吉林省通化市梅河口市第五中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题含答案.pdf

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1、高三数学试题第高三数学试题第 1页 共页 共 6页页梅河口市第五中学 20222023 学年度上学期第三次月考高 三 数 学 试 题高 三 数 学 试 题说明：说明：本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。第第 卷卷（选择题，共（选择题，共 60 分）注意事项：分）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上并将条形码粘贴在粘贴处。2回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并

2、交回。一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的，请仔细审题，认真做答单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的，请仔细审题，认真做答1已知集合40AxxN，240BxxxR，则（）A0,1,2,3,4B0,1,2,3C1,2,3,4D1,2,32在复平面内，复数|2i|2i对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3设命题:0ln2ln3px，命题:30qxmxm，若 q 是 p 的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（）A2,3B

3、2,3C2,3D2,34.九章算术是我国古代第一部数学专著，其中有如下记载：将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.现有如图所示的直径长为 2 的胶泥球胚，某数学兴趣小组的同学需在此胶泥球胚中切割出底面为正方形，且垂直于底面的侧棱与底面正方形边长相等的阳马模型的几何体（实物体），若要使该阳马体积最大，则应削去的胶泥的体积大约为（3）（）高三数学试题第高三数学试题第 2页 共页 共 6页页A2.8B3.2C3.5D4.85.若直线1:480laxy与直线2:3(1)60lxay平行，则a的值为（）A3B4C3 或4D3或 46.直线:310l axya 被圆22:(1)(2)25Cxy截

4、得的弦长的最小值为（）A4 3B4 2C3 2D2 67.已知过椭圆2222:10 xyCabab左焦点 F 且与长轴垂直的弦长为3 2，过点2,1P且斜率为-1 的直线与C相交于,A B两点，若P恰好是AB的中点，则椭圆C上一点M到F的距离的最大值为（）A6B2 23C2 33D3 238.已知27,e,ln62abc，则,a b c的大小关系是（）AabcBcbaCbacDcab二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错的得 0 分二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5

5、分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错的得 0 分9下列命题中真命题有（）A若0a b，则,a b是钝角B数列 na的前 n 项和为nS，若111,3NnnaaSn，则1113 42nnnanC若定义域为R的函数()f x是奇函数，函数(1)f x为偶函数，则(2)0fD若230OAOBOC ，分别表示AOC，ABC 的面积，则:1:6AOCABCSS10下列说法中正确的是（）A一组数据 7，8，8，9，11，13，15，17，20，22 的第 80 百分位数为 17B若随机变量23,N，且(6)0.84P，则(36)0.34

6、P.高三数学试题第高三数学试题第 3页 共页 共 6页页C袋中装有除颜色外完全相同的 4 个红球和 2 个白球，从袋中不放回的依次抽取 2 个球.记事件A第一次抽到的是白球，事件B 第二次抽到的是白球，则1(|)3P B A D 已知变量x、y线性相关，由样本数据算得线性回归方程是0.4yxa，且由样本数据算得4x，3.7y，则2.1a 11给出的下列选项中，正确的是（）A函数sin23yx的单调递增区间为5-,+,Z1212kkk B将函数sin7yx的图象向右平移3个单位，将得到sin(7)3yx的图象C函数1sinsin22yxx在0,2上有 3 个零点D函数1 cos21 cos222

7、xxy最小正周期为12如图，P 是椭圆22122:1(0)xyCabab与双曲线22222:1(0,0)xyCmnmn在第一象限的交点，且12,C C共焦点121212,F FFPFC C的离心率分别为12,e e，则下列结论不正确的是（）A12,PFma PFmaB若60，则2221314eeC若90，则2212ee的最小值为 2Dtan2bn第第 卷卷（非选择题，共（非选择题，共 90 分）分）三、三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请仔细审题，认真做答填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请仔细审题，认真做答13“双减”政策实施以来，各地中小

8、学纷纷开展丰富的课后活动.某校积极开展各种棋类益智活动，某项单人跳棋游戏的规则如下：如图所示，棋子的初始位置为处，玩家每掷出一枚骰子，朝上一面的点数即为棋子沿棋盘实线顺时针方向前进的格子数，即玩家掷出的点数为1,2,6i i，则棋子就按顺时针方向前进 i 个格子、一直循环下去，现在已知小明同学抛掷 3 次骰子后棋子恰好又回到起点处，则其不同的走法数为_.(用数字作答)高三数学试题第高三数学试题第 5页 共页 共 6页页19（12 分）已知三棱柱111ABCABC-，侧面11AACC是边长为 2 的菱形，13CAA，侧面四边形11ABB A是矩形，且平面11AAC C 平面11ABB A，点 D

