案.pdf

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1、（北京）股份有限姓名座位号(在此卷上答题无效在此卷上答题无效)安徽省皖江名校联安徽省皖江名校联盟盟2022-2023学年高三上学学年高三上学期期12月第四月第四次联考试题数次联考试题数 学学本试卷共 4 页,22 题。全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。考生注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡

2、上的非答题区域均无效。4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内,写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。5.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。一一、选择题选择题:本题共本题共 8 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 40 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中,只有只有一项是符合题目一项是符合题目要求的.1.已知集合 M=y|y=4-2x，x1,N=x|x 0,xZ,则 MN 的子集个数为A.2B.4C.6D.82.i 是虚数单位,若2i42ia为纯虚数,则实数 a 的值为A.4B.-4C.1D

3、.-13.在二战期间,技术先进的德国坦克使德军占据了战场主动权,了解德军坦克的生产能力对盟军具有非常重要的战略意义,盟军请统计学家参与情报的收集和分析工作.在缴获的德军坦克上发现每辆坦克都有独一无二的发动机序列号,前 6 位表示生产的年月,最后 4 位是按生产顺序开始的连续编号.统计学家将缴获的德军坦克序列号作为样本,用样本估计总体的方法推断德军每月生产的坦克数.假设德军某月生产的坦克总数为 N,缴获的该月生产的 n 辆坦克编号从小到大为 x1,x2,xn,缴获的坦克是从所生产的坦克中随机获取的,缴获坦克的编号 x1,x2,xn,相当于从1,N中随机抽取的 n 个整数,这 n 个数将区间0,N

4、分成(n+1)个小区间(如图).可以用前 n 个区间的平均长度nxn估计所有(n+1)个区间的平均长度1Nn,进而得到 N 的估计.如果缴获的坦克编号为:35,67,90,127,185,245,287.则可以估计德军每月生产的坦克数为A.288B.308C.328D.3484.ABC 内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 6b=5c,C=2B,则 cosC=（北京）股份有限A.725B.725C.2425D.24255.若AOB=BOC=COA=3,直线 OA 与平面 OBC 所成的角为,则 tan=A.2B.3C.22D.336.已知点 O 是ABC 的外心,AB=3,AC=2,

5、则AO BC =A.32B.32C.52D.-527.已知数列an是等差数列,(bn是等比数列,且113355111,248abab ab，成等差数列,则6 1027b bb=A.14B.12C.2D.48.已知函数 f(x)的定义域为 R,且 f(x-1)+f(x+1)=2,f(x-2)是偶函数,若 f(0)=0，1()nif i=2023,则 n 的值为A.2021B.2022C.2023D.2024二二、选择题选择题:本题共本题共 4 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 20 分分.在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中,有多项符有多项符合题目要求合题目要求,全部选对的得全部选对的

6、得 5 分分,部分选对的得部分选对的得 2 分分,有选错的得有选错的得 0 分分.9.如果 ab 且 ab0,则下列结论正确的有A.a-b0B.ba1C.11abD.eaeb10.已知函数 f(x)=sin(x+6)在(0,4上有最大值和最小值,且取得最大值和最小值的自变量的值都是唯一的,则整数的取值可能是A.-1B.-2C.1D.211.在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中,点 P 是线段 AD1上的动点,则下列命题正确的是（北京）股份有限A.异面直线 C1P 与 CB1所成角的大小为定值B.三棱锥 D-BPC1的体积是定值C.直线 CP 和平面 ABC1D1所成的角的大小是

7、定值D.若点 Q 是线段 BD 上动点,则直线 PQ 与 A1C 不可能平行12.设 a=ln1.01,b=1-cos0.01,c=tan0.01,d=e0.01-1,则A.a 最小B.d 最大C.b+ca+dD.a+b0,0,|2)的部分图象如图所示.(1)求函数 f(x)的解析式和单调递减区间;（北京）股份有限(2)若函数 g(x)=/(x)-m 在,4 4 上有两个不同的零点 x1，x2,求实数 m 的取值范围,并计算 cos(x1+x)的值.18.(12 分)已知数列an和bn满足:a1=23,b1=13,112112,3333nnnnnnaab bab其中 nN*(1)证明:数列an

