重庆市长寿中学校2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题含答案.pdf

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1、第 1页，共 15页重庆市长寿中学校高三上期重庆市长寿中学校高三上期12 月月考月月考数学试题一、单选题（本大题共 8 小题，共 40 分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1已知集合，集合，则()A.B.C.D.2复数在复平面内对应点的点是，则复数是虚数单位 的虚部为()A.B.C.D.3若两个正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为()A.或B.C.或D.4如图所示，等腰梯形中，点为线段上靠近的三等分点，点为线段的中点，则()A.B.C.D.5某地高考规定每一考场安排名考生，编成六行四列就坐 若来自同一学校的甲、乙两名学生同时排在“考点考场”，那么他们两人前后左右均不相邻的

2、概率是()A.B.C.D.6在中，内角，所对的边分别为，若，则当取最大值时，外接圆的面积()A.B.C.D.7如图所示，在直角梯形中，、分别是、上的点，且如图将四边形沿折起，第 2页，共 15页连结、如图在折起的过程中，下列说法中错误的个数是()平面；、四点不可能共面；若，则平面平面；平面与平面可能垂直A.1B.2C.3D.48已知函数，若关于的函数有个不同的零点，则实数的取值范围是()A.或B.或C.D.二、多选题（本大题共 4 小题，共 20 分。在每小题有多项符合题目要求）9已知函数，下列叙述正确的有()A.函数是偶函数B.函数的周期为C.函数在区间上单调递减D.，10已知为椭圆的左焦点

3、，直线与椭圆交于，点，轴，垂足为，与椭圆的另一个交点为，则()A.的最小值为B.面积的最大值为C.直线的斜率为D.直线与直线的斜率之积为定值11已知二项式的展开式中各项系数的和为，则下列结论正确的是()第 3页，共 15页A.B.展开式中二项式系数和为C.展开式中项的系数为D.展开式中有 项有理项12某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为吨，最多为吨，月处理成本元 与月处理量吨 之间的函数关系可近似表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为元以下判断正确的是()A.该单位每月处理量为吨时，才能使每

4、吨的平均处理成本最低B.该单位每月最低可获利元C.该单位每月不获利也不亏损D.每月需要国家至少补贴元才能使该单位不亏损三、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分）13已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是14已知函数为奇函数，设，则15若，且，共面，则16已知函数是定义在的奇函数，当时，则不等式的解集为四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17本小题10分 已知等差数列和等比数列满足，求数列，的通项公式；设数列中不在数列中的项按从小到大的顺序构成数列，记数列的前项和为，求18本小题12分 如图：某公园改建一个三角形池塘，百米，百米，现准备养

5、一批观赏鱼供游客观赏第 4页，共 15页若在内部取一点，建造连廊供游客观赏，如图，使得点是等腰三角形的顶点，且，求连廊的长 单位为百米；若分别在，上取点，并连建造连廊，使得变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏，如图，使得为正三角形，求的面积最小值19本小题12分月日为我国的植树节，某校为增强学生的环保意识，普及环保知识，于该日在全校范围内组织了一次有关环保知识的竞赛，现从参赛的所有学生中，随机抽取人的成绩 满分为分 作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如图所示，其中样本数据分组区间为，求频率分布直方图中的值，并估计该校此次环保知识竞赛成绩的第百分位数；在该样本中，若采用分层抽样的方法，从成绩

6、低于分的学生中随机抽取人，查看他们的答题情况，再从这人中随机抽取人进行调查分析，求这人中至少有人成绩在内的概率第 5页，共 15页20本小题12分 如图，已知平行六面体中，底面是边长为的菱形，求线段的长求异面直线与所成角的大小21本小题12分 已知椭圆：的左、右顶点分别为，上、下顶点分别为，四边形的周长为求的方程；设为上异于，的动点，直线与轴交于点，过作，交轴于点试探究在轴上是否存在一定点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由22本小题12分 若函数和的定义域均为，关于和的“线函数”定义如下：存在实数，使得函数，线函数，求实数的值；若关于和的线函数同时满足以下条件：是偶函数；的最小值

7、为求的解析式重庆市长寿中学校高三上期重庆市长寿中学校高三上期12 月月考数学答案月月考数学答案1C解：因为集合，所以，在集合中，因为，得，即，又，所以，第 6页，共 15页即故选 C2 A解：根据题意，的虚部为故答案选：A3D解：两个正实数，满足，当且仅当，即，时等号成立，又不等式恒成立，则应，解得，故选：D4B解：由题意可得，故选 B5B解：根据甲的位置不同分三种情况讨论：甲坐在四个角的位置，有种坐法，而乙有种坐法，则有种坐法甲坐在四条边上但不是四个角上，有种坐法，乙有种坐法，则有种坐法第 7页，共 15页甲坐在中间的位置，有种坐法，乙有种坐法，则有种坐法共有种甲、乙共有种，两人前后左右均不