9、 是棱11AB的中点(1)在棱 AC 上是否存在一点 E，使得AD平面11BC E，并说明理由；(2)当三棱锥11BADC的体积为3时，求平面11AC D与平面1CC D夹角的余弦值20（12 分）随着新冠疫情防控进入常态化，人们的生产生活逐步步入正轨为拉动消费，某市政府分批发行 2 亿元政府消费券为了解政府消费券使用人群的年龄结构情况，在发行完第一批政府消费券后，该市政府采用随机抽样的方法在全市市民中随机抽取了 200 人，对是否使用过政府消费券的情况进行调查，部分结果如下表所示，其中年龄在 45 岁及以下的人数占样本总数的35，没使用过政府消费券的人数占样本总数的310使用过政府消费券没使

10、用过政府消费券总计45 岁及以下9045 岁以上总计200(1)请将题中表格补充完整，并判断是否有 90%的把握认为该市市民是否使用政府消费券与年龄有关？(2)现从 45 岁及以下的样本中按是否使用过政府消费券进行分层抽样，抽取 8 人做进一步访谈，然后再从这8 人中随机抽取 3 人填写调查问卷，记使用过政府消费券的人数为 X，求随机变量 X 的概率分布列与期望附：22n adbcKabcdacbd，其中nabcd 20P Kk0.150.100.050.0250k2.0722.7063.8415.024全科免费下载公众号高中僧课堂高三数学试题第高三数学试题第 6页 共页 共 6页页21（12

11、 分）.已知椭圆2222:1(0)xyCabab短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3460 xy与圆222()xyba相切.(1)求椭圆C的方程；(2)过点)0,3(M作两条互相垂直的直线21,ll，与椭圆 C 分别交于 A,B,C,D 四点，如图，求四边形 ACBD的面积的取值范围.22（12 分）已知函数2()2(1)exf xa xx（其中,eaR为自然对数的底数）(1)讨论()f x的单调性；(2)当0 x 时，2(1)ln3f xxxx，求 a 的取值范围高三数学参考答案1B0,1,2,3A，24004RBx xxxx所以0,1,2,3ABR.故选：B2D因为22215

12、 2i5 2i|2i|52 55i2i2i2i2i2i555，所以复数|2i|2i在复平面内对应的点为2 55,55，位于第四象限；故选：D3C由0ln2ln3x得：123x，解得：35x，即:3,5p x；由30 xmxm得：3mxm，即:,3q xm m；q是p的必要不充分条件，3,5,3m m，335mm，解得：23m，即实数m的取值范围为2,3.故选：C.4.C如图正方体1111ABCDABC D中，四棱锥1DABCD即为阳马.设正方体边长为a，体积为1V，显然1111133DABCDABCDVSDDV，所以，当该正方体体积最大时，该阳马体积最大.在球的内部，任意构造一个正方体，显然球

13、的内接正方体体积最大，应有正方体的对角线1BD等于球的直径，即12BD.又1BD3a，所以32a，则2 33a，则3312 38 339Va，所以1118 3327DABCDVV.又球的体积为34433VR，所以，应削去的胶泥的体积为148 3327DABCDVV48 1.7333.5327.故选：C.5.A直线1l：481axy与直线2l：3160 xay平行，所以14 3a a，解得：3a 或4，当3a 时，1l：3480 xy，2l：3460 xy，12ll，符合题意；当4a 时，1l：4480 xy，2l：3360 xy，均为20 xy，此时1l，2l重合，舍去，故3a，故选：A6.B

14、直线:310l axya，即310a xy，直线l过定点3,1P，圆C的圆心为1,2C，=5r，当PCl时，直线l被圆C截得的弦长最短.因为22(3 1)(1 2)17PC，所以弦长的最小值为2 25 174 2.故选：B7.D由题可得,0Fc，其中0c，且222cab.又由椭圆对称性可知，在F正上方且位于椭圆上的点到 F 距离为3 22，即此点坐标为3 22,c.将其代入椭圆方程有：222224222223 23 2223 212cbbabbaa，又0ab，可知23 22ba；设1122,A x yB xy，因过点2,1P且斜率为-1 的直线与C相交于,A B两点，且P恰好是AB的中点，则2