8、-bn是等比数列;(2)若 cn=2an+bn,求数列cn的前 n 项和 Tn.19.(12 分)已知ABC 内角 A,B,C 的对边为 a,b,c,且 c=2(a-bcosC).(1)求角 B 的大小;(2)若ABC 为锐角三角形,求222acb的取值范围.20.(12 分)在矩形ABCD中,AB=3AD=3 2,E在AB上且AE=2,将ADE 沿 DE 折起到FDE,使得平面 FDE平面 ADE,点 G 在线段 CF 上.(1)若 BG/平面 FDE,求CGCF的值;(2)求平面 FDE 与平面 FBC 夹角的余弦值.（北京）股份有限21.(12 分)已知函数 f(x)=xex+ax-al

9、nx.(1)若 a=1,求函数 f(x)的单调区间;(2)若函数 f(x)存在唯一的极值点,求实数 a 的取值范围.22.(12 分)设函数 f(x)=(x+a)ex-1,已知直线 y=2x 是曲线 y=f(x)的一条切线.(1)求实数 a 的值;(2)若不等式 f(x)tx+ln(x+1)对任意 x(-1,+)恒成立,求实数 t 的取值范围.1/6 数学参考答案 数学参考答案 题 号 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案 B D C A A D C B AD BC AB BCD B D C A A D C B AD B

10、C AB BCD 一、选择题：本大题共 8 8 小题，每小题 5 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.【答案】B【解析】M(,2，所以MN1,2，2 个元素的集合有 4 个子集。2.【答案】D【解析】设ikiai422，则aikik242，所以 ka2,11。3.【答案】C【解析】NN78328287.可以估计德军每月生产的坦克数大约是 328.4.【答案】A【解析】bcBCBBB5656sin5sin10sincoscos3，所以 C525cos2()13725.【答案】A【解析】可设ABCO是正四面体的 4 个顶点。则点AA在平面OBC的射影是正三角形OBC的中

11、心D。设OB1可得 OD3331 sin23，高ADOAOD3311622,ODADtan2.6.【答案】D【解析】AO BCAO ACAO ABACAB2222223111152222.7.【答案】C【解析】由题设可得bbb248,111135是等比数列也是等差数列，所以是常数列，即bbb248111135，所以q22，因此bbqb bb277226 108228.【答案】B【解析】由题设f xf xf xf x()(2)(2)(4)2，所以函数()f xf x()是周期为4的函数，由f(0)0得f(2)2.因为f x(2)是偶函数，可得ff(3)(1)，由周期性可得ff(1)(3)，又ff

12、(1)(3)2，故ff(1)(3)1，所以ffff(1)(2)(3)(4)4，f ii()202012020.ffff(2021)(1)1,(2022)(2)2，所以f iin()20231时，n2022，选 B。二、选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合要求的 二、选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合要求的 9.【答案】AD【解析】ab可以得到ab0，由yex单调递增知eeab，选项 AD 正确。令ab1,1排除 BC 选项。10.【答案】BC【解析】当0时，x666(,4，所以662455，得

13、6127，当0时，x66 64,)，所以 266457，得 332，选项 BC 是范围内的整数。11.【答案】AB【解析】异面直线C P1与CB1垂直，选项 A 正确。三棱锥DBPC1以BDC1为底面，因为平面ADBDC/11,所以点P到平面BDC1的距离时定值，故三棱锥DBPC1的体积是定值，选项 B 正确。2/6 点 C 在平面ABC D11的投影是定点（BC1与BC1的交点），线段CP长度显然随位置变化而变化，故直线CP和平面ABC D11所成的角的正弦在变化，角的大小不是定值，选项 C 错误。以 D 点为原点建坐标系，（，）CA1,111，点 P 坐标取33(,0,)21，点 Q 坐标