8、相邻的概率是故选 B6B解：令，则，所以，则，当且仅当时取得等号又，故又，所以当时，取得最大值，故此时由正弦定理可得的外接圆的直径为，所以此时外接圆的面积为故选：B7A解：对于，在图中记与的交点 中点 为，取的中点为，连结，易证得四边形为平行四边形，即，面，面，平面，故正确；对于，如果四点共面，由平面，与已知矛盾，故正确；对于，在梯形中，易得，又，平面，即有，又，与相交，平面，则平面平面，故正确；对于，延长至使得，连结、，易得平面平面，过作于，则平面若平面平面，第 8页，共 15页则过作直线与平面垂直，其垂足在上，矛盾，故错误故选：A8D解：作出函数的大致图象，如图所示：设，则当或时，方程只有

9、个解，当时，方程有 个解，当时，方程有个解，当时，方程无解，关于的函数有个不同的零点，关于 的方程在上有两个不相等的根，解得：，即实数 的取值范围是，故选 D9AC解：函数定义域为，且，即 A 正确易知，所以，即 B 错误当时，则，所以在该区间上单调递减，即 C 正确由B所举例可知，D 错误故选 AC10BCD第 9页，共 15页解：如图所示，对于，设椭圆的右焦点为，连接，则四边形为平行四边形，当且仅当时等号成立，故 A 错误；对于，由，得，的面积，当且仅当时等号成立，故 B 正确；对于，设，则，故直线的斜率，故 C 正确对于，设，则，又因为点和点在椭圆上，所以，得：，因为，则，得，所以，直线

10、与直线的斜率之积为定值，故 D 正确故本题选 BCD11BD解：令，得，所以，A 错误；展开式中二项式系数和为，B 正确；第 10页，共 15页展开式的通项公式为，令，解得，展开式中项的系数为，C 错误展开式的通项公式为，当，时，为有理项，D 正确；故选 BD12AD解：由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为，当且仅当，即时，能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为元设该单位每月获利为，则，因为，所以当时，有最大值元故该单位不获利，需要国家每月至少补贴元，才能不亏损故选 AD13解：函数的对称轴为，则或，解得或则的取值范围为故答案为14解：函数为奇函数，所以，即，第 11页，共 15页则，则，

11、则，所以，故答案为15解：，共面，且易知，不共线，存在实数使得，解得故答案为：16解：由已知当时，令，则当时，所以在上单调递减由是定义在的奇函数，故是定义在的偶函数令，则关于对称，且在上单调递减，当时，则，即，即，所以，得；当时，则，即，由上可得在上单调递增，第 12页，共 15页即，所以，得，故不等式解集为17解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由，可得，则，；由题意可得的前几项为，即在与之间有项，可得的第项在与之间，所以18解：点是等腰三角形的顶点，且，且由余弦定理可得：，解得：，又，在中，在中，由余弦定理得，解得，连廊的长为百米解：设图中的正三角形的边长为，则，设，可得，在中，由正

12、弦定理得：，即，即，化简得：，第 13页，共 15页其中，为锐角，且19解：由频率分布直方图可得，则，前 组的频率和为，第 组频率为，所以第百分位数位于第 组内，记第百分位数为，则，解得，即第百分位数为；由频率分布直方图可知，成绩在，内的频率分别为，采用分层抽样的方法从样本中抽取的人，成绩在内的有 人，记为，成绩在内的有人，记为、，成绩在内的有人，记为、，则从成绩在内的人随机抽取 人，共有：、，共有种，人中至少有 人成绩在内，共有：、，有种，记事件“人中至少有 人成绩在内”，则20解：设，则，又，所以，又，所以，所以线段的长为第 14页，共 15页，所以，所以，即异面直线与所成角的角为21解：依题意，由椭圆的对称性可知，四边形为菱形，其周长为所以，所以的方程为设，则，直线的方程为，故，由知的方程为，故，假设存在，使得，则，解得所以当的坐标为时，22解：函数，线函数，可得，即有，解得；关于和的线函数，可得，由为偶函数，可得，即有，即为，化为，则，又，由的最小值为，可得，由，第 15页，共 15页当且仅当时函数取得最小值，即，故 F