15、121212121211241222，yyxxyyxxyyxx.又 A，B 两点在椭圆上，则22221122222211xyxyabab，.两式相减得：222222222222211212121222222222210 xyxyyyxxyybababbaxxa 又222121212221212121142yyyyyyxxxxxx ，得2212ba.又23 22ba，则2223 2baaba，又2212ba，且0b，则3b.故椭圆方程为：221189xy，3,0F.设00,Mxy，其中03 2 3 2,x.则22220000191892xyxy.222222000000013396186222x

16、xMFxyxxx.因03 2 3 2,x，有00222663 263 23222MFxx，当且仅当03 2x，即 M 为椭圆右顶点时取等号.则椭圆C上一点M到F的距离的最大值为3 23.故选：D8.D21lneln6lne2，12c；72ac；又2ee2b，bc.令 2e32xf xx，22222233ee2e2223322xxxxxxxfxxx，由于2322yxx中，2324202 ，所以23202yxx，故()0fx在Rx上恒成立，得 fx在Rx单调递增.故 21ff，即2ee17522，即得证：27e2，故得ba.综上所述得bac.故选：D9.CD对于 A，若0a b，则,2a b，故

17、A 错误；对于 B，因为13NnnaSn，所以当2n时有13nnaS，两式相减可得132,Nnnnaaann，即142N,nnaann，当1n 时，211333aSa，所以2113 42nnnan，故 B 错误；对于 C，因为函数(1)f x为偶函数，所以(1)1f xfx，所以 20ff，因为 fx是定义域为R的奇函数，所以(2)200fff ，故 C 正确；对于 D，如图，设线段,AC BC的中点分别为,E F，连接EF，因为230OAOBOC ，所以20OAOCOBOC ，所以420OEOF ，即2OFOE ，即点O是线段EF靠近点E的三等分点，所以1136AOCAFCABCSSS，故

18、D 正确；故选：CD10BD解：对于 A，共有 10 个数，10 80%8，所以数据的第 80 百分位数为 17 和 20 的平均数，即为 18.5，故错误；对于 B，因为随机变量23,N，且(6)0.84P，所以(0)(6)0.16PP，所以(06)10.160.160.68P，所以11(36)(06)0.680.3422PP，故正确；对于 C，由题意可知1216C1()C3P A,所以1115C11()3C15P AB，(|)()1()5P ABPPAB A，故错误；对于 D故选：BD.11.BC解：对于 A，因为sin2sin(2)33yxx，由32 22,Z232kxkk，可得：511

19、,Z1212kxkk，即函数的单调递增区间为511,Z1212kkk，故错误；对于 B，将函数sin7yx的图象向右平移3个单位，将得到7sin7()sin(7)sin 2(7)sin(7)3333yxxxx的图象，故正确；对于 C，1sinsin2sinsincossin(1cos)2yxxxxxxx，令0y，则有sin0 x 或cos1x ，又因为0,2x，所以解得0 x 或2x 或x，所以函数在0,2上有 3 个零点，故正确；对于 D，221 cos21cos21(12sin)12cos1|sin|cos|2222xxxxyxx，令()|sin|cos|f xxx，则有()|sin()|

20、cos()|cos|sin|()222f xxxxxf x，由此可得函数的最小正周期不是，故错误.故选：BC.12ACD依题意，121222PFPFaPFPFm，解得12,PFam PFam=+=-，A 不正确；令12|2FFc，由余弦定理得：22222222212122212|()()42cos2|2()()PFPFFFamamcamcPFPFam amam，当60时，22234amc，即22()3()4amcc，因此2221314ee，B 正确；当90时，2222amc，即22()()2amcc，有2212112ee，而221201ee，则有22222222121122()22eeeee

21、e，解得22122ee，C 不正确；22222222222222222221()2()()cos()()1()namcaccmbnbnamaccmbnb，22222222cossin1tan222coscossin22cossin1tan222，于是得22221()1tan21tan1()2nbnb，解得22tan()2nb，而tan0,02nb，因此tan2nb，D 不正确.故选：ACD13.27根据题意可知抛掷 3 次骰子后恰好回到起点处需要 8 步或 16 步，所以 3 次投掷骰子的点数之和为 8 或 16，则 3 次投掷的点数可以为 1，1，6；1，2，5；1，3，4；2，2，4；2，

22、3，3；4，6，6；5，5，6；当点数为 1，1，6；2，2，4；2，3，3；4，6，6；5，5，6 时，有13515C种情况；当点数为 1，2，5；1，3，4 时，有332A12种情况；综上可得不同的走法数为 12+15=27.故答案为：27.14.15解：因为圆22:4O xy与圆22:330C xyxy相交于,A B两点，所以直线 AB 的方程为：22223340 xyxyxy，即310 xy，圆心(0,0)O到弦 AB 的距离00 1121 3d，所以222 215ABd，故答案为：15.15.22如图所示，221012cbeaa，则2252ca，2232ba，由双曲线的对称性知：OA