14、取（，）3 301 1时，PQ3 33(,)1 11,PQAC/1成立，选项D 错误 12.【答案】BCD【解析】易见a b,都小于0.01，c d,都大于0.01。令（f xxx()ln 1)1 cos，则，xxfffx1(0)0,()sin(0)11，fx()是减函数，f6166()sin01，所以在6(0,)上()0fx fx()0，fa bf(0.01)ln1.01 1 cos0.01(0)0，所以ab。再令 xg xexexxxxxcos()1tancoscossin，设h xexxx hx()coscossin,(0)0得h xexxxxxx exx()(cossin)sincos

15、(cossin)(1)0，在区间（，）40上成立，h x()在（，）40上单调递增，hh(0.01)(0)0，所以 dcghcos0.010(0.01)(0.01)，dc。因此 4 个数的大小关系是bacd，所以选项 A 错误，选项 BCD 都是正确的。三、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题 5 5 分，共 2020 分.13.【答案】1209【解析】新数列为3,18,33,183，共13项，S2131209(3 183)13。14.【答案】(1,3)【解析】当x1时，方程 xln1 20有一个根xe。在1x x1时方程 xx a2202必须有 2 个不同的实根。即xa(1)32有 2 个

16、小于 1 的根。结合二次函数图像，a034，得 a13.15.【答案】112【解析】不妨设样本由男生 2 人和女生 3 人组成。由题设=12820，（）xxxxxxxx22()80,(2 80 101602 80101112121212222222；yyyyyy33()60,()3 60 20111231232222=10860（），yyyyyy3 60201801231232222所以样本的平均分x5(160 180)681，样本的方差）（s5 12820 108605 68 112122。16.【答案】24 3【解析】依据四面体DABC的顶点构建直三棱柱ABFECD,设G H,分别为CDE

17、ABF,的外心,连接GH并取中点O,则中点O就是四面体DABC和直三棱柱ABFECD的外接球的球心。由题设可得OFOHBC23,5,1所以ABF的外接圆半径rFH4.注意到CDBFABE3/,.由正弦 3/6 定理可得AFr32 sin4 3。因为VVVSBCD ABCFABCC ABFABF31,只需求出ABF的面积的最大值即可。在ABF中，由余弦定理ABBFABBFAF32cos48222,结合基本不等式可得ABBFABBFABBF482,所以SAB BFABF3222sin4812 3131。所以VA BCD312 3624 31.四、解答题：本大题共 6 6 个小题，共 7070 分解

18、答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17.【解析】（1）由图知T TA884,2,53，所以T22。令 x8，得4sin()0，结合2得4，所以f xx4()2sin(2)。3 分 令kxkkZ242222()3，得kxk885，所以()f xf x()的单调递减区间是kkkZ88,()5；5 分（2）当 x4 4,，x4442,3，()f xf x()取值从1单调递增到2，再单调递减到1。函数g xf xm()()在区间上有 2 个不同的零点，则m1,2)，8 分 且x x,12关于x8对称，所以xx82cos()cos(2)212。10 分 18.【解析】（1）由题设ababnnnn3(

19、)111，2 分 ab30111，得ababnnnn3111 4 分 所以数列abnn是以31首项，公比等于31的等比数列。5 分（2）由题设及（1）可得ababnnnnn311，所以ann23(1)11，7 分（）cabannnnn2321311，9 分 4/6 所以nTnnnnnn31243233321(1)33(3331111111(1)112 nnnn43424 3(61)11131。12 分 19.【解析】（1）由余弦定理abCabc2cos222，所以 ababcabc22222，化简得acabc222，所以acacBacbac222cos1222，3 分 又B(0,)，所以B3。

20、5 分（2）由（1）ACB32,因为ABC为锐角三角形，所以 AC62 62,.7 分 由正弦定理可得：）（bBACacACsin3sinsinsinsin422222222。8 分 因为AAACAA2332sinsinsinsin()(1 cos2)(1 cos(2)14212222 AAAAAA262 22231cos(2)cos2 1 cos2sin2cos2 1sin(2)11 1319 分又A62，所以A66625，得 A42621sin(2)351。10 分 因此ACsinsin22的取值范围是4 2(,5 3，11 分 所以bac222的取值范围是3(,25 12 分 20.【解