23、OB，1OFOF，又AFBF，四边形1AFBF为矩形，设|0AFm，则由双曲线的定义知：1|2AFam，在1RtF AF中，22211|FFAFAF，即：2224(2)camm，整理得：22230mama，即：()(3)0ma ma，0m，ma，1|3AFa设|0QFn，则由双曲线的定义知：1|2QFan，在1RtF AQ中，22211|FQAQAF，即：222(2)(3)()anaan，解得：3na，即：|3QFa，又1|3BFAFa，在RtBFQ中，22|3 2BQBFFQa|32|23 2QFaBQa故答案为：22.16.1,e由题，()elnln0 xg xaxa在0,上恒成立，即ln

24、lnelnelnxaxxax在0,上恒成立，设()exf xx，则(ln)(ln)f xafx，因为()f x为增函数，所以lnlnxax，即lnlnaxx在0,上恒成立，设()lnh xxx，0,x，因为 1xhxx，所以0,1x时，()0h x，()h x单调递增，1,x时，()0h x，()h x单调递减，()(1)1h xh，所以ln1a ，即1ea.故答案为：1,e.17.(1)3A(2)3,12（1）选2coscoscbBaA，所以2sinsincossincosCBBAA，所以2sincossincossincosCABAAB，整理得2sincossincossincossin(

25、)sinCABAABABC.因为sin0C，所以1cos2A.因为0,2A，所以3A.选因为2 cos2aCcb，所以2sincossin2sin2sinACCBAC，所以2sincossin2sincos2cossinACCACAC，整理得sin2cossinCAC.因为sin0C，所以1cos2A，因为0,2A，所以3A.选因为1sincossin23 cos2aACcAbA，所以sinsincossinsincos3sincosAACCAABA，所以sin(sincossincos)3sincosAACCABA，整理得sinsin3sincosABBA.因为sin0B，所以sin3cos

26、AA.因为0,2A，所以tan3A，3A.（2）因为3A，所以13coscoscoscoscossinsin226BCBBABBB.因为0,2B，所以20,32CB，所以,6 2B，所以 2,633B，所以3sin,162B，故3coscos,12BC.18.1(1)2nna，3nbn(2)13326nnHn（1）当1n 时，211222aS；当2n时，11(21)(21)2nnnnnnaSS，当1n 时也符合，所以2nna.由题意2222226ba，32439b，设等差数列 nb的公差为 d，则323dbb，123bbd，故1(1)3nbbndn.综上2nna，3nbn（2）由（1）知：32

27、nnna bn，1 12 23 311nnnn nHa ba ba baba b12313 26 29 231232nnnHnn 234123 26 29 231232nnnHnn 得：123113(22222)32nnnnHn 即：111111223323223233261 2nnnnnnHnnn ，13326nnHn.19.(1)存在，理由见解析(2)34（1）解：存在，当 E 为 AC 的中点时，AD平面11BC E，理由如下：如图所示：取11BC的中点 F，连接 EF，DF，DF 是111ABC的中位线，111111/,22DFAC DFAC，又111111/,22AEAC AEAC，

28、/,DFAE DFAE，四边形 DFEA 是平行四边形，ADEF，又AD 面11BC E，EF 面11BC E，AD平面11BC E（2）四边形11ABB A是矩形，111ABAA，11ABAB，又平面11AAC C 平面11ABB A，11AB 面11A ACC，1111111 111111133326B A DCA A DCD A ACAACVVVSABAB，116AB，侧面11ACC A是菱形，160A AC，1A AC是正三角形，E 是 AC 的中点，1AEAC，以1A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则10,0,0A，10,2,0C，0,0,3D，(3,1,0)C，则10,2,

29、3C D ，13,1,0C C ，设平面1C DC的一个法向量为,mx y z，由1100m C Dm C C ，得23030yzxy，令1x，则3y，233z，21,3,33m，又平面11AC D的一个法向量1,0,0n r，3cos,4m n ，平面11AC D与平面1CC D的夹角的余弦值是34.20（1）由题意得，总人数为 200 人，年龄在 45 岁及以下的人数为32001205人，没使用过政府消费券的人数为32006010人，完成表格如下：使用过政府消费券没使用过政府消费券总计45 岁及以下903012045 岁以上503080总计14060200由列联表可知2220090 305

30、0 303.57114060 80 120K，因为 3.5712.706，所以有 90%的把握认为该市市民是否使用政府消费券与年龄有关.（2）由题意可知，从 45 岁及以下的市民中采用分层抽样的方法可以抽取使用过政府消费券的市民 6 人X 是使用过政府消费券的人数，X1，2，3，126238C C31C28P X，216238C CC15128P X，3638C53C14P X，故随机变量 X 的概率分布列为：X123P3281528514其期望为3155639123282814284.21.(1)2214xy(2)32,225（1）因为短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，所以222b

31、bca，即2ab，又因为直线3460 xy与圆222()xyba相切，所以224634ba结合2ab解得2,1ab，所以椭圆22:14xCy.（2）(i)若1l垂直于x轴，则2l与x轴重合，由22143xyx解得12y ，所以1AB，又因为124,22ACBDCDaSAB CD同理2l垂直于x轴，则1l与x轴重合时1,4,2ACBDCDABS.(ii)若12,l l都不与x轴平行或垂直，设直线11122:3(0),lxmymA x yB xy，22143xyxmy得：2242 310mymy 1l与椭圆C相交于,A B两点，21610,mmR则1221222 3414myymy ym ，221

32、2121222222 34444144myyyyy ymmmm221224114mABmyym12ll当0m 时，直线21:3lxym，将22414mABm的m替换为1m可得224114mCDm，22422281192 1241744 14ACBDmmSABCDmmmm2292 14417mm，因为22224442 48mmmm，所以229322 1425417mm，当且仅当2244mm，即1m 时“=”成立，32225ACBDS综上32225ACBDS所以四边形ACBD的面积的取值范围为32,225.22.(1)答案见解析(2)41,2e由2()2(1)exf xa xx可得()2e1xfx

33、x a，当0a时，e10 xa，当0 x 时，()0fx，当0 x 时，()0fx，从而()f x的单调递增区间为(,0)，单调递减区间为(0,)；当0a 时，由()0fx得，10 x，21lnxa，若1ln0a，即1a 时，()0fx恒成立，故()f x在 R 上单调递增：若1ln0a，即1a 时，由()0fx可得，1lnxa或0 x 令()0fx可得1ln0 xa，此时()f x的单调递增区间为1,lna和(0,)，单调递减区间为1ln,0a；若1ln0a，即01a时，由()0fx可得，0 x 或1lnxa，令()0fx可得10lnxa，此时()f x的单调递增区间为(,0)和1ln,a，

34、单调递减区间为10,lna；综上所述，当0a时，()f x的单调递增区间为(,0)，单调递减区间为(0,)；当1a 时，()f x在 R 上单调递增；当1a 时，()f x的单调递增区间为1,lna和(0,)，单调递减区间为1ln,0a；当01a时，()f x的单调递增区间为(,0)和1ln,a，单调递减区间为10,lna；（2）不等式2(1)ln3f xxxx，可得12eln20 xaxxx对0 x 恒成立，即ln22 eexxxax对任意的0 x 恒成立，令ln2()(0)exxxg xxx，则22211e(1)e(ln2)(1)(3ln)()eexxxxxxxxxxxxg xxx，令()

35、3lnh xxx，则1()10h xx ，则()h x在(0,)上单调递减，又(1)20h，故()0h x 在(0,)上有唯一的实根，不妨设该实根为0 x，故当00,xx时，()0h x，()0g x，()g x单调递增；当0,xx时，()0h x，()0g x，()g x单调递减，故000max00ln2()exxxg xg xx，又因为003ln0 xx，所以00ln3xx，00ln3eexx，030eexx，所以000030ln21eexxxg xx，由题意知312 eea，解得412ea，故 a 的取值范围为41,2e另解：（2）由不等式2(1)ln3f xxxx，可得12eln20 xaxxx对0 x 恒成立，即ln22 eexxxax，lne22 eexxxax对任意的0 x 恒成立，令e0 xtx，ln2()(0)tg ttt，则23ln()tg tt，故当30,et时，()0g t，()g t单调递增；当3e,t时，()0g t，()g t单调递减，故 3max31()eeg tg，由题意知312 eea，解得412ea，故 a 的取值范围为41,2e【点睛】本题主要考查导数的应用，单调性的判定主要利用导数的符号来判定，注意分类讨论的不重不漏，参数范围的求解一般利用分离参数法来进行，借助导数求解新函数的最值.