21、析】(1)作BMDE/交CD于M,连接MG.则四边形BEDM是平行四边形，DMCM2 2,2,由BMDE/,BM在平面BDE外，可得F平面BMDE/.3 分 又平面BGFDE/，BMBGB,所以平面平面FDEBMG/，4 分 又平面平面平面平面FDEFDCFDBMGFDCMG,5 分 所以MGFD/,因此CFCDCGCM31.6 分(2)由题设ADE是等腰直角三角形，取DE中点N,5/6 连接,AN FN则FNDE,由题设平面FDEADE平面，平面FDEADEDE平面,所以FNADE平面.7 分 以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系。因为1FNDNENAN,所以点F坐标为22(,1)22,

22、8 分 且22(,0)22mAN是平面FDE的一个法向量，点(3 2,0,0),(3 2,2,0)BC,所以(0,2,0)BC,52(2,1)22BF ,设平面FBC的法向量为(,)nx y z 则20522022n BCyn BFxyz，令2x，得(2,0,5)n,9 分 设平面FDE与平面FBC的夹角为，则13cos|cos,|9|127m nm na n11 分 所以平面FDE与平面FBC夹角的余弦值等于39.12 分 21.【解析】()f x的定义域是(0,)，(1)()()xxxaexfxxe，1 分（1）当1a 时，(1)()()xxxexfxxe，令()0fx 得10 x 或者0

23、 xex 令()(0),()10,()(0)10 xxg xex xg xeg xge ，所以()0fx 只有一个实根1x。3 分 当1x 时，()0fx，()f x单调递减；当1x 时，()0fx，()f x单调递增。综上所述，()f x的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1,)。5 分（2）函数有唯一的极值点时，导数(1)()()xxxaexfxxe有唯一的正实根1x，6 分 且在两边取值正负号相反。所以0 xaex或者0 xaex在(0,)上恒成立.7 分 显然0a 时，0 xaex符合要求。8 分 当0a 时，0 xaex，等价于xxae，令1(),(),xxxxg xg xe

24、e()g x在(0,1)上单调递减，在(1,)单调递增，1x 时取最大值1e，10 分 6/6 因此max1()ag xe。11 分 综上所述，实数a的取值范围是1(,0,)e。12 分 22.【解析】（1）设直线2yx与曲线()yf x相切于点0 xx处，因为()(1)xfxxae，则000()(1)2xfxxae即000()2xxxa ee 2 分 而0000()()12xf xxa ex，所以00212xxe，即00210 xex 3 分 设函数()21xg xexxR，显然在R上单调递增，且(0)0g，()g x有唯一零点0 x。所以00,1xa，即实数a的值等于1。4 分（2）由（1

25、）知()(1)1,()(2)xxf xxefxxe，()f x在区间(,2)上单调递减，在区间(2,)上单调递增。5 分 所以(1,0)x 时，()(0)0f xf，0t 显然不符合题意。注意到()ln(1)p xxx 是增函数，在区间(1,0)上，()(0)0p xp，所以0t 不合题意。6 分 接下来对0t 进行讨论，令()(1)1ln(1)xh xxet xx，则 12()(2)(1)(1)11xxxh xxetxetxx，注意到(1,)x ，201xx令()0h x，得(1)0 xxet，注意到()(1)xq xxe在(1,)上单调递增，且(1)0q，所以在0t 时，有唯一的实数01x

26、 （，）使得00(1)xxet，0()0h x.当0(1,)xx 时，()0h x，()h x单调递减，在0(,)xx时，()0h x，()h x单调递增。所以0min0000()()(1)1(ln(1)xh xh xxet xx，8 分 注意到00(1)xxet，00ln(1)lnxxt，所以min()1ln0h xttt ，9 分 再设()1ln,()lns tttt s tt ，当01t 时，()0s t，()s t单调递增，当1t 时，()0s t，()s t单调递减，所以()1ln(1)0s tttts 。10 分 因为min()1ln0h xttt ，()1ln(1)0s tttts ，只能1t。11 分 综上所述，实数t的取值范围是1。12 分